2022-2023学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在▱中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

5.  把正比例函数的图象向上平移个单位长度，得到的函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于一次函数的图象和性质，下列叙述正确的是(    )

A. 与轴交于点 B. 函数图象不经过第二象限
C. 随的增大而减小 D. 当时，

7.  若、、满足，则以、、为边的是(    )

A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

8.  如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知直线为常数，且当变化时，下列结论正确的有(    )
当时，图象经过一、三、四象限；当时，随的增大而减小；直线必过定点；坐标原点到直线的最大距离是．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  函数中，自变量的取值范围是______．

12.  ______ ．

13.  已知平行四边形邻边之比是：，周长是，则较短的边的边长是______．

14.  如果正方形的一条对角线长为，那么该正方形的面积为______ ．

15.  如图，跷跷板支架的高为米，是的中点，那么跷跷板能翘起的最大高度等于______ 米

 

16.  如图，▱的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是，则______．

17.  直角三角形两条边长分别为、，则第三边长为______．

18.  如图，菱形中，，动点以每秒个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒个单位的速度自点出发沿折线运动到点图是点、运动时，的面积随时间变化关系图象，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算
；
．

20.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．
求证：；
求证：四边形是平行四边形．

21.  本小题分
甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由地到地，行驶路程与时间的函数关系如图所示，根据图象解答下列问题：
______ 先出发，先出发______ 分钟；
______ 先到达终点，先到达______ 分钟；
求出乙的行驶速度．

22.  本小题分
如图，将矩形沿折叠，使落在上的点处，已知，，求的长．

23.  本小题分
已知：在中，．
求作：矩形．
作法：如下，
分别以点，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
作直线，交边于点；
作射线，以点为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为，连接，；
所以四边形就是所求作的矩形．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是矩形______填推理的依据．

24.  本小题分
已知一次函数经过点，与轴交于点．
求的值和点的坐标；
画出此函数的图象；观察图象，当时，的取值范围是______ ；
若点是轴上一点，的面积为，则点点坐标是多少？

25.  本小题分
我们研究函数的图象与性质．
我们知道，，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
基本步骤是：
的取值范围是______ ；
列出表格，其中 ______ ， ______ ；

描点，在坐标系中描出表格中的各点；
连线，在坐标系中画出函数的图象．
通过观察图象，写出该函数的一条性质：______ ；
在中给出的平面直角坐标系画出函数图象，说说函数是怎样由函数平移得来的．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点．

求直线的函数表达式；
直线垂直平分交于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为．
用含的代数式表示 ______ ；
当时，点的坐标为______ ；
在的条件下，如图，点、为轴上两个动点，满足，并且点在点的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点的坐标______ ．

27.  本小题分
如图，正方形的边长为，点为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接．
如图，求证：；
如图，当为的三等分点时靠近点，求证：；
设四边形的周长为，直接写出的取值范围是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项正确；
D、，所以，选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；利用二次根式的性质对进行判断；利用二次根式的除法法则对进行判断；利用二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，再由等腰三角形的性质得，则，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以选项错误．
故选：．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：按照“上加下减”的规律，把正比例函数的图象向上平移个单位长度，得到的函数的解析式为，
故选：．
按照“上加下减”的规律解答即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
一次函数的图象经过点，选项A不符合题意；
B.，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项B符合题意．
C.，
随的增大而增大，选项C不符合题意；
D.当时，，
解得：，选项D不符合题意；
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项A；利用一次函数的性质，可判断出选项BC；利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，可判断选项选项D．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，，，
，即，
以、、为边的是直角三角形，
故选：．
先根据非负数的性质求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：公路、互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长到点，连接，

由题意得：，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
是的一个外角，
，
故选：．
延长到点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，可得是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
此时一次函数，经过一、三、四象限，故正确；
对于直线为常数，且来说，当时，即时，随的增大而增大；故错误；
当时，，
直线必过定点；故正确；
设原点到直线的距离为，
由知直线必过定点，
设点，
，
坐标原点到直线的最大距离是故正确．
正确的有：，
故选：．
根据一次函数的性质逐项分析即可．
此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是算术平方根时，被开方数为非负数．函数关系中主要有算术平方根．根据算术平方根的意义，被开方数是非负数即可求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长是，一组邻边之比是：，
设两邻边分别为，，
则，
解得：，
较短的边的边长是，
故答案为：．
可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可．
此题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的面积是：．
故答案为：．
利用对角线乘积的一半即可求出正方形的面积．
此题主要考查正方形的面积计算方法，直接利用面积公式解答即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：当到达直线时，到达最高点，最大，
，均与地面垂直，
，
∽，
，
是的中点，
，
米，
故答案为：．
当到达直线时，到达最高点，最大，根据，得∽，从而得，再根据是的中点，得，代入即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，
的周长是，
，
，点，分别是线段，的中点，
．
故答案为：．
首先由▱的对角线，相交于点，求得，，又由，可求得的长，继而求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得的长是关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：设第三边为
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得，解得：
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得，，解得
所以第三边长为或
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图得，时两点停止运动，
点以每秒个单位速度从点运动到点用了秒，
，
点运动到点之前和之后，面积算法不同，即时，的解析式发生变化，
图中点对应的横坐标为，
此时为中点，点与点重合，连接，
菱形中，，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
根据图和图中的数据求出菱形的边长，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理解答即可．
本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是菱形的边长．
 

19.【答案】解：



；


． 

【解析】先算乘除法，再合并同类二次根式即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

20.【答案】证明：如图：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
证明：，
，
．
由知≌，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】通过全等三角形≌的对应边相等证得；
根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 

21.【答案】甲    乙   

【解析】解：根据函数图象可知，甲先出发，先出发分钟；
故答案为：甲，；
根据函数图象，乙先到达终点，先到达分钟；
故答案为：乙，；
，
答：乙的行驶速度为．
根据函数图象解答即可；
根据函数图象解答即可；
根据速度总路程总时间，列式计算即可得解．
本题考查了函数图象，了解图象中横坐标为自变量，纵坐标为因变量是解题基础，属于基础题．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
由题意知与成轴对称，
，，
在中，，，，
由勾股定理得，
，
设的长为，则，
，
由勾股定理得，
，
解得：，
的长为． 

【解析】先根据矩形的性质，得出，，，根据折叠性质得出，根据勾股定理求出，得出，设的长为，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，设的长为，根据勾股定理列出关于的方程，是解题的关键．
 

23.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 

【解析】解：如图，四边形即为所求．

证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点，属于中考常考题型．
 

24.【答案】 

【解析】解：一次函数经过点，
．
当时，，解得．
；
画出函数图象如图：

观察图象，当时，的取值范围是．
故答案为：；
，
．
，
，
解得．
的坐标为或．
代入的坐标即可求得的值，令，解方程即可求得点的坐标；
根据图象即可求解；
利用三角形面积公式求得，即可求得的坐标为或．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与性质，三角形面积，数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】全体实数      当时，随的增大而增大答案不唯一 

【解析】解：的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数；
将代入得，
，
将代入得，
，
故答案为：，．
描点、连线画出函数的图象如图：

由图象可知，当时，随的增大而增大答案不唯一，
故答案为：当时，随的增大而增大答案不唯一；
函数是由函数向右平移个单位，再向上平移个单位得来的，
根据解析式即可确定的取值范围是全体实数；
将和代入解析式求解即可；
描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象：
根据图象得出结论；
根据平移的性质即可求得．
本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为；
直线垂直平分交于点，且，
直线为直线，
点、的横坐标为，
将代入中，得，
，
点的纵坐标为，
；
故答案为：；
，
，
解得：，
；
故答案为：；
如图，在直线上取一点，作点关于轴的对称点，连接，，连接交轴于点，

则，点，，
点、为定点，
为定值，
，且，
当取得最小值时，四边形周长最小，
轴，轴，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，即四边形周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，即当四边形周长最小时，点的坐标为．
故答案为：．
直接利用待定系数法即可求解；
根据题意易得点、的横坐标为，进而求出，再利用两点间的距离公式即可求解；
利用三角形面积公式可得，代入求解即可；
在直线上取一点，作点关于轴的对称点，连接，，连接交轴于点，则，点，，易知当取得最小值时，四边形周长最小，易得四边形为平行四边形，得到，则，由三角形三边关系可知当、、三点共线时，取得最小值，即四边形周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出此时点的坐标即可．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题．
 

27.【答案】 

【解析】证明：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
、、、在以为直径的圆上，
，，
，
；
证明：如图，连接，过点作于点，

四边形是正方形，点在上，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
当为的三等分点，
，
，
；
解：由得，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，



，
随的增大而增大，
当时，最小，的值最小，
此时，
的最小值为，
当点与点或点重合时，最大，的值最大，
此时，的最大值为，
点不与、重合，
．
故答案为：．
连接，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；
连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，根据、是的三等分点，于是得到结论；
由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断．
此题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．