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新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第8讲 函数与方程（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第8讲 函数与方程（含解析），共44页。PPT课件主要包含了答案B，图2-8-3，答案12，图D12，图D13，答案3，个解就有几个零点，答案D，图2-8-4，答案1等内容，欢迎下载使用。
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝
(2)函数零点与方程解的关系
方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交
点⇔函数 y＝f(x)有零点.
(3)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
(1)若函数 f(x)(图象是连续不断的)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根.
(2)由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0，如图 2-8-1 所示，所以f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
题组一 走出误区1.若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一
条曲线，则下列说法正确的是(
A.若 f(a)f(b)>0，不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0B.若 f(a)f(b)>0，有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0C.若 f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得f(c)＝0D.若 f(a)f(b)<0，有可能不存在实数 c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：B
题组二 走进教材2.(教材改编题)函数 f(x)的图象如图 2-8-2 所示，它与 x轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法
求出函数 f(x)零点的区间是(A.[－2.1，－1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]答案：B
3.(教材改编题)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由下表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有零点
题组三 真题展现4.(2019 年全国Ⅲ)函数 f(x)＝2sin x－sin 2x 在[0,2π]的
考点一 函数零点所在区间的判定[例 1](1)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的
区间为(A.(0,1)C.(2,3)
B.(1,2)D.(3,4)
解析：因为 y＝ln x 与 y＝x－2 在(0，＋∞)上都单调递
所以 f(x)＝ln x＋x－2 在(0，＋∞)上单调递增，又 f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
根据函数零点存在定理，可知函数 f(x)＝ln x＋x－2 有
唯一零点，且零点在区间(1,2)内.
【题后反思】确定函数 f(x)的零点所在区间的常用
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过作出函数图象，观察图象与 x 轴
在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练】1.若 a
A.(0,1)C.(2,3)
考点二 确定函数零点的个数1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是
解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1 个零点.答案：B
2.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
【题后反思】函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点三 根据函数零点个数求参数
通性通法：根据函数零点的情况求参数有三种常用方
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等
式，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐
标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
[例 2](1)(2021 年宜宾期末)已知函数 f(x)＝ln x＋ax 在
上有两个零点，则 a 的取值范围是________.
解析：令 x2－1－(4＋x)≥1，得 x≤－2 或 x≥3，令 x2－1－(4＋x)<1，得－2
函数 y＝f(x)＋k 有 3 个零点，等价于函数 y＝f(x)的图
象与直线 y＝－k 有 3 个交点，
根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.
g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的零点，则实数 a 的取
解析：根据题意，作出 f(x)的图象如图 D14 所示：
令 g(x)＝0，得 f(x)＝x＋a，
所以要使函数 g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的
所以只需函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同
根据图象可得实数 a 的取值范围为(－1，＋∞).故选
⊙数形结合法求解函数零点问题
解析：∵f(x)为偶函数，故 f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故 f(x)的周期为 4，
象如图 2-8-5 所示，
∵f(x)－lga(x＋2)＝0 有 3 个不同的解，∴f(x)的图象与y＝lga(x＋2)的图象有3个不同的交点，
直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过作图分析图象的特征、图象间的关系解决.
【高分训练】1.(2021年衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的
解的个数是(A.1C.3
解析：(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而 y＝|x2－2x|的图象如图 D15，
∴y＝|x2－2x|的图象与 y＝a2＋1 的图象总有两个交点.
即方程有 2 个解.故选 B.
m，n，则(A.mn＝1C.0
2.若函数f(x)＝|lgax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝
(2)函数零点与方程解的关系
方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交
点⇔函数 y＝f(x)有零点.
(3)函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
(1)若函数 f(x)(图象是连续不断的)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根.
(2)由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0，如图 2-8-1 所示，所以f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
题组一 走出误区1.若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一
条曲线，则下列说法正确的是(
A.若 f(a)f(b)>0，不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0B.若 f(a)f(b)>0，有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0C.若 f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得f(c)＝0D.若 f(a)f(b)<0，有可能不存在实数 c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：B
题组二 走进教材2.(教材改编题)函数 f(x)的图象如图 2-8-2 所示，它与 x轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法
求出函数 f(x)零点的区间是(A.[－2.1，－1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]答案：B
3.(教材改编题)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由下表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有零点
题组三 真题展现4.(2019 年全国Ⅲ)函数 f(x)＝2sin x－sin 2x 在[0,2π]的
考点一 函数零点所在区间的判定[例 1](1)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的
区间为(A.(0,1)C.(2,3)
B.(1,2)D.(3,4)
解析：因为 y＝ln x 与 y＝x－2 在(0，＋∞)上都单调递
所以 f(x)＝ln x＋x－2 在(0，＋∞)上单调递增，又 f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，
根据函数零点存在定理，可知函数 f(x)＝ln x＋x－2 有
唯一零点，且零点在区间(1,2)内.
【题后反思】确定函数 f(x)的零点所在区间的常用
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过作出函数图象，观察图象与 x 轴
在给定区间上是否有交点来判断.
【变式训练】1.若 a
A.(0,1)C.(2,3)
考点二 确定函数零点的个数1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是
解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1 个零点.答案：B
2.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
【题后反思】函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点三 根据函数零点个数求参数
通性通法：根据函数零点的情况求参数有三种常用方
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等
式，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐
标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
[例 2](1)(2021 年宜宾期末)已知函数 f(x)＝ln x＋ax 在
上有两个零点，则 a 的取值范围是________.
解析：令 x2－1－(4＋x)≥1，得 x≤－2 或 x≥3，令 x2－1－(4＋x)<1，得－2
函数 y＝f(x)＋k 有 3 个零点，等价于函数 y＝f(x)的图
象与直线 y＝－k 有 3 个交点，
根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.
g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的零点，则实数 a 的取
解析：根据题意，作出 f(x)的图象如图 D14 所示：
令 g(x)＝0，得 f(x)＝x＋a，
所以要使函数 g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的
所以只需函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同
根据图象可得实数 a 的取值范围为(－1，＋∞).故选
⊙数形结合法求解函数零点问题
解析：∵f(x)为偶函数，故 f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故 f(x)的周期为 4，
象如图 2-8-5 所示，
∵f(x)－lga(x＋2)＝0 有 3 个不同的解，∴f(x)的图象与y＝lga(x＋2)的图象有3个不同的交点，
直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过作图分析图象的特征、图象间的关系解决.
【高分训练】1.(2021年衡水中学调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的
解的个数是(A.1C.3
解析：(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而 y＝|x2－2x|的图象如图 D15，
∴y＝|x2－2x|的图象与 y＝a2＋1 的图象总有两个交点.
即方程有 2 个解.故选 B.
m，n，则(A.mn＝1C.0
2.若函数f(x)＝|lgax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是
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