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新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第6讲 对数与对数函数（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第6讲 对数与对数函数（含解析），共58页。PPT课件主要包含了对数的概念，反函数，名师点睛，图2-6-1，数逐渐增大，题组一走出误区，答案ABC，BbD2ab，图2-6-2，答案B等内容，欢迎下载使用。
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作 x＝lgaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的运算法则和性质(1)对数的运算法则
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(2)对数的性质①负数和零没有对数.②lga1＝0，lgaa＝1(a>0，且 a≠1).④lgaaN＝N(a>0，且 a≠1).(3)对数的换底公式
【名师点睛】对数运算的一些结论
3.对数函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对称.
(1) 对数函数的图象与底数大小的比较如图 2-6-1 所示，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故 0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底
(2)对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于 0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分 a>1 和 0
题组二 走进教材2.(教材改编题)若 lg 2＝a，lg 3＝b，则 lg 12 的值为
)B.c＜a＜bD.a＜c＜b
则 a，b，c 的大小关系为(A.a＜b＜cC.b＜c＜a答案：D
)B.b＜a＜cD.a＜b＜c
则 a，b，c 的大小关系为(A.c＜b＜aC.a＜c＜b答案：C
1.(多选题)若2x＝3,3y＝4，则下列选项正确的是( )
【题后反思】对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点二 对数函数的图象及应用a＞0，且 a≠1，则函数 f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图
[例1](1)(多选题)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|，其中
解析：易知 g(x)＝lga|x|为偶函数.当 0＜a＜1 时，f(x)
＝ax－2单调递减，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意.故选AD.
【题后反思】利用对数函数的图象解决的两类问题及
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数
图象问题，利用数形结合法求解.
【变式训练】1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，
f(x)＝ln(x＋1)，则函数 f(x)的大致图象为(
解析：先作出当 x≥0 时，f(x)＝ln(x＋1)的图象(图略)，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于 y 轴对称的图象，可得函数 f(x)在 R 上的大致图象，如 C 中图象所示.故选 C.
f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________.
解析：问题等价于函数 y＝f(x)与 y＝－x＋a 的图象有
且只有一个交点，结合图 D6 可知 a>1.
考点三 对数函数的性质及应用考向 1 解对数方程、不等式
通性通法：求解对数不等式的两种类型及方法
[例 2](1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为______.
考向 2 比较指数式、对数式的大小通性通法：比较对数值大小的方法
A.a＜b＜cC.a＜c＜b
B.b＜a＜cD.b＜c＜a
因此 b＜a＜c.答案：B
(2)(2020 年全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝lg53，b＝
lg85，c＝lg138，则( A.a
通性通法：对数型复合函数的单调性问题的求解策略(1)对于 y＝lgaf(x)型的复合函数的单调性，有以下结论：函数 y＝lgaf(x)的单调性与函数 u＝f(x)[f(x)>0]的单调性在 a>1 时相同，在 0
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是(
A.(－∞，－1]C.[2，＋∞)
B.(－∞，2]D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数
f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
【考法全练】1.(考向 2)(多选题)(2021 年胶州期末)已知 a＝30.1，b＝
lg0.93，c＝sin(cs 1)，则下述正确的是(
解析：a＝30.1＞1，b＝lg0.93＜0，c＝sin(cs 1)∈(0,1)，则 a＞c＞b.故选 AB.答案：AB
2.(考向 3)若函数f(x)＝lg2(x2－ax－3a)在区间(－∞，
－2]上单调递减，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，4)B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4)
解析：由 x2－3x＋2＞0 得 x＞2 或 x＜1，即函数的定
义域为{x|x＞2 或 x＜1}，
当 x 在定义域内变化时，x2－3x＋2 取遍(0，＋∞)内的
每一个值，∴值域为 R.
答案：(－∞，1) R
4.(考向 3)若函数f(x)＝lga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
⊙数形结合探讨对数函数的性质
解析：正实数 m，n 满足 m1.
f(m)＝|lg2m|＝f(n)＝|lg2n|，－lg2m＝lg2n，
解析：作出 f(x)的大致图象如图 D7，
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作 x＝lgaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的运算法则和性质(1)对数的运算法则
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(2)对数的性质①负数和零没有对数.②lga1＝0，lgaa＝1(a>0，且 a≠1).④lgaaN＝N(a>0，且 a≠1).(3)对数的换底公式
【名师点睛】对数运算的一些结论
3.对数函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对称.
(1) 对数函数的图象与底数大小的比较如图 2-6-1 所示，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故 0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底
(2)对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于 0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分 a>1 和 0
题组二 走进教材2.(教材改编题)若 lg 2＝a，lg 3＝b，则 lg 12 的值为
)B.c＜a＜bD.a＜c＜b
则 a，b，c 的大小关系为(A.a＜b＜cC.b＜c＜a答案：D
)B.b＜a＜cD.a＜b＜c
则 a，b，c 的大小关系为(A.c＜b＜aC.a＜c＜b答案：C
1.(多选题)若2x＝3,3y＝4，则下列选项正确的是( )
【题后反思】对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点二 对数函数的图象及应用a＞0，且 a≠1，则函数 f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图
[例1](1)(多选题)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|，其中
解析：易知 g(x)＝lga|x|为偶函数.当 0＜a＜1 时，f(x)
＝ax－2单调递减，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意；当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝lga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意.故选AD.
【题后反思】利用对数函数的图象解决的两类问题及
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数
图象问题，利用数形结合法求解.
【变式训练】1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，
f(x)＝ln(x＋1)，则函数 f(x)的大致图象为(
解析：先作出当 x≥0 时，f(x)＝ln(x＋1)的图象(图略)，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于 y 轴对称的图象，可得函数 f(x)在 R 上的大致图象，如 C 中图象所示.故选 C.
f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________.
解析：问题等价于函数 y＝f(x)与 y＝－x＋a 的图象有
且只有一个交点，结合图 D6 可知 a>1.
考点三 对数函数的性质及应用考向 1 解对数方程、不等式
通性通法：求解对数不等式的两种类型及方法
[例 2](1)方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为______.
考向 2 比较指数式、对数式的大小通性通法：比较对数值大小的方法
A.a＜b＜cC.a＜c＜b
B.b＜a＜cD.b＜c＜a
因此 b＜a＜c.答案：B
(2)(2020 年全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝lg53，b＝
lg85，c＝lg138，则( A.a
通性通法：对数型复合函数的单调性问题的求解策略(1)对于 y＝lgaf(x)型的复合函数的单调性，有以下结论：函数 y＝lgaf(x)的单调性与函数 u＝f(x)[f(x)>0]的单调性在 a>1 时相同，在 0
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是(
A.(－∞，－1]C.[2，＋∞)
B.(－∞，2]D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数
f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
【考法全练】1.(考向 2)(多选题)(2021 年胶州期末)已知 a＝30.1，b＝
lg0.93，c＝sin(cs 1)，则下述正确的是(
解析：a＝30.1＞1，b＝lg0.93＜0，c＝sin(cs 1)∈(0,1)，则 a＞c＞b.故选 AB.答案：AB
2.(考向 3)若函数f(x)＝lg2(x2－ax－3a)在区间(－∞，
－2]上单调递减，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，4)B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4)
解析：由 x2－3x＋2＞0 得 x＞2 或 x＜1，即函数的定
义域为{x|x＞2 或 x＜1}，
当 x 在定义域内变化时，x2－3x＋2 取遍(0，＋∞)内的
每一个值，∴值域为 R.
答案：(－∞，1) R
4.(考向 3)若函数f(x)＝lga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
⊙数形结合探讨对数函数的性质
解析：正实数 m，n 满足 m
f(m)＝|lg2m|＝f(n)＝|lg2n|，－lg2m＝lg2n，
解析：作出 f(x)的大致图象如图 D7，
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a
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