高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12讲函数与方程课件

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1.函数的零点(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有_______
⇔函数 y＝f(x)有零点.
(2)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且有 f(a)·f(b)______0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.一般把这一结论称为零点存在性定理.
如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(m)·f(n)<0，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零
A.[－2.1，－1]C.[4.1,5]
B.[1.9,2.3]D.[5,6.1]
3.(2017 年山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由表知函数 y＝f(x)－g(x)在下列区间内一定有
零点的是(A.(－1,0)C.(1,2)
B.(0,1)D.(2,3)
解析：当 x＝－1 时，f(－1)－g(－1)＜0；当 x＝0 时，f(0)－g(0)＜0；当 x＝1 时，f(1)－g(1)＞0；当 x＝2 时，f(2)－g(2)＞0；当 x＝3 时，f(3)－g(3)＞0，
且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，
由零点存在性定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点.故选 B.
的区间是(A.(0,1)C.(2,4)
B.(1,2)D.(4，＋∞)
例 1：(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－
c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，∴两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A.
解析：方法一，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.若f(x)
＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1,5|x－1|＝2，解得x＝1±lg52；当x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.若f(x)＝4，当x≥0时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1，解得x＝0或2；当x<0时，即x2＋4x＝0，解得x＝－4.故所求实根个数共有7个.故选D.
方法二，由f 2(x)－5f(x)＋4＝0，得f(x)＝1或4.作出f(x)的图象如图 D14.由 f(x)的图象，可知 f(x)＝1 有 4 个根，f(x)＝4 有3 个根.∴方程 f2(x) －5f(x)＋4＝0 有 7 个根.故选 D.
【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上[如第(3)题]；②利用函数零点的存在性定理进行判断[如第(1)题]；③通过函数图象，观察图象在给定区间上的交点来判断[如第(2)题].
考点 2 根据函数零点的存在情况，求参数的值
f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则实数 a 的取值范围是(
A.[－1,0)C.[－1，＋∞)
B.[0，＋∞)D.[1，＋∞)
解析：g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，得 f(x)＝－x－a.若 g(x)存在 2个零点，即直线 y＝－x－a 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 D15，实数 a 的取值范围是－a≤1，a≥－1.
又 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图D16，要使 f(x)＝g(x)在(0,9]上有 8 个实根，只需二者图象有 8个交点即可.
【规律方法】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
例 3：(1)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差
的绝对值不超过 0.25，则 f(x)可以是(
(2)已知函数 f(x)＝ln x＋2x－6.
①求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数；②求证：函数 f(x)有且只有一个零点；
③求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超
①证明：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
②证明：∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点.
又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此 f(x)＝0 至多有一个根，从而函数 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点.
设x1【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方
法，它只能用来求函数的变号零点.
(2)给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤
①确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε；②求区间[m，n]的中点x1；③计算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点；ⅱ)若f(m)·f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；ⅲ)若f(x1)·f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]；④判断是否达到精度ε：若|m－n|≤ε，则得到零点近似值m(或n)；否则重复步骤②～④.
思想与方法⊙运用函数与方程的思想判断方程根的分布例题：(2019 年浙江)已知 a，b∈R，函数 f(x)＝
若函数 y＝f(x)－ax－b 恰有三
A.a<－1，b<0C.a>－1，b<0
B.a<－1，b>0D.a>－1，b>0
②当 a＋1>0，即 a>－1 时，令 y′>0 得 x∈(a＋1，＋∞)，函数递增，令 y′<0 得 x∈[0，a＋1)，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数 y＝f(x)－ax－b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f(x)－ax－b 在(－∞，0)上有一个零点，在[0，＋∞)上有 2 个零点，如图 2-12-2：
【规律方法】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a，b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
1.判断函数零点个数的常见方法：
(1)直接法：解方程 f(x)＝0，方程有几个解，函数 f(x)就有
(2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的
交点个数即为函数 f(x)的零点个数；
(3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差，从而 f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数 f(x)的零点个数即为函数 y＝h(x)与函数 y＝g(x)的图象的交点个数；
(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ
2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法：
(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是
否有根落在给定区间上；
(2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否