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新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第5讲 指数与指数函数（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第5讲 指数与指数函数（含解析），共52页。PPT课件主要包含了答案ABCD，答案B，答案C，答案A，图2-5-2，答案02，题后反思，答案D，图D5，答案01等内容，欢迎下载使用。
(1)概念：函数 y＝ax (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.(多选题)下列结论错误的是(
题组三 真题展现4.(2020 年北京)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式
f(x)>0 的解集是(
A.(－1,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0,1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案：D
B.b
2.(2021 年荔湾期中)化简下列各式：
考点二 指数函数的图象[例 1](1)已知函数 f(x)＝(x－a)(x－b)(其中 a＞b)的图象
如图 2-5-1 所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是(图 2-5-1
解析：由题图可知 0＜a＜1，b＜－1，则 g(x)是一个减函数，可排除 C，D，再根据 g(0)＝1＋b＜0，可排除 B，故选 A.
(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取
值范围是________.
解析：在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝
b 的图象，如图 2-5-2 所示.
∴当 0
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应
的指数型函数图象，数形结合求解.
1.(2021 年河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()
解析：当 x＝1 时，y＝1，排除选项 C，D.当 x＞1 时，y＝e－|x－1|单调递减，排除选项A.故选B.答案：B
常数，则下列结论正确的是(图 2-5-3
A.a＞1，b<0C.00
B.a>1，b>0D.0
的交点在点(0,1)的下方，所以函数f(x)＝ax－b的图象是由函
解析：由题图可知，y 随 x 的增大而减小，所以函数f(x)＝ax－b是单调递减的，则0
3.若曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个不同交点，则
实数 m 的取值范围是________.
解析：曲线 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直线 y＝m 的图象是平行于 x轴的一条直线，它的图象如图 D5 所示，由图象可知，如果曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个公共点，则 m 的取值范围是(0,1).
考点三 指数函数的性质及应用
考向 1 指数函数的单调性
通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
A.b＜a＜cC.b＜c＜a
B.a＜b＜cD.c＜a＜b
则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(
A.f(b)
通性通法：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________.
解析：f(x)＝ (2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R 上单调递增， y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)
考向 3 函数的最值问题
通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
[例 4]如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值为________.
2.(考向 1)(2021 年七台河质检)已知 a＝20.2，b＝0.40.2，
c＝0.40.6，则(A.a＞b＞cC.c＞a＞b
B.a＞c＞bD.b＞c＞a
解析：由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象(图略)可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c.因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.故选 A.答案：A
(2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明.
[例 5](2019 年全国Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连
【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感觉数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
【高分训练】1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y
倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为(
解析：设原有荒漠化土地面积为 b，经过 x 年后荒漠
10.4%)x，其是底数大于 1 的指数函数.其图象应为 D.
2.某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数x 变化的函数解析式为________.
解析：当 x＝1 时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，
当 x＝2 时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，当 x＝3 时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，…
(1)概念：函数 y＝ax (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.
(2)指数函数的图象与性质
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
1.(多选题)下列结论错误的是(
题组三 真题展现4.(2020 年北京)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式
f(x)>0 的解集是(
A.(－1,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0,1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案：D
B.b
2.(2021 年荔湾期中)化简下列各式：
考点二 指数函数的图象[例 1](1)已知函数 f(x)＝(x－a)(x－b)(其中 a＞b)的图象
如图 2-5-1 所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是(图 2-5-1
解析：由题图可知 0＜a＜1，b＜－1，则 g(x)是一个减函数，可排除 C，D，再根据 g(0)＝1＋b＜0，可排除 B，故选 A.
(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取
值范围是________.
解析：在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝
b 的图象，如图 2-5-2 所示.
∴当 0
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应
的指数型函数图象，数形结合求解.
1.(2021 年河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()
解析：当 x＝1 时，y＝1，排除选项 C，D.当 x＞1 时，y＝e－|x－1|单调递减，排除选项A.故选B.答案：B
常数，则下列结论正确的是(图 2-5-3
A.a＞1，b<0C.0
B.a>1，b>0D.0
的交点在点(0,1)的下方，所以函数f(x)＝ax－b的图象是由函
解析：由题图可知，y 随 x 的增大而减小，所以函数f(x)＝ax－b是单调递减的，则0
3.若曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个不同交点，则
实数 m 的取值范围是________.
解析：曲线 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直线 y＝m 的图象是平行于 x轴的一条直线，它的图象如图 D5 所示，由图象可知，如果曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝m 有两个公共点，则 m 的取值范围是(0,1).
考点三 指数函数的性质及应用
考向 1 指数函数的单调性
通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
A.b＜a＜cC.b＜c＜a
B.a＜b＜cD.c＜a＜b
则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(
A.f(b)
通性通法：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________.
解析：f(x)＝ (2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，设t＝2x，其在R 上单调递增， y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上单调递增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)
考向 3 函数的最值问题
通性通法：对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
[例 4]如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值为________.
2.(考向 1)(2021 年七台河质检)已知 a＝20.2，b＝0.40.2，
c＝0.40.6，则(A.a＞b＞cC.c＞a＞b
B.a＞c＞bD.b＞c＞a
解析：由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象(图略)可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c.因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.故选 A.答案：A
(2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明.
[例 5](2019 年全国Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连
【反思感悟】高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程、求近似值的内容.让学生感觉数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.
【高分训练】1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y
倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为(
解析：设原有荒漠化土地面积为 b，经过 x 年后荒漠
10.4%)x，其是底数大于 1 的指数函数.其图象应为 D.
2.某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数x 变化的函数解析式为________.
解析：当 x＝1 时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，
当 x＝2 时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，当 x＝3 时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，…
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