新高考数学二轮培优大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，求证： SKIPIF 1 < 0 的面积为定值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆M交于E，H两点，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）有条件可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线l无斜率时，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当直线l斜率存在时，设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，消掉y得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，方程有根， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
此时 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 时等号成立），
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
例3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆下上动点， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 (直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为1)与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的上方．若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 面积的最 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时，不符合题意；
故设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点P在点Q的上方，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
模拟优练
1．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 这一段曲线上运动（ SKIPIF 1 < 0 异于端点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ），求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
2．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C于点A、B，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积S的取值范围．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（异于椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右端点）．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
4．设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，
且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个公共点，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
②若直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形APBQ的面积的最大值．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
参考答案
1．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨假设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
2．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，由椭圆的定义知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意可设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
易知S在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
3．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
再结合 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三者的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入上述椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
求解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ．
若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，可得上述方程只有一个解，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，（*）．
设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由上式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
将（*）代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 ，故可知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以原点为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆．
SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）2．
【解析】（1）设P(x，y)，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值0，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将直线l的方程 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆C的方程 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点可知 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
根据点到直线距离公式，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是梯形，
设直线l的倾斜角为θ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简整理 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．
5．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①点A，B的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为点P在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，为定值．
②由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ．
由点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位于直线l的两侧，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去y并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由判别式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然，判别式 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此，四边形APBQ的面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，显然，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
6．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．