高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线与面积有关的问题 学生版

例1．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为的周长为，所以，

即．

又离心率，解得，，

．

∴椭圆的方程为．

（2）设，，，

将代入，

消去并整理得，

则，，

，

∵四边形为平行四边形，

∴，得，

将点坐标代入椭圆方程得，

点到直线的距离为，，

∴平行四边形的面积为

，

故平行四边形的面积为定值为．

例2．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点的直线l与椭圆M交于E，H两点，记与的面积分别为和，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）有条件可知，∴，

又，，∴，

∴椭圆方程为．

（2）当直线l无斜率时，直线方程为，

此时，，；

当直线l斜率存在时，设直线方程为，

设，，

联立得，消掉y得，

显然，方程有根，，．

此时．

因为，所以，（时等号成立），

所以的最大值为．

例3．已知椭圆的左､右焦点分别是，，且离心率为，点为椭圆下上动点，面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆的上顶点，直线交椭圆于点，过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于两点，点在点的上方．若，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）面积的最，

又，所以，解得，

即，，

故椭圆C的标准方程为．

（2）由题可得直线的方程为，

联立，得，则，

因为，则，

得，

当直线的斜率为0时，不符合题意；

故设直线的方程为，，，

由点P在点Q的上方，则，

联立，得，

则，得，

则，得，，

又，则，不符合题意，

所以，

故直线的方程为．

1．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点．

（1）求的方程；

（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围．

2．椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．

3．已知椭圆的离心率为，且经过点．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一个动点（异于椭圆的左、右端点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作椭圆的切线，过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．

4．设点，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，

且的最小值为0．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形的面积的最大值．

5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．

①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：为定值；

②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．

6．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：与的面积之比为．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）联立，得，

因此的焦点为，

设抛物线，则，则，

故的方程为．

（2）联立，得或，

不妨假设，，则．

设，则，

到直线的距离，

因为当时，函数的值域为，

所以，

则，

故面积的取值范围是．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，

又，所以，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由题意可设直线l的方程为，，，

由，

显然且，，

∴

，

令，∴，

易知S在单调递减，从而．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由椭圆的离心率，可得，即有，

再结合、、三者的关系可得，

椭圆的方程可化为，

将点代入上述椭圆方程可得，

求解得，所以，，，

椭圆的方程为．

（2）设直线，

联立直线与椭圆的方程可得．

若直线与椭圆相切，可得上述方程只有一个解，

即有，化简可得，（*）．

设点的坐标为，过点作的垂线为，

联立与求得，，

由上式可得，

将（*）代入上式可得，故可知点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆．

是椭圆上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点．

的面积为，即面积的最大值为．

4．【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）设P(x，y)，则，，

所以，，

当时，取到最小值0，

则，，则，

所以椭圆C的方程为．

（2）将直线l的方程代入椭圆C的方程中，

得，

由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点可知，

化简得．

根据点到直线距离公式，可得，．

①当时，四边形是梯形，

设直线l的倾斜角为θ，则，所以，

∴，化简整理．

∵，∴当时，，，∴；

②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，，

所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．

5．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．

【解析】（1）由题意得，解得，，

所以椭圆C的方程为．

（2）①点A，B的坐标分别为，．

设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为，

所以，，所以．

又因为点P在椭圆上，所以，即，

所以，同理，

所以，为定值．

②由题意，，，

设．

由点，位于直线l的两侧，得，

解得．

由，消去y并整理，得，

由判别式，得．

当时，显然，判别式．

设，，

由根与系数的关系得，，

．

点到直线的距离．

因为，所以．

点到直线的距离．

因为，所以．

因此，四边形APBQ的面积．

因为，显然，当时，．

6．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程，

则，，则，，

椭圆的方程．

（2）证明：设，，，，，

则直线的斜率，直线的斜率，

直线的方程，

直线的斜率，直线的方程，

，解得，

过做轴，，

则，则，

与的面积之比为．