高考数学二轮专题大题优练6 圆锥曲线面积的取值范围问题(2份打包，教师版+原卷版)

例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是坐标原点，，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵的周长为，

∴，∴．

将代入，得，解得，

∴椭圆的标准方程是．

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，

，，

将与联立并消去，整理得，

则，．

∵，

∴，

∴，

化简得，∴或（舍去）．

当时，，则，得，

，

原点到直线的距离，

∴

，

当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意，

∴面积的最大值是．

1．已知抛物线，两条直线，分别与抛物线交于，两点和，两点．

（1）若线段的中点为，求直线的斜率；

（2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值．

2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，，，四点，求四边形面积的最大值．

3．已知抛物线（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，，．

（1）求抛物线的方程；

（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点），

求与面积之和的最小值．

4．已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和．

（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；

（2）对于椭圆上一点，以为切点的切线方程为．设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点．

①求证：直线过定点；

②求面积的最大值．

5．如图，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作平行交轴于点，交直线于点．

（1）若，求的最小值；

（2）若的面积为，的面积为，求的值．

6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；

①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；

②求四边形面积的最小值．

1．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设，，

因为线段的中点为，所以，

则，所以，

所以，所以直线的斜率．

（2）依题意可知，的斜率都存在且不等于0，设的斜率为，

因为直线，相互垂直，所以的斜率为，

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立，消去并整理得，

恒成立，

所以，，

所以，

同理可得，

因为，所以四边形面积，

令，则，

当且仅当，即时，等号成立．

故，其中，

利用二次函数的性质知，当时，，

所以四边形面积的最小值为．

2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由，得，

即，即，即．

由，得，．

根据椭圆的焦点弦可知过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为，

得，即，解得，则，

故椭圆的标准方程为．

（2）设直线，的方程分别为，．

联立，消去得，．

设，，则，，

所以，

又直线，之间的距离，

所以．

令，则，

则，当且仅当，即时等号成立，

所以四边形面积的最大值为．

3．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知可得，圆的圆心，半径．

设与轴交于，由圆的对称性可得，

于是，，

所以，即有，解得，

则抛物线的方程为．

（2）设直线，，，

设，，联立抛物线方程可得，

∴，，

由，有，解得或2（舍去），

即，解得．

则有恒过定点，

，

（当且仅当，即时取等号），

∴与面积之和的最小值，

4．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②最大值为．

【解析】（1）依题意有为中点，，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，

又与圆相切，，

即动点到与两点距离之和等于为，

动点的轨迹方程为．

（2）①．设，，，

过，的椭圆切线方程为，，

则，，

直线方程为，即，显然过定点．

②．直线方程为，

联立椭圆方程，得，显然，

，，，

面积．

令，，

则，当且仅当，时等号成立，

故面积的最大值为．

5．【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）由题意可知，直线的斜率不为0，

故可设直线，，，

联立，得，得，所以，

因为，所以，

所以，

易知，故，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为．

（2）不妨设点位于轴下方，

由，得．

因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率，

故直线的方程为，

令，得，所以，

则．

又，所以，

所以直线的方程为，

令，得，故．

又，所以，所以，

连接，则，所以，

又，所以四边形是平行四边形，

所以，

又易知，所以．

6．【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；②．

【解析】（1）设点，依题意，

，

所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，，

动点的轨迹方程是．

（2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

设直线的方程为，则直线的方程为，

直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点．

设、，由，

由韦达定理可得，则，

所以点的坐标为，同理可得点，

直线的斜率为，

直线的方程是，

即，

当时，直线的方程为，直线过定点．

综上，直线过定点．

②由①可得，，

，

同理可得，

所以，四边形的面积为，

当且仅当取等号，

因此，四边形的面积的最小值为．