新高考数学二轮培优大题优练10 导数之隐零点问题（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求整数k的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以k的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
模拟优练
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）证明：不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
4．设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求a的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
参考答案
1．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一实数根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
2．【答案】（1）最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无最大值．
（2）由题知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，函数 SKIPIF 1 < 0 无极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值．
（2）证明：令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两边求对数得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即原不等式成立．
4．【答案】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 易知 SKIPIF 1 < 0 为增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
5．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
又设 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故 SKIPIF 1 < 0 符合题意．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，对于 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故要证明 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因此有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
原不等式得证．