四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知某质点的运动方程为，则该质点在1秒时的瞬时速度为( )
A.1B.2C.3D.4
2．下列各式中正确的是( )
A.B.C.D.
3．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A.-3B.2C.-3或2D.
4．函数递增区间为( )
A.B.C.D.
5．函数的图象在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
6．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A.当时，取得极大值B.在上是增函数
C.当时，取得极大值D.在上是增函数，在上是减函数
7．已知函数，，则的最大值为( )
A.B.C.16D.9
8．已知函数在上为增函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．数列的前n项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A.是递增数列B.
C.当时，D.当或4时，取得最大值
10．已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )
A.的周长为10B. 面积的最大值为25
C.的最小值为1D.椭圆C的离心率为
11．对于函数，给出下列命题，其中正确的有( )
A.有三实数根，则
B.有一实数根，则
C.的递增区间为，，递减区间为
D.是极大值，是极小值
三、填空题
12．已知函数在点处的切线方程为，则___________.
13．函数,已知在时取得极值,则_____.
14．已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知等差数列中，，，设.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
16．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极大值.
17．已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为.
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.
（2）斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积.
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点.证明：
（1）平面；
（2）平面平面；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，，证明不等式；
（3）当时，求函数的单调区间.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以，
则当时，，
故该质点在1秒时的瞬时速度为3.
故选：C.
2．答案：D
解析：AB选项，，AB错误；
CD选项，，C错误，D正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：对函数求导可得：，设满足题意的切点的横坐标为，
由题意可得：，且，解得：.
故选：B.
4．答案：A
解析：定义域是，
，
当时，，所以函数递增区间为，
故选A.
5．答案：A
解析：因为函数，
所以，
所以，，
所以图象在点处的切线方程为，
即，
故选：A.
6．答案：D
解析：根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在，内单调递减，在，单调递增，
当或时，取得极小值，当时，取得极大值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题意得，，令，解得，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，所以的最大值为16.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则.
设，则，，
所以当时，取最大值为，所以.
故选：D.
9．答案：CD
解析：当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而n是正整数，且或4距离对称轴一样远，所以当或4时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10．答案：AD
解析：由题意可知：，，，
则，，
对于选项A：的周长为，故A正确；
对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误；
对于选项C：的最小值为，此时P为长轴顶点，
但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误；
对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确；
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：由题意可知：定义域为R，，
当时，；当时，；
可知的单调递增区间为，；单调递减区间为，
则的极大值为，极小值为，故CD正确；
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于；
可得的图象如图所示：
结合图象可知：若有三实数根，则，故A正确；
若有一实数根，则，故B错误；
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意函数在点处的切线方程为，所以.
故答案为：.
13．答案：5
解析：函数，又在时取得极值，，解得.
14．答案：
解析：函数，因为在恒成立，
所以，在恒成立，
在恒成立，
令，所以，
，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设的公差为d，
由，可得，即.
又，可得.
故
依题意，，因为（常数）.
故是首项为4，公比4的等比数列.
（2）的前n项和为，
的前n项和为，
故的前n项和为.
16．答案：（1），
（2）答案见详解
解析：（1）由，得.
由曲线在点处的切线方程为，
得，，
解得，.
（2）由（1）可知：，，
则.
令，解得；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
函数的极大值为.
17．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为双曲线E的渐近线方程为.
所以，解得，从而，即，
所以右焦点为，从而，解得，
抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，.
（2）由题意直线，它过抛物线的焦点，
联立抛物线方程得，化简并整理得，
显然，，
所以，
点O到直线l的距离为，
所以，即的面积为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为平面，且平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量，且，，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，，所以，
又因为，
所以，所以平面平面.
（3）由（1）可知：，，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，，所以，
因为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19．答案：（1）1
（2）证明见详解
（3）答案见详解
解析：（1）因为的定义域为，
当时，则，且，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的最小值为.
（2）当时，则，
构建，，
则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以当，.
（3）因为的定义域为，且，
（i）若，可知，
当时，；当时，；
可知的单调递减区间为，单调递增区间为；
（ⅱ）若，令，解得或，
①当，即时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
②当，即时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
③当，即时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
综上所述：，的单调递减区间为，单调递增区间为；
，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
，的单调递减区间为，无单调递增区间；
，的单调递减区间为，，单调递增区间为.