四川省射洪中学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省射洪中学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知服从正态分布的随机变量在区间,和内取值的概率约为,和.若某校高一年级800名学生的某次考试成绩X服从正态分布,则此次考试成绩在区间内的学生大约有( )
A.780人B.763人C.655人D.546人
2．若的展开式中常数项为-80,则( )
A.2B.1C.-2D.-1
3．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为( )
A.2，B.2，1C.3，1D.3，
4．有9名歌舞演员,其中7名会唱歌,5名会跳舞,从中选出2人,并指派一人唱歌,另一个跳舞,则不同的选派方法有( )
A.19种B.30种C.32种D.72种
5．甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
A.B.C.D.
6．有甲､乙两个抽奖箱,甲箱中有3张无奖票3张有奖票,乙箱中有4张无奖票2张有奖票,某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱,再从乙箱中任意抽出一张,则最后抽到有奖票的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知e是自然对数的底数,,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
8．已知函数有两个零点,,且,则下列命题正确的是( )
A.B.C.D.
9．已知函数,则( )
A.B.展开式中,二项式系数的最大值为
C.D.的个位数字是1
10．定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”,如图就是一个8阶“杨辉三角”.
给出的下列命题中正确的是( )
A.记第行中从左到右的第个数为,则数列的通项公式为
B.第k行各个数的和是
C.n阶“杨辉三角”中共有个数
D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是
11．已知函数,若有两个极值点,,则下面判断正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数有两个极值,则实数a的取值范围为_____________．
13．若~,则取得最大值时,_____________.
14．若关于x的不等式恒成立,则a的取值范围为___________．
四、解答题
15．打好脱贫攻坚战,稳步实施乡村振兴,离不开农村基层党组织的坚强战斗堡垒作用的发挥.某村村党支部书记为改良盐碱地土壤,从省城请来专家进行技术指导,并从某农业大学引进富硒草莓.功夫不负有心人,富硒草莓种植成功,村里建起了草莓采摘园,到了年底,种植草莓的收入连同合作社的其他经营项目一起,成了贫困户的主要经济来源.该村对近几年草莓的采摘价格和采摘人数情况进行了统计,发现草莓的采摘价格x（元/斤）和采摘人数y（千人）的关系如下表：
（1）求出y关于x的线性回归方程;
（2）该村根据2020年草苺的产量,估计约需37千人采摘,那么2020年草苺的采摘价格应定为多少元/斤？（结果保留整数）
（回归直线方程公式分别为,.）
16．第三次人工智能浪潮滚滚而来,以ChatGPT发布为里程碑,开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球,其中甲箱中有3个红球、2个白球,乙箱中有4个红球、1个白球．
（1）从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到红球的条件下,求2个球都是红球的概率;
（2）掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球;如果点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球,求它是来自乙箱的概率．
17．“稻草很轻,但是他迎着风仍然坚韧,这就是生命的力量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了名学生进行调查,得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时）,并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值;
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在,,三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取人,记周平均阅读时间在内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
（3）以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在内的概率,其中．当最大时,写出k的值．
18．.
（1）讨论的单调性;
（2）,恒有,求的取值范围.
19．已知.
(1)证明：当时,在上单调递增；
(2)当时,关于x的不等式在上恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,所以,,
则,,
所以
,
所以此次考试成绩在区间内的学生大约有（人）.
故选：C.
2．答案：C
解析：的展开式的通项公式为：,
显然,为奇数,
若求展开式的常数项,
,解得
故的展开式的常数项等于：
故选：C.
3．答案：C
解析：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，
则向左的次数服从二项分布.
因为，，，，，
所以，.
故选：C.
4．答案：C
解析：根据题意,有9名歌舞演员,其中7名会唱歌,5名会跳舞,
则既会跳舞又会唱歌的有人,
只会唱歌的有人,只会跳舞的有人;
若选出2人,没有既会跳舞又会唱歌,有种选法,
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌,则有种选法,
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的,则有种选法,
则共有种选法.
故选：C.
5．答案：C
解析：若人数配比为时，则有种不同安排方法；
若人数配比时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为.
故选：C.
6．答案：B
解析：记表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱,表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱,A表示最后抽到有奖票.
所以,,于是.
故选：B.
7．答案：B
解析：令,则,
所以时,,单调递增,
又,,
,所以.
再令,则,
所以在R上是增函数,
时,,即 时,,故,,即 ,
所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：由可得,令,其中,
则直线与函数的图象有两个交点,,
由可得,即函数的单调递增区间为,
由可得,即函数的单调递减区间为,
且当时,,当时,,,
如下图所示：
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,故A错误;
由图可知,,
因为,由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,则必有,
所以,,则,
令,其中,
则,则函数在上单调递减,
所以,,即,即,
又,可得,
因为函数的单调递减区间为,则,即,故B错误;
由,两式相加整理可得,
所以,,可得,故C错误;
由图可知,则,又因为,所以,,故D正确.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于选项A：的展开式的通项为,
令,可得,
所以,故A错误;
对于选项B：因为为偶数,可知二项式系数的最大值为,故B正确;
对于选项C：令,可得;
令,可得;
所以,故C错误;
对于选项D：因为,
且的展开式的通项为,
可知当,均为20的倍数,即个位数为0,
当时,,所以的个位数字是1,故D正确;
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：第i行各个数是的展开式的二项式系数,
则数列的通项公式为,故A错误;
各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和,第k行各个数的和是,故B正确;
第k行共有（k+1）个数,从而n阶“杨辉三角”共有个数,故C正确;
“杨辉三角”的所有数的和是,故D正确.,
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：由题意知：定义域为,;
当时,,当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
有且仅有一个极值点,不合题意;
当时,令,则;
①当,即时,恒成立,即恒成立,
在上单调递增,无极值点,不合题意;
②当,即且时,令,解得：,;
（1）当时,,当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
有且仅有一个极值点,不合题意;
（2）当时,,
当时,;当时,;
在,上单调递增,在上单调递减,
的极大值点为,极小值点为,满足题意;
对于A,,是方程的两根,,A正确;
对于B,当时,,当时,单调递减,
,B正确;
对于C,,,
,;
,,
,C错误;
对于D,,
,是方程的两根,,,
,
令,,
在上单调递增,,,D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：,由题意知有两个零点,
由可得,
即有两个交点,
如图所示,考查临界条件：设与的切点为,
即,,则,
切线方程为.
把代入切线方程可得,,
据此可得：,即,
故答案：.
13．答案：3
解析：由于,
故.
所以当时;当时.
故所求的.
故答案为：3.
14．答案：
解析：设,,则在上恒成立,
所以,在上单调递增,
所以,,
所以,对恒成立.
由已知可得,对恒成立,
等价于.
设,,
显然单调递增,值域为R,所以有解.
当时,有成立,满足题意;
当时,有,由可知,
当时,有,
,
所以,不恒成立.
综上所述,.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）34元/斤
解析：（1）由表格数据,得,,
所以
,
,
,
所以,,
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由（1）可知,若,则由,解得,
即2020年草莓的采摘价格应定为34元/斤.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”,事件B表示“两个球都是红球”,
则,,
故
（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件D表示“抽到红球”,
,,
,
,
故.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析;数学期望
（3）
解析：（1）,.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在,,三组的频率之比为,
人中,周平均阅读时间在的人数为人;在的人数为人;在的人数为人;
则X所有可能的取值为0,1,2,3,
;
;
;
;
的分布列为：
数学期望.
（3）用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取1名学生,周平均阅读时间在内的概率;
则,
若最大,则最大,当时,取得最大值.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）令,则,
当时,,此时在R上单调递增,
当时,令,则,因为单调递增,
所以当时,,此时单调递减,
当时,,此时单调递增;
（2）令,即,
当时,由函数与的图象可知,
两函数图象有一个交点,记为,
则当时,,即,不满足题意;
当时,令,则,
令,则,因为单调递增,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以时,有最小值,
又对恒成立,
所以,即,
所以,当且仅当时等号成立.
令,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,,
所以,即,当且仅当,时等号成立,
所以的取值范围为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：因为,
所以,
因为,所以,又,所以,
所以在上单调递增.
(2)当时,,
即
所以,即在上恒成立.
令,则,
令,
则.
因为,所以,所以,
所以在上单调递增,所以.
①当,即时,在上,,即,所以在上单调递增,
所以对,,即在上恒成立,符合题意；
②当,即时,,
又,若,则在上,,即,所以在上单调递减,所以,不合题意；
若,则存在,使得,
所以在上,,即,
所以在上,单调递减,所以对,不合题意.
综上所述,关于x的不等式在上恒成立,实数k的取值范围为.
草莓采摘价格x（元/斤）
20
25
30
35
40
采摘人数y（千人）
58
52
45
32
28
X
0
1
2
3
P