2023-2024学年四川省广安市华蓥中学高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省广安市华蓥中学高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则其数学期望E(ξ)=( )
A. 1B. 0.2C. 2.8D. 3
2.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.9所示的人时，显示体温X服从正态分布N(36.9,0.05n)，若X的值在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973，则n的值约为( )
参考数据：若X～N(μ,σ2)，则P(|X−μ|<3σ)≈0.9973．
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.若函数f(x)=csx，则f′(π4)+f(π4)的值为( )
A. 0B. −1C. 1D. 2
4.若(x+1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A. 10B. 20C. 30D. 120
5.若C8m=C83，则m=( )
A. 3或5B. 3C. 5D. 以上答案均不对
6.设函数f(x)的图象如图，则函数y=f′(x)的图象可能是下图中的( )
A.
B.
C.
D.
7.若函数f(x)=ex−(a−1)x+1在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (e+1,+∞)B. [e+1,+∞)C. (e−1,+∞)D. [e−1,+∞]
8.已知a=8ln6，b=7ln7，c=6ln8，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地
②从10个人中选2人去扫地
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算
A. ①B. ②C. ③D. ④
10.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：
在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，B表示可买到优质品，则( )
A. P(A1)=0.50B. P(B|A2)=0.90C. P(BA3)=0.70D. P(B)=0.81
11.已知函数f(x)=(x+1)(ex−x−1)，则下列说法正确的有( )
A. f(x)在(0,+∞)单调递增B. x=0为f(x)的一个极小值点
C. f(x)无最大值D. f(x)有唯一零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X=1)= ______．
13.(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数是______．
14.若函数f(x)=2ex−3ax2+1有两个不同的极值点，则实数a取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若(1−x−2x2)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10．
(1)求a0+a1+a2+a3+⋯+a8+a9+a10的值；
(2)求a2+a4+a6+a8+a10的值；
(3)求a1的值．
16.(本小题15分)
(1)一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
(3)书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的方法？
(4)一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
(5)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，有多少种不同的方法？
17.(本小题15分)
据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大？
(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好Y=5时的概率(不用化简)及Y的方差．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2+alnx．
(1)当a=−2时，求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；
(2)当a=−2时，求函数f(x)的极值；
(3)若g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnxx+a(x2−1)．
(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；
(Ⅱ)当a=1时，求f(x)在[1,+∞)上的最小值；
(Ⅲ)若f(x)在(1,e)上存在零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
根据离散型随机变量的分布列的性质可求得m，再利用期望公式求解即可．
【解答】
解：由题意得，0.2+m+0.6=1，解得m=0.2，
E(ξ)=1×0.2+2×0.2+4×0.6=3．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：∵体温X服从正态分布N(36.9,0.05n)，
∴μ=36.9，σ2=0.05n，
∵X的值在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973，P(|X−μ|<3σ)≈0.9973，
∴P(36.9−3σ∴3σ=0.3，解得σ=0.1，
∴0.05n=0.01，解得n=5．
故选：B．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=csx，所以f′(x)=−sinx，
则f′(π4)+f(π4)=−sinπ4+csπ4=− 22+ 22=0，
故选：A．
求出函数的导数，然后令x=π4代入计算即可．
本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
根据展开式的二项式系数之和为2n求出n，再利用通项公式即可求解．
【解答】
解：依题2n=64，
∴n=6．
Tr+1=C6rx6−rx−r=C6rx6−2r，
令6−2r=0，
∴r=3，
常数项：T4=C63=20，
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：∵C8m=C83，
∴m=3或m+3=8，解得m=3或5．
故选：A．
结合组合数公式，即可求解．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由函数f(x)的图象可知，函数有两个极值点，
故导函数y=f′(x)的图象应有两个零点，
即与x轴有两个交点，故可排除A、B，
又由函数在(−∞,0)上单调递增，
可得导函数f′(x)>0，即图象在x轴上方，
结合图象可排除C，
故选：D．
由题意可知，导函数y=f′(x)的图象应有两个零点，且在区间(−∞,0)上导函数f′(x)>0，结合选项可得答案．
本题考查函数的单调性和导函数的正负的关系，属基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零，属于基础题．
先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．
【解答】
解：∵f(x)=ex−(a−1)x+1在[0,1]上递减，
∴f′(x)=ex−(a−1)≤0，在[0,1]上恒成立，
∴a≥ex+1在[0,1]上恒成立，
∵y=ex+1在[0,1]上为增函数，
∴y≤e+1，
∴a≥e+1，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：设函数g(x)=(14−x)lnx，x≥6，
g′(x)=−lnx+14x−1，
又因为函数y=−lnx+14x−1在[6,+∞)单调递减，
∴g′(x)≤g′(6)=−ln6+146−1，
∵ln6>ln 27=32ln3>32，
∴g′(x)≤g′(6)=−ln6+146−1<−32+146−1<0，
∴函数g(x)=(14−x)lnx(x≥6)单调递减，
∴g(6)>g(7)>g(8)，
∴a>b>c．
故选：D．
构造函数g(x)=(14−x)lnx，x≥6，利用导数求得单调性，即可比较大小．
本题考查了构造函数比较大小，考查了运算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于①，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，故有顺序，是排列问题，
对于②，从10个人中选2人去扫地，选出的2人没有顺序，是组合问题，
对于③，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人没有顺序，是组合问题，
对于④，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题．
故选：AD．
根据题意，由排列、组合的定义分析选项，综合即可得答案．
本题考查排列数公式的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率公式，全概率公式，属于中档题．
根据已知条件，结合条件概率公式，以及全概率公式即可求解．
【解答】
解：由题中表格可得，P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%，故A正确，
P(B|A1)=80%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)=70%，故B正确，
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=20%×70%=0.14，故C错误，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=50%×80%+30%×90%+20%×70%=0.81，故D正确．
故选：ABD．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，C：因为f(x)=(x+1)(ex−x−1)，
所以f′(x)=ex−x−1+(x+1)(ex−1)=(x+2)ex−2x−2，
令g(x)=(x+2)ex−2x−2，
g′(x)=ex+(x+2)ex−2=(x+3)ex−2，
令h(x)=(x+3)ex−2，
h′(x)=ex+(x+3)ex=(x+4)ex，
所以在(−∞,−4)上，h′(x)<0，h(x)单调递减，
在(−4,+∞)上，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(−4)=(−4+3)e−4=−e−4<0，
h(−1)=(−1+3)e−1−2=2e−1−2<0，
h(0)=3e0−2=1>0，
x→−∞时，h(x)→−∞，
所以在(−1,0)上存在x0，使得h(x0)=0，
所以在(−∞,x0)上，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，
在(x0,+∞)上，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
因为x0∈(−1,0)，且g(0)=(0+2)e0−2×0−2=0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，则g(x)>g(0)=0，
所以在(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增且f(x)无最大值，故A正确，C正确；
由上可知在(x0,0)上，g(x0)所以在(x0,0)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x=0为f(x)的一个极小值点，故B正确；
对于D：令f(x)=0得(x+1)(ex−x−1)=0，
所以x+1=0或ex−x−1=0，
所以x=−1或x=0，
所以函数f(x)零点不是唯一的，故D错误，
故选：ABC．
对于A，C：求导分析f(x)的单调性，即可得出A，C是否正确；
对于B：由f(x)的单调性，即可得出B是否正确；
对于D：令f(x)=0得(x+1)(ex−x−1)=0，即x=−1或x=0，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】35
【解析】解：X=1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，
故所求概率P(X=1)=C31C21C52=35．
故答案为：35．
利用古典概型的概率公式结合组合的知识求解．
本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
13.【答案】116
【解析】解：因为(1+x)n(n≥2,n∈N*)的二项展开式的通项公式为Tr+1=Cnr⋅1n−r⋅xr=Cnr⋅xr,r=0,1,2,⋅⋅⋅,n，
在(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9的展开式中，
令r=2，则含x2项的系数为C42+C52+C62+C72+C82+C92=6+10+15+21+28+36=116．
故答案为：116．
利用二项展开式的通项公式，找出含有x2的项，即可求得x2项的系数．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】(e3,+∞)
【解析】解：依题意得f′(x)=2ex−6ax=0有2个不同的实数根，
则a=ex3x(x≠0)有2个不同的实数根，
可转化为y=a的图象与y=ex3x(x≠0)的图象有两个交点求a的取值范围问题，
令g(x)=ex3x(x≠0)，则g′(x)=ex(x−1)3x2，
x>1时，g′(x)>0，0所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，
g(x)=ex3x(x≠0)的图象如下图，
所以在(−∞,0)上无极值，
在(0,+∞)上g(x)的最小值为g(1)=e3，
若函数f(x)=2ex−3ax2+1有两个不同的极值点，因此a>e3．
故答案为：(e3,+∞)．
由f′(x)=0有两个不同的实数根列方程，分离常数a，利用构造函数法，结合导数求得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+a8+a9+a10=(1−1−2)5=−32，①
(2)令x=−1，则a0−a1+a2−a3+⋯+a8−a9+a10=(1+1−2)5=0，②
令x=0，则a0=1，
①+②2=a0+a2+a4+a6+a8+a10=−16，
∴a2+a4+a6+a8+a10=−16−a0=−16−1=−17；
(3)(1−x−2x2)5=(1−2x)5(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
即a1为含x项的系数，为C50(−2x)0×C51x+C51(−2x)1×C50x0=5x+(−10x)=−5x，
则a1=−5．
【解析】(1)令x=1代入等式求出结果；
(2)令x=−1代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果；
(3)先变形(1−x−2x2)5=(1−2x)5(1+x)5，再求含x项的系数即可．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，配对问题在展开式中的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)一组学生共有5人，从中选出3人参加一项活动，共有C53=10种选法；
(2)争夺数学竞赛冠军有4种，争夺物理竞赛冠军有4种，争夺化学竞赛冠军有4种，
因此共有4×4×4=64种不同的结果；
(3)插入第一本书，有7种插法，插入第二本书，有8种插法，插入第三本书，有9种插法，
因此共有7×8×9=504种不同的方法；
(4)一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生，从中选出男生2人，女生2人，共有C32⋅C32=9种选法，
再将选出的4人按照人数比为2：1：1分成3组，有C42=6种分法，
再将已经分好的3组人分给3项不同的活动，有A33=6种，所以共有9×6×6=324种选法；
(5)先排三位男生，有A33=6种排法，然后从三名女生中任取两名捆在一起，有C32A22=6种，
然后把捆在一起的整体与剩下的一名女生插入到男生旁边4个位置的2个位置，有A42=12种，
故3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有6×6×12=432种，
又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有2A22×C32A22×A32=144种，
故满足题意的排法有432−144=288种．
【解析】(1)直接根据组合的概念可求出结果；
(2)根据分步乘法计数原理列式可求出结果；
(3)根据分步乘法计数原理列式可求出结果；
(4)先选后排可求出结果；
(5)利用间接法、捆绑法、插空法可求出结果．
本题考查了分步乘法计数原理和间接法、捆绑法、插空法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=，
所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是13．
(2)依题意可知：其中男生人数X的所有可能取值分别为：0，1，2，
则P(X=0)=C63C83=2056=514，P(X=1)=26C21CC83=3056=1528，P(X=2)=16C22CC83=656=328，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×514+1×1528+2×328=34，
D(X)=(0−34)2×514+(1−34)2×1528+(2−34)2×328=45112．
(3)由题意可知Y～B(20,0.08)，
∴P(Y=5)=C205×0.085×(1−0.08)15，D(Y)=20×0.08×0.92=1.472．
【解析】(1)由条件概率公式计算即可得解；
(2)由题意可得X的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；
(3)由已知可得Y～B(20,0.08)，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．
本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了离散型随机变量的期望和方差，考查了二项分布的概率公式和方差公式，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=−2时，f(x)=x2−2lnx，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2x−2x=2x2−2x，所以函数f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为f′(e)=2e2−2e，
又f(e)=e2−2，
所以函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y−(e2−2)=2e2−2e(x−e)，
即y=2e2−2ex−e2．
(2)f′(x)=2x−2x=2x2−2x，令f′(x)=0，解得x=1，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x) 在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
所以f(x)在x=1处取得极小值是f(1)=12−2ln1=1，无极大值．
(3)因为g(x)=f(x)+2x=x2+2x+alnx在[1,+∞)上是单调增函数，
所以g′(x)=2x−2x2+ax=2x3+ax−2x2≥0在[1,+∞)上恒成立，
即a≥2x−2x2在[1,+∞)上恒成立，
因为h(x)=2x−2x2在[1,+∞)上为单调递减函数，
所以当x=1时，h(x)=2x−2x2取得最大值，即h(1)=0，
所以a∈[0,∞)．
【解析】(1)利用导数的几何意义函数f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为f′(e)=2e2−2e，又f(e)=e2−2，由直线的点斜式可得切线方程；
(2)利用f′(x)的正负讨论f(x)的单调性，即可求得函数f(x)的极值；
(3)由g(x)在[1,+∞)上是单调增函数，所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，则a≥2x−2x2在[1,+∞)上恒成立，又h(x)=2x−2x2在[1,+∞)上为单调递减函数，所以h(1)=0，可得a≥0．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值和切线方程，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=2lnxx，定义域(0,+∞)，f′(x)=2−2lnxx2，
令f′(x)=0，则x=e，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
则f(x)极大值=f(e)=2e，f(x)没有极小值；
(Ⅱ)当a=1时，f(x)=2lnxx+(x2−1)，定义域[1,+∞)，
则f′(x)=2−2lnxx2+2x=2(1−lnx+x3)x2，
令g(x)=1−lnx+x3，定义域[1,+∞)，则g′(x)=−1x+3x2=3x3−1x>0，
则g(x)在[1,+∞)上是增函数，则g(x)min=g(1)=2，所以f′(x)>0，
即f(x)在[1,+∞)上是增函数，则f(x)min=f(1)=0；
(Ⅲ)f(x)=2lnxx+a(x2−1)，定义域：(1,e)，f′(x)=2−2lnxx2+2ax=2(1−lnx+ax3)x2，
令g(x)=ax3−lnx+1，定义域：(1,e)，g′(x)=3ax2−1x=3ax3−1x，
①当a=0时，由(1)知f(x)在(1,e)上是增函数，f(x)>f(1)=0，不合题意；
②当a>0时，y=2lnxx在(1,e)上是增函数，y=a(x2−1)在(1,e)上是增函数，
则f(x)在(1,e)上是增函数，f(x)>f(1)=0，不合题意，
③当a<0时，g′(x)<0，则g(x)在(1,e)上是减函数，则g(x)当a+1≤0时，f′(x)<0，则f(x)在(1,e)上是减函数，f(x)max当a+1>0时，g(e)=ae3<0，则存在x0∈(1,e)，使g(x0)=0，即f′(x0)=0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
则f(x)极大值=f(x0)>f(1)=0，只需f(e)=2e+a(e2−1)<0，即a<−2e3−e，
综上，a的取值范围是(−1,−2e3−e)．
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，判断f(x)的单调，再求出f(x)的极值即可；
(Ⅱ)对f(x)求导，判断f(x)的单调，再求出f(x)的最值即可；
(Ⅲ)根据f(x)的导数，对a进行分类，结合函数的单调性和极值，求出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，由函数的零点求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．ξ
1
2
4
P
0.2
m
0.6
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
80%
90%
70%
X
0
1
2
P
514
1528
328
x
(0,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
2e
↘
x
(1,x0)
x0
(x0,e)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值f(x0)
↘