贵州省遵义市部分学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份贵州省遵义市部分学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．过点且斜率为-1的直线的点斜式方程为( )
A.B.C.D.
2．直线与的交点坐标是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,若,则( ).
A.B.4C.或1D.4或
4．若直线与平行,则它们之间的距离为( )
A.B.C.D.
5．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6．若直线经过第四象限,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
7．如图,将菱形纸片沿对角线折成直二面角,E,F分别为,的中点,O是的中点,,则折后直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知为直线上的一点,则的最小值为( )
A.B.C.4D.
二、多项选择题
9．如图,在四棱锥中,平面,底面为矩形,E,F分别为,的中点,则( )
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上的投影向量为
10．直线与在同一平面直角坐标系内的位置可能是( ).
A.B.C.D.
11．若三条不同的直线,,不能围成一个三角形,则m的取值可能为( )
A.8B.6C.4D.2
12．在空间直角坐标系Oxyz中,若,,,D四点可以构成一个平行四边形,则D的坐标可以为( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标为________.
14．已知,,三点在同一条直线上,则________.
15．如图,已知二面角的平面角大小为,四边形,均是边长为4的正方形,则________.
16．某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF,其中,,,,且,米,米.若计划在该公园内建一个有一条边在AB上的矩形娱乐健身区域,则该娱乐健身区域面积(单位:平方米)的最大值为______.
四、解答题
17．已知直线经过点.
（1）若与直线.垂直,求的方程;
（2）若在两坐标轴上的截距相等,求的方程.
18．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面PBC,平面PAB,D为PC的中点,.
（1）设,,,用,,表示;
（2）若,求.
19．如图,在直四棱柱中,底面是菱形,且,E,F,G分别为,AC,的中点,.
（1）求直线与EG所成角的余弦值;
（2）求点到平面EFG的距离.
20．在平面直角坐标系中,四边形为等腰梯形,,点,.
（1）求点C的坐标;
（2）求等腰梯形的面积.
21．如图,在四棱锥中,底面,底面为正方形,,E,F分别是,的中点,M是上一点.
（1）证明：平面.
（2）若,求平面与平面的夹角的余弦值.
22．已知的三个顶点是,,.
（1）过点B的直线与边AC相交于点D,若的面积是面积的3倍,求直线的方程;
（2）求的角平分线所在直线的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：过点且斜率为-1的直线的点斜式方程为.
2．答案：A
解析：联立方程组解得故与的交点坐标为.
3．答案：C
解析:因为,所以,解得或1.
4．答案：D
解析：因为,所以解得,则与之间的距离.
5．答案：B
解析：,,.故选B.
6．答案：C
解析：若,则l的方程为,不经过第四象限.若,
则l的方程为,经过第四象限.若,且,将l的方程转化为,
因为l经过第四象限,所以或解得或或.
7．答案：A
解析：以O为原点,,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,为两个单位长度,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.
设平面的法向量为,则得
取,得,易得与共线的一个向量为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
8．答案：A
解析：如图,为点到原点O和到点的距离之和,
即.设关于直线对称的点为,
则得即.易得,
当A,P,B三点共线时,取到最小值,且最小值为.
9．答案：ACD
解析：由图可知,在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为,
在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析:对于A选项,两条直线的斜率和截距均大于0,且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距,不符合题意,A不正确.对于B选项,当时,符合题意,B正确.对于C选项,当或时,符合题意,C正确.对于D选项,其中一条直线斜率不存在,不符合题意,D不正确.
11．答案：BCD
解析：若,则解得.若,则
解得.由解得即与的交点坐标为,
若过点,则,解得.
故选：BCD.
12．答案：ABC
解析：,,.设D的坐标为.
若四边形ABDC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.若四边形ABCD为平行四边形,则,则,,此时D的坐标为.
若四边形ADBC为平行四边形,则,则,此时D的坐标为.
13．答案：
解析：点关于x轴对称的点的坐标为.
14．答案：
解析：因为,,三点在同一条直线上,
所以,即,解得.
15．答案：
解析：因为,
所以.
又二面角的平面角大小为,四边形,均为边长为4的正方形,
所以,,,所以,则.
16．答案：
解析:以AF所在直线为x轴,DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
娱乐健身区域为矩形PQMN.
由题可知,直线EF的方程为,直线CD的方程为.
设,其中,则,,
则,,
四边形PQMN的面积.
当时,S取得最大值.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知,的斜率为,
设的斜率为,因为,所以,则,
又经过点,所以的方程为,即,
（2）若在两坐标轴上的截距为0,即经过原点,则的方程为,
若在两坐标轴上的截距不为0,则设的方程为,由,得,
故的方程为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）连接BD,.
因为D为PC的中点,,所以
所以.
（2）因为,
所以
.
因为平面PBC,平面PAB,
所以,,.
又,所以,
即.
19．答案：（1）
（2）
解析:（1）连接BD,因为底面ABCD是菱形,所以
因为F,G分别为AC,的中点,所以,则平面ABCD.
以F为坐标原点,FA,FB,FG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由,,得,,,,
则,.
,
故直线与EG所成角的余弦值为.
（2）由（1）知.设平面EFG的法向量为,
则,
令,得.
点到平面EFG的距离为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以
又,所以直线的方程为.
设,由,得,
解得或.
当时,,不符合题意,
当时,与不平行,符合题意,故点C的坐标为.
（2）,,
点到直线的距离,
故等腰梯形的面积.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：取的中点N,连接,.
因为E是的中点,所以,.
又底面为正方形,F是的中点,所以,,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,平面,所以平面,
（2）以A为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则,,,.
设,得,
则,.
因为,所以,解得,
从而,,.
设平面的法向量为,则
令,得,
设平面的法向量为,则
令,得,
,
故平面与平面的夹角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）设,则,
因为的面积是面积的3倍,所以
则,解得
故直线的方程为,即.
（2）显然,的斜率存在且不为零,设的方程为,
则过点B且与垂直的直线的方程为.
设点B关于直线l对称的点为,
因为直线AC的方程为,
所以,
整理得.
因为,所以,解得或.
又,,所以,
故直线的方程为,即.