2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则∁U(A∩B)=( )
A. {1,3,5}B. {2,4,6}C. {1,2,5,6}D. {3,5,6}
2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=10，b=14，B=2π3，则sinA=( )
A. −5 314B. 514C. −514D. 5 314
3.如图，向量AB=a，BD=b，DC=c，则AC向量可以表示为( )
A. a+b+c
B. a+b−c
C. a−b+c
D. a−b−c
4.已知sinα=34，且α∈(0,π2)，则sin2α=( )
A. −3 78B. 3 78C. −9 714D. 9 714
5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分( )
A. 82.4B. 82.7C. 83.4D. 83.5
6.已知A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，则三角形ABC的面积为( )
A. 3B. 5C. 7D. 8
7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C、D两观测点，且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为45°，30°，测得∠CBD=30°，则“大吉他”建筑AB的估计高度为多少米( )
A. 30 3米B. 34米C. 34 2米D. 30米
8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+f(y)−2，则( )
A. f(0)=0B. 函数f(x)−2是奇函数
C. 若f(2)=2，则f(2024)=−2D. 函数f(x)在(0,+∞)单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2+3i(i是虚数单位)，则下列正确的是( )
A. |z|= 13B. z的虚部是3
C. 若z+ti是实数，则t=0D. 复数z的共轭复数为z−=−2+3i
10.已知事件A、B发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=14，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=12
B. 若P(AB−)=14，则事件A与B−相互独立
C. 若A与B互斥，则P(A∪B)=12
D. 若B发生时A一定发生，则P(AB)=14
11.将函数y=sinx+1图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π(纵坐标不变)得到函数y=f(x)的图象，则下列关于y=f(x)说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为1
B. f(x)在[−5π12,π12]上为增函数
C. 对于任意x∈R都有f(x+23)+f(−x)=2
D. 若方程f(12ωx)=1(ω>0)在[0,2)上有且仅有4个根，则ω∈[116,73]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的终边经过(12, 32)，则tanα= ______．
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R)部分图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为______．
14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH内的动点(含边界)，则AP⋅AB的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,4)，b=(2,−1)．
(1)求|57a−87b|；
(2)若向量c=(2,m)，向量ma+c与向量a+mb共线，求m的值．
16.(本小题15分)
2024年5月3日，搭载娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩(满分100分)，其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；
(2)若在抽取的80名学生中，从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCa+b=cs(π2−A)−sinBa−c．
(1)求角B；
(2)若点D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，BD=2 3，求2a+c的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=−1+4sin(x+π6)csx(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小值，以及f(x)取得最小值时x的集合；
(2)已知π2<β<α<π，f(α−β2−π12)=85，f(β2+π6)=−1013，求csα的值．
19.(本小题17分)
若函数f(x)在定义域区间[a,b]上连续，对任意x1，x2∈[a,b]恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)是区间[a,b]上的上凸函数，若恒有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)是区间[a,b]上的下凸函数，当且仅当x1=x2时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若f(x)是上凸函数，则对任意x1，x2，…，xn∈[a,b]恒有f(x1+x2+⋯+xnn)≥f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，若f(x)是下凸函数，则对任意x1，x2，…，xn∈[a,b]恒有f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，当且仅当x1=x2=⋯=xn时等号成立.应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数f(x)=x2+1(x∈R)在定义域上是上凸函数还是下凸函数(说明理由)；
(2)证明ℎ(x)=sinx，x∈(0,π)上是上凸函数；
(3)若A、B、C、D∈(0,π)，且A+B+C+D=π，求sinA+sinB+sinC+sinD的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.D
8.B
9.AB
10.ABD
11.AC
12. 3
13.f(x)=2sin(12x+π4)
14.[−8 2,16+8 2]
15.解：(1)a=(−1,4)，b=(2,−1)，
则57a−87b=(−3,4)，
故|57a−87b|= (−3)2+42=5；
(2)c=(2,m)，a=(−1,4)，b=(2,−1)，
则ma+c=(−m+2,5m)，a+mb=(2m−1,−m+4)，
向量ma+c与向量a+mb共线，
则(−m+2)(−m+4)=5m(2m−1)，解得m=−1或89．
16.解：(1)由图可估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数为：
80+0.75−0.05−0.15−0.2−(分)；
(2)∵成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]中的比例为30：20：10=3：2：1，
∴从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]中采用分层抽样的方法随机抽取的6人分别为：3人，2人，1人，分别设其为a，b，c，1，2，d，则从这6人中选择2人的样本空间为：
Ω={(a,b)，(a,c)，(a,1)，(a,2)，(a,d)，(b,c)，(b,1)，(b,2)，(b,d)，(c,1)，(c,2)，(c,d)，(1,2)，(1,d)，(2,d)}，
其中共有15个样本点，
又成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，
设事件A=“被评为“探月达人“，则A={(1,2)，(1,d)，(2,d)}，其中包含3个样本点，
∴从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率为P(A)=315=15．
17.解：(1)因为sinCa+b=cs(π2−A)−sinBa−c，所以sinCa+b=sinA−sinBa−c，
由正弦定理知，ca+b=a−ba−c，
整理得a2+c2−b2=ac，
由余弦定理知，csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
因为B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因为BD为∠ABC的角平分线，
所以∠ABD=∠CBD=12∠ABC=π6，
因为S△ABC=S△ABD+S△BCD，
所以12acsinπ3=12⋅2 3c⋅sinπ6+12⋅2 3a⋅sinπ6，即ac=2a+2c，
所以1a+1c=12，
所以2a+c=2(2a+c)(1a+1c)=2(2+2ac+ca+1)≥2(3+2 2ac⋅ca)=6+4 2，当且仅当c= 2a时，等号成立，
所以2a+c的最小值为6+4 2．
18.解：(1)f(x)=−1+4sin(x+π6)csx
=−1+4( 32sinx+12csx)csx
=−1+(2 3sinxcsx+2cs2x)
=−1+( 3sin2x+1+cs2x)
=2sin(2x+π6)，
∴f(x)最小值为−2，取得最小值时2x+π6=−π2+2kπ(k∈Z)，即x=−π3+kπ(k∈Z)，
∴f(x)取得最小值时x的取值集合为{x|x=−π3+kπ,k∈Z}．
(2)f(α−β2−π12)=2sin(α−β)=85，即sin(α−β)=45，
f(β2+π6)=2sin(β+π2)=−1013，即csβ=−513，
∵π2<β<α<π，∴0<α−β<π2，
∴cs(α−β)=35，sinβ=1213，
∴csα=cs(α−β+β)=cs(α−β)csβ−sin(α−β)sinβ
=35×(−513)−45×1213=−6365．
19.解：(1)下凸函数，理由如下：任意取x1，x2∈R，
因为f(x1+x22)−f(x1)+f(x2)2=(x1+x2)24+1−x12+x22+22=−(x1−x2)24≤0，
f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，当且仅当x1=x2时等号成立，
故f(x)=x2+1(x∈R)是下凸函数．
(2)证明：任意取x1，x2∈(0,π)，不妨设x1≤x2，
ℎ(x1+x22)−ℎ(x1)+ℎ(x2)2=sin(x1+x22)−sinx1+sinx22
=sinx12csx22+csx12sinx22−sinx12csx12−sinx22csx22
=(sinx22−sinx12)(csx12−csx22)．
由于0则sinx22≥sinx12．csx12≥csx22，
所以ℎ(x1+x22)≥ℎ(x1)+ℎ(x2)2，即函数ℎ(x)是上凸函数．
(3)当A，B，C，D∈(0,π)，且A+B+C+D=π，
由(2)知ℎ(x)=sinx，x∈(0,π)是上凸函数，
所以sinA+sinB+sinC+sinD4≤sin(A+B+C+D4)=sinπ4= 22，
故sinA+sinB+sinC+sinD≤4sin(A+B+C+D4)=4sinπ4=2 2，
所以当且仅当A=B=C=D=π4时等号成立，
即sinA+sinB+sinC+sinD的最大值为2 2．