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2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|6−2xA. ⌀B. {−1,1}C. {3,5}D. {−1,1,3,5}
2.某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为( )
A. 15B. 17C. 17.5D. 18
3.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=5，a3+a5=10，则S6=( )
A. 632B. 63C. 312D. 31
5.已知直线x=5π12和x=17π12都是函数y=f(x)图象的对称轴，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sin(2x−π3)B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x−π6)
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，O为CD1的中点，则下列直线与AB1不垂直的是( )
A. OA1B. D1BC. A1CD. OE
7.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：(x−4)2+y2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 7B. 6C. 5D. 4 2
8.若直线l是曲线y=ex−1与y=ex−1的公切线，则直线l的方程为( )
A. y=x−1B. y=xC. y=x+1D. y=ex
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z满足z2+4=0，则( )
A. z为纯虚数
B. |z|=2
C. z的实部不存在
D. 复数z+z2在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数f(x)的定义域为R，对所有的x，y∈R，都有xf(y)−yf(x)=xy(y2−x2)，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数
C. f(x)在R上可能单调递增D. f(x)在R上可能单调递减
11.已知椭圆C：x28+y2m=1(0A. C的短轴长为4
B. C上存在点P，使得PF1⊥PF2
C. C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3
D. C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,1),AC=(1,m),CD=(3,6).若A，B，D三点共线，则m= ______．
13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2且Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数，则m= ______．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3bcsC−csinB= 3a．
(1)求角B；
(2)已知b=6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，E，F分别为棱AC，BB′的中点，AB=BB′=2．
(1)证明：BE//平面AFC′．
(2)求平面ABC与平面AFC′夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.(本小题17分)
若定义在区间D上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”，求a的取值范围．
(2)(i)证明：g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)设n∈N∗，证明：ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.D
7.C
8.B
9.AB
10.AC
11.BCD
12.−4
13.2
14.486
15.解：(1)因为 3bcsC−csinB= 3a，所以由正弦定理可得 3sinBcsC−sinCsinB= 3sinA，
又A=π−(B+C)，所以 3sinBcsC= 3sin(B+C)+sinCsinB，
所以 3sinBcsC= 3sinBcsC+ 3csBsinC+sinCsinB，
即 3sinCcsB+sinCsinB=0.因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csB+ 33sinB=0，即tanB=− 3，又B∈(0,π)，所以B=2π3；
(2)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accs2π3，即a2+c2+ac=36，
因为a2+c2≥2ac，所以36≥3ac，解得ac≤12，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
则△ABC的面积为12acsinB≤12×12× 32=3 3，即△ABC面积的最大值为3 3．
16.解：(1)甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724；
(2)由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X～B(3,14)，
则P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
17.解：(1)证明：取G为AC′的中点，连接EG，GF，
因为E为棱AC的中点，所以EG//CC，且EG=12CC′，
又F为棱BB的中点，所以BF=12BB′，
因为BB′//CC′且BB′=CC′，
所以EG//BF且EG=BF，
所以四边形EGFB为平行四边形，
所以EB//GF，
又EB⊄平面AFC′，GF⊂平面AFC′，
所以BE//平面AFC′；
(2)取O为BC的中点，H为B′C′的中点，连接AO，OH，
因为ABC−A′B′C′为正三棱柱，
所以OC，OA，OH两两垂直，
以O为坐标原点，OC，OH、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0, 3)，F(−1,1,0)，C′(1,2,0)，
AC′=(1,2,− 3)，FC′=(2,1,0)，
设平面AFC′的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC′=x+2y− 3z=0,m⋅FC′=2x+y=0．
令x=1，则y=−2，z=− 3，
可得m=(1,−2,− 3)，
又n=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=22 2= 22，
所以平面ABC与平面AFC夹角的余弦值为 22．
18.(1)解：双曲线中，设一个焦点F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0．
∴焦点F到渐近线的距离为bc a2+b2=b= 2．
∵实轴长是虚轴长的 2倍，所以a= 2b=2，
∴双曲线的标准方程为x24−y22=1；
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x=±2，∴|PQ|=2 2，S△OPQ=12×2×2 2=2 2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，且k≠± 22．
由y=kx+m,x24−y22=1,得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，可得4k2=m2+2．
由y=kx+m,y= 22x,得x=2m 2−2k．
设l与y= 22x的交点为P，则xP=2m 2−2k，同理xQ=−2m 2+2k，
∴|xP−xQ|=|2m⋅2 2( 2−2k)( 2+2k)|，
∴|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|．
∵原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，∴S△OPQ=12⋅|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|．
∵4k2=m2+2，∴S△OPQ=2 2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
19.(1)解：由题可知任意x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，
即ax12−ax222>x1−x2x1+x2，解得a>2(x1+x2)2，
因为x1+x2∈(2,+∞)，所以a≥12，即a的取值范围为[12,+∞)．
(2)(i)证明：设x1，x2∈(0,+∞)，
则g(x1)−g(x2)2−x1−x2x1+x2=lnx1−lnx22−x1−x2x1+x2=lnx1x22−x1x2−1x1x2+1，
令x=x1x2，且x∈(1,+∞)，ℎ(x)=lnx−2(x−1)x+1，x∈(1,+∞)，
则ℎ′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g(x1)−g(x2)2>x1−x2x1+x2，
所以g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)证明：由(i)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，
令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N∗，则ln(2n+1)−ln(2n−1)2>12n，即ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，
故ln3−ln1+ln5−ln3+⋯+ln(2n+1)−ln(2n−1)>11+12+13+⋯+1n，
化简可得ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
1.若集合A={x|6−2x
2.某同学测得连续7天的最低气温(单位：℃)分别为18，19，18，15，15，17，13，则该组数据的第70百分位数为( )
A. 15B. 17C. 17.5D. 18
3.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=5，a3+a5=10，则S6=( )
A. 632B. 63C. 312D. 31
5.已知直线x=5π12和x=17π12都是函数y=f(x)图象的对称轴，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=sin(2x−π3)B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(4x+π3)D. f(x)=sin(x−π6)
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，O为CD1的中点，则下列直线与AB1不垂直的是( )
A. OA1B. D1BC. A1CD. OE
7.已知点P在抛物线M：y2=8x上，过点P作圆C：(x−4)2+y2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 7B. 6C. 5D. 4 2
8.若直线l是曲线y=ex−1与y=ex−1的公切线，则直线l的方程为( )
A. y=x−1B. y=xC. y=x+1D. y=ex
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z满足z2+4=0，则( )
A. z为纯虚数
B. |z|=2
C. z的实部不存在
D. 复数z+z2在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数f(x)的定义域为R，对所有的x，y∈R，都有xf(y)−yf(x)=xy(y2−x2)，则( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数
C. f(x)在R上可能单调递增D. f(x)在R上可能单调递减
11.已知椭圆C：x28+y2m=1(0
B. C上存在点P，使得PF1⊥PF2
C. C上存在点P，使得PF1⋅PF2= 3
D. C与曲线 (x+ 6)2+y2+ (x− 6)2+y2=4 2重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,1),AC=(1,m),CD=(3,6).若A，B，D三点共线，则m= ______．
13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2且Sn+Sn+1=2n2+4n+m,m为常数，则m= ______．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3bcsC−csinB= 3a．
(1)求角B；
(2)已知b=6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，E，F分别为棱AC，BB′的中点，AB=BB′=2．
(1)证明：BE//平面AFC′．
(2)求平面ABC与平面AFC′夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.(本小题17分)
若定义在区间D上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，则称f(x)是D上的“好函数”．
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“好函数”，求a的取值范围．
(2)(i)证明：g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)设n∈N∗，证明：ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.D
7.C
8.B
9.AB
10.AC
11.BCD
12.−4
13.2
14.486
15.解：(1)因为 3bcsC−csinB= 3a，所以由正弦定理可得 3sinBcsC−sinCsinB= 3sinA，
又A=π−(B+C)，所以 3sinBcsC= 3sin(B+C)+sinCsinB，
所以 3sinBcsC= 3sinBcsC+ 3csBsinC+sinCsinB，
即 3sinCcsB+sinCsinB=0.因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csB+ 33sinB=0，即tanB=− 3，又B∈(0,π)，所以B=2π3；
(2)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accs2π3，即a2+c2+ac=36，
因为a2+c2≥2ac，所以36≥3ac，解得ac≤12，当且仅当a=c=2 3时，等号成立，
则△ABC的面积为12acsinB≤12×12× 32=3 3，即△ABC面积的最大值为3 3．
16.解：(1)甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724；
(2)由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X～B(3,14)，
则P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
17.解：(1)证明：取G为AC′的中点，连接EG，GF，
因为E为棱AC的中点，所以EG//CC，且EG=12CC′，
又F为棱BB的中点，所以BF=12BB′，
因为BB′//CC′且BB′=CC′，
所以EG//BF且EG=BF，
所以四边形EGFB为平行四边形，
所以EB//GF，
又EB⊄平面AFC′，GF⊂平面AFC′，
所以BE//平面AFC′；
(2)取O为BC的中点，H为B′C′的中点，连接AO，OH，
因为ABC−A′B′C′为正三棱柱，
所以OC，OA，OH两两垂直，
以O为坐标原点，OC，OH、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0, 3)，F(−1,1,0)，C′(1,2,0)，
AC′=(1,2,− 3)，FC′=(2,1,0)，
设平面AFC′的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC′=x+2y− 3z=0,m⋅FC′=2x+y=0．
令x=1，则y=−2，z=− 3，
可得m=(1,−2,− 3)，
又n=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=22 2= 22，
所以平面ABC与平面AFC夹角的余弦值为 22．
18.(1)解：双曲线中，设一个焦点F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0．
∴焦点F到渐近线的距离为bc a2+b2=b= 2．
∵实轴长是虚轴长的 2倍，所以a= 2b=2，
∴双曲线的标准方程为x24−y22=1；
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x=±2，∴|PQ|=2 2，S△OPQ=12×2×2 2=2 2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，且k≠± 22．
由y=kx+m,x24−y22=1,得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，可得4k2=m2+2．
由y=kx+m,y= 22x,得x=2m 2−2k．
设l与y= 22x的交点为P，则xP=2m 2−2k，同理xQ=−2m 2+2k，
∴|xP−xQ|=|2m⋅2 2( 2−2k)( 2+2k)|，
∴|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|．
∵原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，∴S△OPQ=12⋅|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|．
∵4k2=m2+2，∴S△OPQ=2 2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
19.(1)解：由题可知任意x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2，
即ax12−ax222>x1−x2x1+x2，解得a>2(x1+x2)2，
因为x1+x2∈(2,+∞)，所以a≥12，即a的取值范围为[12,+∞)．
(2)(i)证明：设x1，x2∈(0,+∞)，
则g(x1)−g(x2)2−x1−x2x1+x2=lnx1−lnx22−x1−x2x1+x2=lnx1x22−x1x2−1x1x2+1，
令x=x1x2，且x∈(1,+∞)，ℎ(x)=lnx−2(x−1)x+1，x∈(1,+∞)，
则ℎ′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g(x1)−g(x2)2>x1−x2x1+x2，
所以g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函数”．
(ii)证明：由(i)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx1−lnx22>x1−x2x1+x2，
令x1=2n+1，x2=2n−1，n∈N∗，则ln(2n+1)−ln(2n−1)2>12n，即ln(2n+1)−ln(2n−1)>1n，
故ln3−ln1+ln5−ln3+⋯+ln(2n+1)−ln(2n−1)>11+12+13+⋯+1n，
化简可得ln(2n+1)>1+12+13+14+⋯+1n．
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
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