贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（解析版）

这是一份贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，
故选：
2. 直线：与：的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】联立方程组解得，
故与的交点坐标为.
故选：A.
3.已知向量，，若，则（ ）
A. B. 4C. 或1D. 4或
【答案】C
【解析】因为，所以，解得或1．
故选：C.
4. 若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以解得，
则：与：之间的距离．
故选：D.
5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】对于因为，故三个向量共面；
对于假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，
即，，不共面；
对于,，故三个向量共面；
对于，故三个向量共面，
故选：
6. 若直线：经过第四象限，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若，则方程为，不经过第四象限．
若，则的方程为，经过第四象限．
若且，将的方程转化为，
因为经过第四象限，
所以或,
解得或或．
综上知，的取值范围为，
故选：
7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接、，依题意可得，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．
设平面的法向量为，
则，
得，取，得，
易得与共线的一个向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故选：A.
8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】如图，为点到原点和到点的距离之和，

即．设关于直线对称的点为，
则
得，
即．
易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（ ）

A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】因为平面，平面，所以，
又底面为矩形，所以，
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，
则,
所以，
则在方向上的投影向量为
，故A正确；
又，
所以在方向上的投影向量为
，
故B不正确；
又，，
所以所以在方向上的投影向量为
，
故C正确；
又，
所以在方向上的投影向量为
，故D正确．
故选：ACD．
10. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．
对于B选项，当时，符合题意，B正确．
对于C选项，当或时，符合题意，C正确．
对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．
故选：
11. 若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】BCD
【解析】若，则解得．
若，则解得．
由解得即与的交点坐标为，
若过点，则，解得．
故选：BCD．
12. 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由题意得.
设坐标为，
若四边形为平行四边形，则，则，
此时的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，
则，，此时的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，
则，此时的坐标为，
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】点关于轴对称的点的坐标为．
14. 已知，，三点在同一条直线上，则________．
【答案】
【解析】因为，，三点在同一条直线上，
所以，即，
解得．
15. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________．

【答案】
【解析】因为，
所以
,
又二面角的平面角大小为，
四边形，均为边长为4的正方形，
所以，
，
，
所以，则．
16. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________．

【答案】
【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．

由题可知，直线的方程为，直线的方程为．
设，其中，则，，
则，，
四边形的面积．
当时，取得最大值．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过点．
（1）若与直线：垂直，求的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
解：（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．

（1）设，，，用表示；
（2）若，求．
解：（1）如图所示，连接，可得，
因为为的中点，则，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以
，
因为平面，平面，且平面,平面，
所以，
又因为，
所以，
所以.

19. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，．

（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）连接．
因为底面是菱形，
所以．
因为，分别为，的中点，
所以，则平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，，得，，，，
则，，
，
故直线与所成角的余弦值为；
（2）由（1）知．设平面的法向量为，
贝，解得，
令，得，故，
点到平面的距离为.
20. 在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，．
（1）求点的坐标；
（2）求等腰梯形的面积．
解：（1）因为，
所以．
又，所以直线的方程为，即．
设，由，得，
解得或．
当时，，不符合题意，
当时，与不平行，符合题意，
故点的坐标为．
（2），，
点到直线：的距离，
故等腰梯形的面积．
21. 如图,在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．

（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
解：（1）取的中点，连接，．
因为是的中点，所以，．
又底面为正方形，是的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以,
因为平面，平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，．
设，得，
则，．
因为，所以，解得，
从而，，．
设平面的法向量为，则
令，得,
设平面的法向量为，则
令，得,
,
故平面与平面的夹角的余弦值为.
22. 已知的三个顶点是，，．
（1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程．
解：（1）设则，,
因为的面积是面积的3倍，所以，
则解得,
故直线的方程为，即.
（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点且与垂直的直线的方程为,
设点关于直线对称的点为，
因为直线的方程为，
所以,
整理得,
因为，所以，解得或,
又，，所以，
故直线的方程为，即.