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河南省郑州市 金水区河南省实验中学2023-2024学年八年级下学期开学测 数学试题（原卷版+解析版）
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1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的性质：（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变．据此逐项分析判断即可．
详解】解：A.若，则有，故本选项错误，不符合题意；
B. 若，则有，故本选项错误，不符合题意；
C. 若，则有，故本选项错误，不符合题意；
D. 若，则有，本选项成立，符合题意．
故选：D．
3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故选C．
4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选：B．
5. 到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
6. 如图，中，，垂足为，，垂足为，、相交于点．如果，那么的度数是（ ）
A B. C. D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解.
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 同位角相等
B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
C. 等腰三角形的两底角相等
D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查命题和定理，同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质，根据同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质即可判断．
【详解】A、同位角不一定相等，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、两个角相等不一定是对顶角，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等，所以原命题是真命题，故本选项符合题意；
D、如果，那么或，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据直线的交点确定不等式的解集，利用图象法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：令，当时，，
∴直线和直线相交于，
如图：
由图可知：不等式的解集为；
故选B．
10. 如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. 1.5D. 0.75
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，取的中点，连接，证明，进而得到，得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
∵边长为6的等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形的对称轴，
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针转得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵是对称轴上的一个动点，
∴当时，最小，此时，
∴，
∴最小为，
∴最小为；
故选C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若点在第二象限，则的取值范围是________．
【答案】x<1
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，解一元一次不等式，根据象限特点求点坐标中的参数，掌握象限中符号特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
解得，x<1，
故答案为：x<1 ．
12. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分边长作为腰和边长作为腰两种情况分类讨论即可．
【详解】解：边长作为腰时，三边为，
，
故不能构成三角形；
边长作为腰时，三边为，
，
故可以构成三角形，
，
故答案为：．
13. 是完全平方式，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．
14. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解进行求解即可．
【详解】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故x=1或0或，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在长方形中，点在上，且，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在长方形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段的长是________．
【答案】或或
【解析】
【分析】此题考查了矩形的折叠问题，分三种情况画出图形，根据矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、勾股定理等知识进行解答即可．
【详解】解：当点落在的延长线上时，设，
，，，
∴，
∴
，
，
在中，，
，
解得，
；
当点落在的延长线上时，则：，四边形为矩形，
∴；
当点落在的延长线上时，
∵
∴
∵关于直线对称的三角形记作，
∴
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解：
（1）提公因式法进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式
．
17. 为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
【解析】
【详解】易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
18. 解不等式是，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和．
【答案】数轴见解析，，整数解的和为
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：．
解得不等式①得：．
解得不等式②得：．
所以不等式的解集为．
在数轴上表示如下：
所有整数解的和为：．
19. 在边长为1的正方形网格中，点，，均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到．
（1）画出，写出点的坐标_______；
（2）的面积为_______；
（3）在轴上求作点，使的值最小，并求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，熟记平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据割补法求解即可；
（3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，则点Q即为所求
小问1详解】
如图所示，即为所求，，
故答案为：，
【小问2详解】
的面积为，
故答案为：
【小问3详解】
如图所示，点即为所求，
，设直线的解析式为：，
代入数据得：，
点即为所求．
20. 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【答案】（1）银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）A（0，150），B（15，300），C（45，600）；（3）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；
（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；
（2）由题意可得：当10x+150=20x，
解得：x=15，则y=300，
∴B（15，300），
当y=10x+150，x=0时，y=150，
∴A（0，150），
当y=10x+150=600，
解得：x=45，则y=600，
∴C（45，600）；
（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：
当0＜x＜15时，普通消费更划算；
当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15＜x＜45时，银卡消费更划算；
当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x＞45时，金卡消费更划算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
21. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）请求出何时△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）不变，∠CMQ=60°；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出结论；
（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此两种情况即可得出结论．
【详解】解：（1）不变，∠CMQ=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=，
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
22. 为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植两种蔬菜．若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元．
（1）求种植两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？
（2）村里规划种植这两种蔬菜共亩，且种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的倍，问种蔬菜种植多少亩，总收入最大，最大总收入是多少？
【答案】（1）种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元
（2）种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元
【解析】
【分析】（1）设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，根据“种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设种蔬菜种植亩，总收入为万元，根据题意得，根据一次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元；
【小问2详解】
解：设种蔬菜种植亩，总收入为万元，
根据题意得：，
∵要求种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的1.5倍，
∴，
解得：，
又，，
∴随的增大而减小，
∴当，取得最大值，（万元）
答：种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数．
了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
（2）基本运用：
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知，如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升：
如图③，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据得到、、，进而证明为等边三角形，得到，，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可求出；
（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，进而证明，得到，再证明，根据勾股定理得到，即可证明；
（3）将绕点顺时针旋转至处，连接．先根据求出，，根据旋转性质得到，，，，，
进而证明是等边三角形，，，根据，从而证明、、、四点共线，根据勾股定理求出，即可得到．
【小问1详解】
解：，
、、，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，
∵，，
∴，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，将绕点顺时针旋转至处，连接，
中，，，，
，
，
绕点顺时针方向旋转，得到△，
，，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等知识，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的性质：（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变．据此逐项分析判断即可．
详解】解：A.若，则有，故本选项错误，不符合题意；
B. 若，则有，故本选项错误，不符合题意；
C. 若，则有，故本选项错误，不符合题意；
D. 若，则有，本选项成立，符合题意．
故选：D．
3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故选C．
4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
【详解】
解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选：B．
5. 到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
6. 如图，中，，垂足为，，垂足为，、相交于点．如果，那么的度数是（ ）
A B. C. D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解.
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 同位角相等
B. 如果两个角相等，那么它们是对顶角
C. 等腰三角形的两底角相等
D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查命题和定理，同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质，根据同位角，对顶角的定义，等腰三角形的性质及等式的性质即可判断．
【详解】A、同位角不一定相等，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、两个角相等不一定是对顶角，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等，所以原命题是真命题，故本选项符合题意；
D、如果，那么或，所以原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据直线的交点确定不等式的解集，利用图象法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：令，当时，，
∴直线和直线相交于，
如图：
由图可知：不等式的解集为；
故选B．
10. 如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. 1.5D. 0.75
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，取的中点，连接，证明，进而得到，得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
∵边长为6的等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形的对称轴，
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针转得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵是对称轴上的一个动点，
∴当时，最小，此时，
∴，
∴最小为，
∴最小为；
故选C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若点在第二象限，则的取值范围是________．
【答案】x<1
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，解一元一次不等式，根据象限特点求点坐标中的参数，掌握象限中符号特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
解得，x<1，
故答案为：x<1 ．
12. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分边长作为腰和边长作为腰两种情况分类讨论即可．
【详解】解：边长作为腰时，三边为，
，
故不能构成三角形；
边长作为腰时，三边为，
，
故可以构成三角形，
，
故答案为：．
13. 是完全平方式，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．
14. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解进行求解即可．
【详解】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故x=1或0或，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在长方形中，点在上，且，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在长方形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段的长是________．
【答案】或或
【解析】
【分析】此题考查了矩形的折叠问题，分三种情况画出图形，根据矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、勾股定理等知识进行解答即可．
【详解】解：当点落在的延长线上时，设，
，，，
∴，
∴
，
，
在中，，
，
解得，
；
当点落在的延长线上时，则：，四边形为矩形，
∴；
当点落在的延长线上时，
∵
∴
∵关于直线对称的三角形记作，
∴
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解：
（1）提公因式法进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式
．
17. 为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
【解析】
【详解】易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
18. 解不等式是，在数轴上表示出其解集，并求出它的所有整数解的和．
【答案】数轴见解析，，整数解的和为
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：．
解得不等式①得：．
解得不等式②得：．
所以不等式的解集为．
在数轴上表示如下：
所有整数解的和为：．
19. 在边长为1的正方形网格中，点，，均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，将向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到．
（1）画出，写出点的坐标_______；
（2）的面积为_______；
（3）在轴上求作点，使的值最小，并求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，熟记平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据割补法求解即可；
（3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，则点Q即为所求
小问1详解】
如图所示，即为所求，，
故答案为：，
【小问2详解】
的面积为，
故答案为：
【小问3详解】
如图所示，点即为所求，
，设直线的解析式为：，
代入数据得：，
点即为所求．
20. 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【答案】（1）银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）A（0，150），B（15，300），C（45，600）；（3）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；
（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；
（2）由题意可得：当10x+150=20x，
解得：x=15，则y=300，
∴B（15，300），
当y=10x+150，x=0时，y=150，
∴A（0，150），
当y=10x+150=600，
解得：x=45，则y=600，
∴C（45，600）；
（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：
当0＜x＜15时，普通消费更划算；
当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15＜x＜45时，银卡消费更划算；
当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x＞45时，金卡消费更划算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
21. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）请求出何时△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）不变，∠CMQ=60°；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
【解析】
【分析】（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性质可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出结论；
（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此两种情况即可得出结论．
【详解】解：（1）不变，∠CMQ=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=，
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
22. 为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植两种蔬菜．若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元．
（1）求种植两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？
（2）村里规划种植这两种蔬菜共亩，且种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的倍，问种蔬菜种植多少亩，总收入最大，最大总收入是多少？
【答案】（1）种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元
（2）种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元
【解析】
【分析】（1）设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，根据“种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元；若种植亩种蔬菜和亩种蔬菜，总收入为万元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设种蔬菜种植亩，总收入为万元，根据题意得，根据一次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元；
【小问2详解】
解：设种蔬菜种植亩，总收入为万元，
根据题意得：，
∵要求种蔬菜的种植面积不少于种蔬菜种植面积的1.5倍，
∴，
解得：，
又，，
∴随的增大而减小，
∴当，取得最大值，（万元）
答：种蔬菜种植亩时，收入最大，最大收入为万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23. 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数．
了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
（2）基本运用：
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知，如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升：
如图③，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据得到、、，进而证明为等边三角形，得到，，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可求出；
（2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，进而证明，得到，再证明，根据勾股定理得到，即可证明；
（3）将绕点顺时针旋转至处，连接．先根据求出，，根据旋转性质得到，，，，，
进而证明是等边三角形，，，根据，从而证明、、、四点共线，根据勾股定理求出，即可得到．
【小问1详解】
解：，
、、，
由题意知旋转角，
为等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，
∵，，
∴，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，将绕点顺时针旋转至处，连接，
中，，，，
，
，
绕点顺时针方向旋转，得到△，
，，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等知识，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
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