河南省驻马店市上蔡县第一初级中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题3分共30分）
1. 下面式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．
【详解】解：A.左边不是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故A错误．
B.直接利用平方差公式，把多项式化为两个因式的乘积，故B正确．
C.左边是两个因式的乘积，不是多项式，是整式的乘法，不是因式分解，故C错误．
D．右边不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D错误．
【点睛】本题的关键是要正确理解因式分解的定义，左边是多项式和的形式，右边是因式积的形式，由和转变成积的形式．
2. 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式．
【详解】解：式子，中，分母不含未知数，不是分式，
，，中，分母含有未知数，是分式，共3个．
故选：B．
3. 若点在第二象限，则的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特点、解一元一次不等式组等知识，根据坐标轴上点的特点确定的取值范围是解题的关键．在平面直角坐标系中，第一象限：（正，正），第二象限：（负，正），第三象限：（负，负），第四象限：（正，负）．根据点在第二象限，列出关于的不等式组，求解即可求得的取值范围，然后确定符合题意的选项即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得 ，
∴的值可以是0，
即选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
4. 在下列各组条件中，能判定的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，在应用判定方法做题时找准对应关系，理解，不能作为全等的判定方法．
【详解】解：A、不是对应角相等，不能判定；
B、根据能判定；
C、不能根据判定；
D、，，都不是对应边，对应角，不能判定；
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，平方差公式，积的乘方运算，同底数幂出发运算，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
6. 如图，在中，，，是的平分线，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于，利用角平分线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到．
【详解】过点作于，如图，
是的平分线，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：C
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了等腰直角三角形的性质，解题关键是利用勾股定理直接计算边长．
7. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用图象表示函数关系，根据实际情况即可解答．
详解】∵一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，
∴当时，；当时，；且，
故选：B．
8. 如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，先求出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：根据网格可得：，
∴，即，
∴，
故选：C．
9. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A. 68B. 20C. 32D. 47
【答案】A
【解析】
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.
【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
10. 如图，在中，P、Q分别是上的点，作，垂足分别为点D、E，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由，，，得出是的角平分线，则；证得，得出；由得出，进一步得出，判断出，在和中，缺少全等条件．
【详解】解：，，，
是的角平分线，
，故③正确；
在和中，，
，
，故①正确；
，
，
，
，
故②正确
和中，缺少全等条件，故④不正确；
故选B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分共15分）
11. 反比例函数经过这两个点，则b的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，熟知反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，即反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积等于比例系数是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数经过这两个点，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在与中，E在 边上，，，，若，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
故答案为：．
13. 如图，，在内有一点P，，垂直AB于点M，垂直于点N，且，，连接，，则________．

【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接、，证是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，，则是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，

垂直于，垂直于，且，，
是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，，，
，，
是等边三角形，
，
故答案为：6
14. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，
由图可知：
故答案为：
15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，
圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处，
，，，
，
故答案为：10．
三、解答题（共75分）
16. （1）计算：．
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式乘法运算，整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先分解因式，再分子，分母进行约分即可；
（2）先将原式化为，再根据平方差公式，整式混合运算的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 解分式方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查的是解分式方程，解答此类方程时一定要进行验根．先去分母，把分式方程化为整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母进行检验即可．
【详解】解：原方程可化为：，
解得，
把代入得，，
故是原分式方程的增根，原方程无解．
18. 已知△ABC，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足，试判断三角形的形状．
【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【解析】
【分析】已知等式移项分解因式，根据两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到关系式，即可做出判断．
【详解】已知等式变形得：a2c2﹣b2c2－（a4﹣b4）=0，∴c2（a2﹣b2）-（a2+b2）（a2﹣b2）=0，∴（a+b）（a﹣b）[c2﹣（a2+b2）]=0，可得a﹣b=0或c2﹣（a2+b2）=0，即a=b或c2=a2+b2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
19. 已知y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当时，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键．
（1）由题意设，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）把代入所求函数式中，即可求得自变量的值．
【小问1详解】
解：∵y与成正比例，
∴设，
当时，，则，
即，
∴，
即；
【小问2详解】
解：当时，即，
解得：．
20. 已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
（1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】（1），证明见解析；
（2），，．
【解析】
【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系；
【小问1详解】
证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
21. 如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，
因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3 构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
22. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）

数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）．
【答案】问题呈现：；．或；数学思考：（1）；（2）；拓展运用：
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答；
数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:；
故答案为：；；
数学思考：
（1），，
，
的值为25；
（2）设，，
，
，
，
，
的值为4050；
拓展运用：的面积，
理由：设，，
，
，
，
，
的面积
．
23. （1）如图，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与重合），以为边作等边，连接．易求______；
（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与重合），以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：线段之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点按逆时针方向排列），连接．，，求的长．（保留根号）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用等式的性质判断出，进而得出，即可得出答案；
（2）同（1）的方法判断出，进而得出，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：120；
（2）；理由如下：
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理得，；
（3）∵，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
∵是等腰直角三角形，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，判断出是解本题的关键．