河南省郑州市外国语总校初中部2023-2024学年八年级下学期开学评价考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ）．
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵22＋32≠42，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22＋52≠52，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52＋82≠102，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72＋242＝252，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2. 144的平方根是的数学表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根定义，如果一个数平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．
【详解】，
故选C．
【点睛】本题考查了平方根的的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
3. 点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A. 1B. C. 2023D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
由题意得到关于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可．
【详解】解：与点关于轴对称，
解得，．
．
故选B．
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 经过证明为正确的真命题叫做公理
B. 假命题不是命题
C. 要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D. 要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可．
【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误；
B、假命题是不正确的命题，故此选项错误；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误；
故选：C．
5. 某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了 统计，绘制成如图所示的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数 分别是（单位：辆）（ ）
A. 18.4，16，16B. 18.4，20，16
C. 19， 16，16D. 19， 20，16
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各辆的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
【详解】解：根据题意得：
销售16辆的人数是：20×40%=8（人），
销售28辆的人数是：20×15%=3（人），
销售14辆的人数是：20×20%=4（人），
销售20辆的人数是：20×25%=5（人），
则这20位销售人员本月销售量的平均数是：；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数，
则中位数是：，
∵销售16辆的人数最多，
∴这组数据的众数是16．
故选A．
【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6. 如图，在边长为1的正方形方格中，，，，均为格点，构成图中三条线段，，．现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（ ）
A. 能拼成一个锐角三角形B. 能拼成一个直角三角形
C. 能拼成一个钝角三角形D. 不能拼成三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解；由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7. 佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
则12：00时看到的两位数是（ ）
A. 16B. 25C. 34D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】设小明12：00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为7，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】设小明12:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，
由题意列方程组得：，
解得：，
∴12：00时看到的两位数是16．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，掌握里程碑上的数的表示是解题的关键．
8. 如图，中，且，，则的度数（ ）
A. 90°B. 110°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】设∠ABC=α，根据∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF推断出∠EFD=90°-α，从而得到方程，求解即可得到结论．
【详解】解：设∠ABC=α，
∴∠A+∠C=180°-α，
∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，
∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，
①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，
∴2∠AFE+2∠CFD=360°-（180°-α）=180°+α，
∴∠AFE+∠CFD=90°+α，
∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α）=90°-α，
∵∠EFD=30°，
∴90°-α=30°，
∴α=120°，
∴∠ABC的度数为120°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9. 如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）cm
A. 8B. 4C. 2D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．
【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，，
如图2中，，
∵ ，
∴爬行的最短路径是cm．
故选B
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．
10. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；
在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 在这7个数中，无理数共有______个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数即无限不循环小数，即可得到答案．
【详解】解：在这7个数中，无理数有，共有2个．
故答案为：2．
12. 不等式的正整数解是__．
【答案】1，2，3，4，5，6
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题的关键．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】解：根据不等式的基本性质，得，
不等式，
，
，
；
所以不等式的正整数解是：1，2，3，4，5．
故答案为1，2，3，4，5．
13. 如图，直线，一块∠B=60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1=70°，则∠2的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质，先求出，的度数，再利用三角形内角和求出．
【详解】
如图，
∵，
∴，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键．
14. 一组从小到大排列的数据：，3，5，5，6（为正整数），唯一的众数是5，则该组数据的平均数是______．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题主要考查众数的定义以及平均数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意得到或2，计算即可．
【详解】解：数据：（为正整数），唯一的众数是5，
或2，
当时，平均数为；
当时，平均数为；
故答案为：4或．
15. 如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果，且．那么AH等于________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意设，则可得，，即可得，由勾股定理列方程求出x的值即可得出结论．
详解】解：∵
∴设，则，，
，，和是四个全等直角三角形，
，
在中，，
，
解得：．
．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．
三、解答题（共55分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）17 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
（1）先运用二次根式乘除法则进行计算，再进行相减即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
17. 解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【答案】图见详解，；
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①和②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解即可得到答案；
【详解】解：解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
在数轴上表示如下，
，
∴不等式组的解集为：．
18. 完成下面的证明．
已知：如图，，，分别是，的平分线，求证：．

证明：∵（已知），
∴（ ）
∴ （ ）
∵，分别是，的平分线（已知）
∴ ，（ ）
∴
∴（ ）．
【答案】内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；3；角平分线的意义；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】由平行线的判定得，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而可判定．
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵，分别是，的平分线（已知）
∴，（角平分线的意义）．
∴
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
19. 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由．
【答案】（1）8个成人，4个学生
（2）购团体票更省钱，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）求出购买16张团体票的总钱数，与350比较后即可得出结论．
小问1详解】
解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
【小问2详解】
如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元），
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用．
20. 如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种连接方案：
（1）；
（2）（D为的中点）；
（3）（O为三边的垂直平分线的交点）．
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
【答案】应选方案（3）
【解析】
【分析】根据题意设等边三角形的边长为，分别计算三种方案的各线段的和，进而求得铺设的光缆长度最短的方案．
【详解】解：设等边三角形边长为，如图（1），方案（1）；
则铺设的光缆长度为；
如图（2），方案（2）中，
D为的中点，为等边三角形
，
在中
则铺设的光缆长度为；
如图（3），方案（3）中，
O为三边的垂直平分线的交点，
，
，
，
设，
，
，
解得，
，
则铺设的光缆长度为，
，
要使铺设的光缆长度最短，应选方案（3）．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
21. 定义：若点M、N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段的勾股分割点，，，若，，则________．
拓展研究：
（2）如图，在等腰中，，，M、N为直线上两点，满足．
①如图2，点M、N在线段上，求证：点M、N是线段的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段上，点N在线段的延长线上，，则______．
【答案】（1）5 （2）①见解析；②2
【解析】
【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，，代入计算即可；
（2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，利用证明，得，即可证明结论；
②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，代入数据求解，从而得出答案．
【小问1详解】
解：∵以为边的三角形是一个直角三角形，，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5；
【小问2详解】
①证明：∵，，
∴，
将绕点C逆时针旋转得到，连接，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点；
解：将绕点C逆时针旋转得到，连接，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，读懂题意，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
时刻
12：00
13：00
14：00
里程碑上的数
是一个两位数，数字之和为7
十位数字和个位数字与12：00时看到的刚好相反
比12：00看到的两位数中间多了个0