福建省漳州市部分区县2024-2025学年高一上学期开学联考数学试题（解析版）

这是一份福建省漳州市部分区县2024-2025学年高一上学期开学联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图为一种结构简单的长方体空心结构件，其具有较高的强度和刚性，广泛应用于建筑领域、桥梁工程、汽车制造、航空航天以及环保方面.图中箭头所指方向为正面，则该几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可得解.
【详解】该几何体的主视图为：
，
故选：C.
2. 某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米.学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意实际速度为，求出原计划所需时间及实际所用时间，结合时间关系列方程即可.
【详解】由已知可得实际速度为，
所以原计划所需时间为，实际所用时间为，
所以.
故选：D.
3. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A. 摸出白球B. 摸出红球C. 摸出绿球D. 摸出黑球
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式逐项计算即得.
【详解】对于A，摸出白球的概率为，不符合题意；
对于B，摸出红球，符合题意；
对于C，摸出绿球，不符合题意；
对于D，摸出黑球，不符合题意.
故选：B
4. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案．
【详解】因为不等式恒成立，
则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选：B．
5. 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为.若是“相随数对”，则的值为（ ）
A. -2B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义可得，化简可求，化简并代入求值即可.
【详解】因为是“相随数对”，
所以，
所以，即，
所以.
故选：A.
6. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图（1）所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是（ ）
A. 勒洛三角形不是中心对称图形
B. 图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等
C. 图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等
D. 图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
【答案】C
【解析】
【分析】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，判断A,根据定义判断B,根据勒洛三角形上的点到等边三角形的中心的距离不一定相等判断C,应用弧长公式计算判断D.
【详解】勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项A正确；
题图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等，选项B正确；
如图，连接，连接并延长交于点G，
设等边三角形DEF边长为a，易得，，，
勒洛三角形上的点到等边三角形DEF的中心的距离不一定相等，选项C错误；
设等边三角形DEF的边长为a，则勒洛三角形的周长，圆的周长，
勒洛三角形的周长与圆的周长相等，选项D正确.
故选:C
7. 能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放，，.连接，交于点，交于点，若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过E作于H，证明四边形是矩形，由勾股定理可求，证明，由此可求，再证明，结合相似三角形性质求.
【详解】根据题意知：，，
过E作于H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
8. 如图，点H是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，，若反比例函数的图像经过C，H两点，则k的值是（ ）
A. B. 12C. D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作轴，再结合图形特征得出H的坐标，最后设点应用反比例关系求参即可.
【详解】过点C作轴，延长交于点F，
与x轴平行，与y轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点H的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过C、H两点，
，
，
，
，
故选：D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9. 设集合，且，则实数a可以是（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果.
【详解】，因为，所以，
因为，所以当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，满足，
故选：ACD.
10. 已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】令，，因为，，所以，，
则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），
则，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为不等式恒成立，
所以，则.
故选：AB
11. 设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（ ）．
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求得或，且，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为非空集合，满足：当时，有，
所以当时，由，即，解得或，
同理，当时，由，即，解得，
对于A中，若，则必有，则，解得，所以A正确；
对于B中，若，则，解得，所以B正确；
对于C中，若，则必有，则，此时，所以，所以C不正确；
对于D中，若，则满足，解得或，所以D错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一粒米的质量是0.000021千克，0.000021用科学记数法表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据科学计数法的表示方法即可.
【详解】0.000021千克千克；
故答案为：.
13. 如果两个正数，即，，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具.根据上述结论，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，由条件可得，结合所给结论可求的最小值.
【详解】，时，，
，
令，
，
，，
，
的最小值为.
故答案为：.
14. 如图，在中，，点是上一动点，将沿翻折得到，点恰好落在上.若，，则线段的长为______.

【答案】
【解析】
【分析】过作于，由条件证明 ，，由此可求，解三角形求，由此可求.
【详解】过作于，

在中，，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵将沿翻折得到，点恰好落在上，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 先化简、再求值：，其中.
【答案】，
【解析】
【分析】对原式第一项中被除式通分，除式的分子，分母分别分解因式，再结合分式的运算法则化简，得到最简结果，结合条件求，再代入求值．
【详解】
，
∵，
∴，
∴原式.
16. 设全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；
（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.
【小问1详解】
由得：，解得：，
则，；
当时，，解得，
则；.
【小问2详解】
由（2）知：；由,
解得：，即，
因为是的必要不充分条件，是的真子集，
且等号不会同时取到，解得，
即实数的取值范围为.
17. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，再证明，由此可得，结合切线性质证明结论.
（2）由条件求，解三角形求，结合三角形面积公式和扇形面积公式可求阴影部分面积.
【小问1详解】
连接，

是直径，
，
，，
，
，
， 是的半径，
直线是的切线；
小问2详解】
，，
，
，
在中，，，
，解得，
．
18. 仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路.经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方.(参考数据：，，，)
（1）求的距离；(结果精确到个位)
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【答案】（1）的距离约为550米
（2）小亮先到达E点
【解析】
【分析】（1）设的延长线交于点F，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）在中，求解米，在中，求解米，再进一步求解即可．
【小问1详解】
设的延长线交于点F，
由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，，
在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴(米)，
答：的距离约为550米；
【小问2详解】
在中，
∵，米，
∴(米)，
∴在中，
∵，米，
∴(米)，
∴米，
∴小华到达E点所花时间为，
小亮到达E点所花时间为，
∵，
∴小亮先到达E点.
19. 已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；
（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标.
【答案】（1）
（2）点
（3）点
【解析】
【分析】（1）由条件可得抛物线的对称轴为，且时，，列方程可求，由此可得抛物线解析式；
（2）由（1）求点的坐标，再求，由条件结合三角形面积公式证明，过点作轴于点，解三角形求，由此可得结论；
（3）设直线交轴于点，由条件可求，利用待定系数法求的解析式，联立方程组求点的坐标.
【小问1详解】
∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴方程为，且时，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
小问2详解】
令，得，
解得：，，
∴，，
令，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，设点到的距离为，
∴，
∴，
过点作轴于点，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
设直线交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
联立，
解得，又点在第二象限，
所以
∴.