2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，被墨迹污染的数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  根据图中三视图可知该几何体是(    )
 

A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱

3.  世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗某超市以元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋元，每天可售出袋；若售价每降低元，则可多售出袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到元？若设每袋粽子售价降低元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫如图，将“雪花”图案边长为的正六边形放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  老师布置了任务：过直线上一点作的垂线在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是(    )

A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是        ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______ ．

14.  如图所示，半圆的直径长度为，半径，沿将半圆剪开得到两个圆心角为的扇形将左侧扇形向右平移至图位置，则所得图形中重叠部分的面积为______ ．

15.  如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
化简求值：，其中从，，，，中选取一个合适的数．

17.  本小题分
“此生无悔入华夏，来世再做中国人”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种图与图是根据此次调查得到的统计图不完整，请根据统计图回答下列问题：

此次抽样调查的人数是        人；
       ；        ；
为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？

18.  本小题分
在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合如图，其中，，，并进行如下研究活动，将图中的纸片沿方向平移，连结，如图，当点与点重合时停止平移．

图中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．
当纸片平移到某一位置时，小敏发现四边形为矩形如图，求的长．

19.  本小题分
枯槔俗称“吊杆”“称杆”，如图，是我国古代农用工具，桔槔始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，：：当点位于最高点时，；当点从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度．
参考数据：，，
 

20.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．
“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
该航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天宫”模型的售价为元设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
求与的函数关系式不要求写出的取值范围；
若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为米的平台，垂直于水平面，滑道分为两部分，其中段是双曲线的一部分，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点为抛物线的顶点，且点的竖直高度为米，滑道与水平面的交点距的水平距离为米，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为，距直线的水平距离为．
请求出滑道段与之间的函数关系式；
当滑行者滑到点时，距地面的距离为米，求滑行者此时距滑道起点的水平距离；
在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点与最高点连线与水平面夹角应不大于，且由于实际场地限制，，求长度的取值范围．

23.  本小题分
问题情境
王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为求证：．
小明的证明思路是：
如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
变式探究
如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．

结论运用
如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值．
迁移拓展
图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据图示，被墨迹污染的数大于且小于，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C不符合题意；

，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，被墨迹污染的数大于且小于，据此逐项判断即可．
此题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为与不是同类项，不能合并计算，所以选项计算错误，故A选项不符合题意；
B.因为，所以选项计算正确，故B选项符合题意；
C.因为，所以选项算不正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选项计算不正确，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
B.应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
C.应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
D.应用同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查的是随机事件及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
超市每天售出此种粽子的利润．
故选：．
由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，则点，
在中，，，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，
顶点的坐标为，
，，
，
菱形中，，
，，
轴，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象与菱形对角线交于点，
．
故选：．
首先过点作轴于点，由，顶点的坐标为，可求得的长，进而根据菱形的性质，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交点，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出是解本题的是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方案Ⅰ：，
是直角三角形；
故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：由作图得：是的中点，且，
，
是直角三角形，
故选：．
两个方案分别根据“勾股定理的逆定理”和“如果三角形一边上我中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”进行的作图，故都正确．
本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
 

13.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
点落入黑色部分的概率为，
边长为的正方形的面积为，
设黑色部分的面积为，
则，
解得
估计黑色部分的总面积约为．
故答案为：．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，作于点．
，
，
，
，
在直角中，，则，
则弧和以及围成的阴影部分的面积是：，
则．
故答案是：．
连接，作于点，，即可求得弧和以及围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：如图，正方形以为对角线，且点在点的左侧，
，，，
，
，
；
当正方形以为对角线，且点在点的右侧时，；
如图，正方形以为对角线，且点在点的左侧，
，，
，
，
，
，
解得；
如图，正方形以为对角线，且点在点的右侧，
，，
，
解得，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
分三种情况，一是正方形以为对角线，则，所以，此时点在点的左侧或右侧，的长相同；二是正方形以为对角线，且点在点的左侧，则，所以，则；三是正方形以为对角线，且点在点的右侧，则，所以．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据正方形的对角线的不同和点的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

，
根据分式有意义的条件可得，，
当时，原式． 

【解析】先算乘方，再化简绝对值、二次根式，最后算加减；
先根据分式的混合运算法则化简，再选取合适的数代入计算即可．
本题考查了实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握乘方的运算法则、绝对值的代数意义和分式的混合运算法则是解题关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：人，
故答案为：；
，
，
，
，
故答案为：，；
列表如下：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
根据图和图中的数据计算即可；
根据图和图中的数据和的数据求解即可；
采用列表法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

18.【答案】解：四边形是平行四边形．
证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
如图，连接交于点，

四边形为矩形，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
． 

【解析】由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；
连接交于点，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：过作，过作于，过作于，如图所示：
则，
，，
，，
米，：：，
米，米，
，，
米，米，
米，
即此时水桶上升的高度约为米． 

【解析】过作，过作于，过作于，先求出，，再求出米，米，然后由锐角三角函数定义求出米，米，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

20.【答案】证明：如图，连接，，

是的直径，
，点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：设与交于点，连接，

是直径，
，
，
不妨设，，则，
，
，
解得，．
，，
．
点是的中点，
为的中点，
是的中位线，
． 

【解析】连接，，利用圆周角定理得到，再证，从而得到，最后证得结论；
设与交于点，连接，由圆周角定理得到，在中，根据三角函数的定义和勾股定理求得，证得是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“神舟”模型成本为每个元，“天宫”模型成本为每个元；
设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，
则，
与的函数关系式为；
购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“神舟”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根；
设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可；
根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
 

22.【答案】解：在双曲线上，且根据题意，
，
为抛物线的最高点，
则设抛物线的解析式为顶点式，
根据题意得此时，代入解析式得，
解得：，
滑道段与之间函数关系式为；
令上式时，则，
解得，舍去，
，
将代入中得，
，
，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；
根据上面所得，时，此时，
则点不可往左，可往右，则最小值为，
又，
，
．
长度的取值范围为． 

【解析】点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出点坐标．又因为点为抛物线的顶点，且点到地面的距离为米，据此可求出解析式．
依据前面的解析式求出、的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
 

23.【答案】证明：连接，如图，

，，，
，
，
，
．
小颖的证明：
过点作，如图，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；

证明：连接，如图，

，，，
，
，
，
；

证明：
过点作，如图，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．

解：如图，过点作，

四边形是矩形，
，，
，，
，
由折叠有，，，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
由问题情景中的结论可得：，
．
的值为．

解：延长，交于点，作，如图，

，
，
，，
，
∽，
，
，
由问题情景中的结论可得：，
设，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，且，分别为，的中点，
，，
与的周长之和




，
与的周长之和． 

【解析】按照小明，小颖的证明思路即可解决问题．
借鉴小明，小颖的证明思路即可解决问题．
易证，过作，垂足，利用问题情境中的结论可得，易证，，只需求即可．
由条联想到三角形相似，从而得，进而补全等腰三角形，，的周长之和就可转化，而是的高，只需利用勾股定理建立方程，求出，再求，就可解决问题．
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．