专题05 特殊三角形（知识串讲+13大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=12AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝12AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图， △ABC≌△ADE，点D在BC上，若∠EAC=30°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【变式1】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为（ ）
A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°
【变式2】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD ②BD+AD=DE
③∠DAB=∠BCD ④AE2+AD2=2BC2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3】（2018·天津河东·八年级统考期末）如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为（ ）．
A．α+β=90°B．α+2β=180°C．α=βD．α=2β
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是6，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【变式1】（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为（ ）
A．9B．6C．10 D．12
【变式2】（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：点M是BE的中点．
【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
(1)若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
(2)若P为线段BC上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
【变式4】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图①所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC．
(1)若AD=AE，求证：BD=CE．
(2)如图②所示，若BD=CE，F为DE的中点，∠BAF=70°，求∠C的度数．
【变式5】（2024上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，ΔABC中，AD是边BC上的高，E、F分别是CF、AB的中点，且DC=BF．
(1)判断并说明DE与CF的位置关系；
(2)若AB=10，CF=8，求DE．
考点3：等腰三角形判定
典例3：（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
(1)求证：△BDE是等腰三角形；
(2)若∠A=30°，∠C=70°，求∠BDE的度数．
【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
(1)求证：△CDM是等腰三角形．
(2)若AB=10,AC=8，求CM的长度．
【变式2】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB=5，AC=6，求△AMN的周长．
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD（AB
(1)求DF的长；
(2)求△DBF和△DEF的面积；
(3)求△DBF中F点到BD边上的距离．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，已知AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE与AD交于点P，下列结论中不一定成立的是（ ）．
A．∠APE=∠CB．BP=2PQC．AQ=BQD．AE+BD=AB
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD:DB=1:2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE:CF=（ ）
A．34B．45C．56D．67
【变式2】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，连接CD，点E是CD上一点，∠CAE=∠BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．AE=ADB．∠AED=60°C．BD=CED．∠AEC=∠BDC
【变式3】（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图， △ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
考点5：等边三角形判定
典例5：（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB于C，ED⊥OA于D，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)若DE=6，求线段OF的长．
【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．
求证：

(1)AD=BE；
(2)△CMN是等边三角形．
【变式2】（2023上·广东广州·八年级铁一中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC上的中线，E是AC的中点，连接DE．
(1)求证：△ADE为等边三角形；
(2)若AD=3，求AB的长．
【变式3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，等边△ABC中，点E在边BC上，CD∥AB，且CD=BE．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)判断△ADE的形状，并说明理由．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E分别在边BC，AC上，将△CDE沿着DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且CD=C′B．
(1)求证：△AC′E是等腰三角形；
(2)连接CC′交DE于点F，若∠A=60°，AB=8，求DF的长度．
【变式1】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在△ACB和△ECD中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M．

(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数；
(3)如图2，当α=60°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【变式2】（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知，如图△ABC，E是BC上一点，∠BAC=∠AEB=α，△ABC角平分线BD交AE于H，G为DH中点，延长AG交BC于F．
(1)求证：AH=AD；
(2)若α=80°，∠C=40°，求证：AF=AB．
【变式3】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．

(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AC=12cm，求CM的长．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M=∠DAEB．∠DAE=12∠ABC−∠C
C．EF∥ABD．∠EFC=2∠M+∠C
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（ ）
A．56°B．28°C．68°D．34°
【变式3】（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，连接两弧的交点与AB,AC分别交于点D，点E，连接CD，若BD=CD，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．100°C．90°D．80°
考点8：垂直平分线的判定
典例8：（2024上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC=60°，AD=5，求线段OD的长．
【变式1】（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形ABC的外部一点，且AD=CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
(1)求证：BD垂直平分线段AC；
(2)若BC=10，CF=4，求DE的长．
【变式2】（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB．
(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）在△BCN中，BC=BN，点N在线段AB上（如图位置），AB为Rt△ABC的斜边，MN⊥AB于N，MN交AC于M，连接BM，CN相交于F，∠ACB=90°．

求证：
(1)Rt△MBC≌Rt△MBN．
(2)BM垂直平分CN．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，CD⊥AB于点D，点E为AB的中点，连接CE，若CD=6，则AB的长为（ ）
A．23B．8C．43D．36
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC，其中点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点，连接DG，AF，EH．则线段DG，AF，EH的数量关系是（ ）

A．2AF2=2DG2+EH2B．2AF2=DG2+2EH2
C．AF2=DG2+EH2D．2AF2=DG2+EH2
【变式2】（2024上·广东清远·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，E为CD边上一点，连接BE，DEEC=13，取BE中点F，连接CF，则CF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3】（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF=90°，则下列说法：
①EC+CF=2AD；
②EC2+CF2=2DF2；
③SΔAED+SΔBFD=12SΔABC（S代表三角形面积）；
④CΔAED+CΔBFD=CΔABC（C代表三角形周长）
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：（2023上·广东江门·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120°，AB=4，则圆心点D的坐标是（ ）
A．3,1B．−3,1C．−1,3D．−2,23
【变式1】（2024上·天津宁河·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内部的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=5，DE=2，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2】（2024上·广东云浮·九年级罗定中学校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（ ）
A．12B．6C．62D．63
【变式3】（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，给出下列结论：①DB平分∠CDE；②AE=BC；③BC=2CD；④BD+DE=AC．
其中正确的结论有（ ）

A．4B．3C．2D．1
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图在等腰直角△ABC中，若∠ACB=90°，E为AD中点，CD=CE，则∠DAB的度数为（ ）

A．60°B．30°C．45°D．15°
【变式1】（2022上·湖南株洲·八年级统考期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式3】（2022·四川南充·统考一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）CD+CE=2OC；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）PO⋅PC=PD⋅PE．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P、Q在BC上，且BP=CQ，PD⊥AQ于E，交AC于D，连结AP．下列结论：①∠PAQ=45°；②PA=PD；③AB2−AP2=14BC2−PQ2；④BP2+CP2=2AP2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；
②△ABE≌△ACD；
③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2．
其中正确的是（ ）

A．②④B．①④C．②③D．①③
【变式2】（2023上·山西大同·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD．若AB=6，AC=8，则BD的长为（ ）
A．52B．5C．53D．6
【变式3】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=（ ）
A．22B．2C．3D．55
考点13：直角三角形——两角互余
典例9：（2023下·山东青岛·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，且D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，则∠AFD的度数是（ ）
A．160°B．150°C．140°D．120°
【变式1】（北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB=51°，则∠CBA的大小为（ ）
A．51°B．49°C．40°D．39°
【变式2】（2023上·上海金山·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，∠C=30∘，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，EF∥AC交BC于点F，下列结论不成立的是（ ）
A．∠ABD=∠DACB．∠C=∠BAD C．AC=2ADD．AD=2DF
【变式3】（2023上·广东东莞·八年级统考期中）已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．AB=CED．∠1=∠2