这是一份湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步２-６-1直线与圆的位置关系练习含答案，共19页。
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系基础过关练 题组一 直线与圆的位置关系1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心2.(2022湖南临澧一中期中)已知直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,0) B.-12,+∞C.-∞,-14 D.-12,-143.设m>0,则直线l:2(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为 . 4.直线l: x-1=m(y-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是 . 题组二 圆的切线与弦长问题5.(2022山东潍坊一中期末)已知过点P(2,2)的直线与圆x2+(y-1)2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-12 B.12C.-2 D.26.(2020浙江杭州月考)设圆心在x轴上的圆C与直线l1:x-3y+1=0相切,且与直线l2:x-3y=0相交于M,N两点,若|MN|=3,则圆C的半径为( )A.12 B.32C.1 D.27.(2021辽宁阜新一中模拟)已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为 . 8.(2022江西抚州期末)已知圆C与x轴相切,圆心在直线y=3x上,且直线y=x被圆C截得的弦长为27,则圆C的方程为 . 9.(2022湖南长沙一中月考)不经过坐标原点的直线l:x+y+m=0被曲线C:x2+y2-2x-2y-2=0截得的弦长为22,则m的值为 . 题组三 直线与圆的位置关系的综合应用10.(2022重庆西南大学附中月考)已知直线3x+4y-10=0与圆C:x2+y2-2x+4y-20=0相交于A,B两点,点P在圆C上,且满足S△PAB=4,则满足条件的点P的个数为( )A.1 B.2C.3 D.411.(2022陕西西安三中期末)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=23,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,则实数m的取值范围是( )A.[-25,25] B.[-5,5]C.(-5,5) D.[-5,5]12.(2022湖南株洲一中期末)已知A为直线l:3x-4y+m=0上一点,点B(4,0),若|AB|2+|AO|2=16(O为坐标原点),则实数m的取值范围是( )A.[-4,16] B.[-16,4]C.(-4,16) D.(-16,4)13.(2022福建泉州实验中学月考)已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是 . 能力提升练题组一 直线与圆的位置关系1.(2022湖南石门一中期末)已知圆x2+y2=1与直线ax+3by+1=0(a,b为非零实数)相切,则1a2+3b2的最小值为( ) A.10 B.12 C.13 D.162.(2021河北保定唐县一中月考)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A.0
0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4)?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析基础过关练1.D 圆心坐标为(1,-1),半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=|3×1+4×(-1)+12|32+42=1150,|0-1+2|2>2m+1,解得-124,所以点P在圆外.当直线l的斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0.由题意知圆心坐标为(0,0),半径为2.因为圆心到切线的距离等于半径,所以|-2k+4|1+k2=2,解得k=34,故直线l的方程为3x-4y+10=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,也满足条件.故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.易错警示 本题要注意到点P在圆外,因此所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.8.答案 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9解析 因为圆C与x轴相切,且圆心C在直线y=3x上,故设圆C的方程为(x-b)2+(y-3b)2=9b2.又因为直线y=x被圆C截得的弦长为27,所以|b-3b|22+(7)2=9b2,解得b=±1,故所求圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.9.答案 -4解析 由题意知曲线C是圆心坐标为(1,1),半径为2的圆,∴圆心到直线l的距离d=|2+m|2,∴24-d2=24-(2+m)22=22,解得m=0或m=-4.∵直线l:x+y+m=0不经过坐标原点,∴m=-4.10.D 圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=25,故圆心为C(1,-2),半径r=5,则圆心C到直线3x+4y-10=0的距离d=|3-8-10|32+42=3,|AB|=2r2-d2=8,设点P到直线AB的距离为h,则S△PAB=12·|AB|·h=4,所以h=1,因为直线AB两侧圆上的点到直线AB的最大距离分别为8和2,所以满足条件的点P的个数为4,故选D.11.D 圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心C(-1,2),半径r=2,∴圆心C到直线2x+y+m=0的距离d=|-2+2+m|22+12=|m|5,∵|AB|=23,且AB的中点M在直线2x+y+m=0上,∴r2-d2≥|AB|24,即4-m25≥3,∴-5≤m≤5,故选D.12.B 设A(x,y),由题意得(x-4)2+y2+x2+y2=16,即(x-2)2+y2=4,又因为点A在直线l上,所以直线l与圆(x-2)2+y2=4有公共点,所以圆心到直线的距离d=|6+m|5≤2,解得-16≤m≤4,故选B.13.答案 (-∞,-43)∪(43,+∞)解析 设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则圆心(0,0)到直线的距离为|2k|k2+1=3,解得k=±3,故切线方程为y=±3(x+2),设两条切线分别与直线x=2交于M,N(不妨令M在x轴上方).当点B位于点M上方或点N下方时,满足题意.将x=2代入y=3(x+2),得y=43,故点M的坐标为(2,43);将x=2代入y=-3(x+2),得y=-43,故点N的坐标为(2,-43).故a的取值范围是(-∞,-43)∪(43,+∞).能力提升练1.D 依题意得|0+0+1|a2+3b2=1,所以a2+3b2=1,所以1a2+3b2=(a2+3b2)1a2+3b2=10+3a2b2+3b2a2≥10+6a2b2·b2a2=16,当且仅当a2=b2=14时等号成立,所以1a2+3b2的最小值为16.故选D.2.A 圆的方程可化为(x+2)2+y2=32,∴圆心坐标为(-2,0),设为C,半径r=3.令x=0,得y=±5,如图所示,设A(0,5),则kMA=5-00-(-1)=5.∵过点M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴00,解得a≠0.圆x2+y2+ax+2y+1=0的圆心坐标为-a2,-1,易知圆心在直线x+2y+4=0上,所以-a2+2×(-1)+4=0,解得a=4,所以圆的方程为x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心坐标为(-2,-1),半径为2,所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d=|2×(-2)+1+1|5=255,所以|AB|=222-d2=24-2552=855.9.C 由题意得圆心到直线的距离d=|0+0-5|1+49=22.又∵圆的半径r=1,∴直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为2r2-d2=2,∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°,∴劣弧是整个圆周的14,∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半,即12×2πr=π.10.B 由题意可知,点P的轨迹是以O为圆心、1为半径的圆,其方程是x2+y2=1.解法一:①把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,∴Δ=9-4×4=-7<0,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”.同理,通过联立直线和圆的方程,可得直线②y=43x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离.所以②④符合题意.故选B.解法二:①圆心(0,0)到直线y=x+3,即x-y+3=0的距离为|0-0+3|2=322>1,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”.同理,通过比较圆心到直线的距离与半径的大小,可得直线②y=43x,④y=2x+1与圆相交,直线③y=2与圆相离.所以②④符合题意.故选B.解题关键 点P在直线上且PM·PN=0,说明点P也在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切,所以问题转化为判断直线与圆的位置关系.11.CD 方程x2+y2-4x+1=0表示的曲线为圆,其标准方程为(x-2)2+y2=3.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|2+z|2≤3,解得-6-2≤z≤6-2,所以y-x的最大值为6-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点间距离的平方,易知原点与圆心间的距离为2,则原点与圆上的点间的最大距离为2+3,所以x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,故B中说法正确;对于C,设yx=k,则y=kx,把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0,则Δ=16-4(1+k2)≥0,解得-3≤k≤3,所以yx的最大值为3,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m在y轴上的截距,当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|2-m|2≤3,解得-6+2≤m≤6+2,所以x+y的最大值为6+2,故D中说法错误.故选CD.12.A 因为圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,所以圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d=104+1=25>2,所以直线2x+y+10=0与圆x2+y2=4相离.因为点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四边形PAOB的面积S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×12|PA|×r=2|PA|=2|PO|2-4,为使四边形PAOB的面积最小,只需|PO|最小,又因为|PO|min为圆心O(0,0)到直线2x+y+10=0的距离d,所以四边形PAOB的面积的最小值为2(25)2-4=8.故选A.13.解析 由x2+y2-2x-6y+8=0,得(x-1)2+(y-3)2=2,可得圆心C的坐标为(1,3),半径r=2.(1)若直线l与圆C相切,则|m-3-2m+2|m2+1=2,∴m=1,∴直线l的方程为x-y=0,联立x-y=0,x2+y2-2x-6y+8=0,得x=2,y=2,∴切点的坐标为(2,2).(2)∵A,B为直线与圆的交点,∴|CA|=|CB|,取AB的中点D,连接CD,OD,则CD⊥AB,又∵|OA|=|OB|,∴OD⊥AB,∴O,C,D三点共线.又∵直线OC的斜率为3,∴直线AB的斜率为-13,则m=-13,∴直线l的方程为-13x-y+23+2=0,即x+3y-8=0,∴圆心C(1,3)到直线l的距离为|1+9-8|12+32=105.在Rt△CAD中,|CA|=r=2,|CD|=105,∴|AD|=2-25=2105,∴|AB|=4105.∴S△ABC=12×4105×105=45.14.解析 (1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以|4m-29|42+32=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.(2)把ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+(10a-2)x+1=0.直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,故Δ=(10a-2)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,由a>0,解得a>512,所以实数a的取值范围是512,+∞.(3)设存在符合条件的实数a,由于a≠0,则直线l的斜率为-1a,所以l的方程为y=-1a(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于直线l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,所以1+0+2-4a=0,解得a=34.因为34∈512,+∞,所以存在实数a=34,使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4).
