高中湘教版（2019）2.7 用坐标方法解决几何问题随堂练习题

这是一份高中湘教版（2019）2.7 用坐标方法解决几何问题随堂练习题，共7页。试卷主要包含了已知圆O，过圆外一点P作圆O等内容，欢迎下载使用。

题组 用坐标方法解决几何问题
1.已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,且∠BAC=60°,当B,C在圆上运动时,BC的中点D的轨迹方程是( )
A.x2+y2=12
B.x2+y2=14
C.x2+y2=12x<12
D.x2+y2=14x<14
2.(2022湖南临澧第一中学期中)在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为Rt△ABO内切圆上任一点,则点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最小值为( )
A.68 B.70
C.72 D.74
3.有一座圆拱桥,初始时拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为 m.
4.已知圆O:x2+y2=4及点P(-1,0),若点Q在圆O上运动一周,PQ的中点M形成轨迹C,则轨迹C的方程为 .
5.过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 .
6.已知圆x2+y2=8内一点P(2,-1),AB为过点P的弦,则AB的中点Q的轨迹方程为 .
7.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,且AB⊥CD,E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点.
8.(2020江西南昌二中检测)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.
答案与分层梯度式解析
1.D 如图所示,因为∠BAC=60°,且圆周角等于圆心角的一半,所以∠BOC=120°,又因为D为BC的中点,|OB|=|OC|,所以∠BOD=60°,在Rt△BOD中,有|OD|=12|OB|=12,故BC的中点D的轨迹方程是x2+y2=14,
绕点A顺时针或逆时针旋转∠BAC,当点B或点C与点A重合时,x=14,由∠BAC的极限位置可得,x<14.
2.C 设△ABO的内切圆圆心为O',切点分别为D,E,F,则|AD|=|AF|,|BD|=|BE|,|OE|=|OF|,易得|AB|=10,所以内切圆半径r=EO=12(6+8-10)=2.
建立如图所示的坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4,设圆上动点P的坐标为(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76=3×4-4x+76=88-4x.因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,所以(|PA|2+|PB|2+|PO|2)min=88-16=72,故选C.
3.答案 251
解析 如图,建立平面直角坐标系:
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1 m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将(x0,-3)代入①式,得x0=51,所以当水面下降1 m时,水面的宽为251 m.
4.答案 x+122+y2=1
解析 设M(x,y),则Q(2x+1,2y),
因为点Q在圆x2+y2=4上,
所以(2x+1)2+4y2=4,即x+122+y2=1,
所以轨迹C的方程是x+122+y2=1.
5.答案 x2+y2=2
解析 设点P(x,y),则|PO|=x2+y2,
∵∠MPN=90°,|OM|=|ON|,
∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=2|OM|=2,
∴x2+y2=2,即x2+y2=2.
故动点P的轨迹方程为x2+y2=2.
6.答案 x2+y2+y-2x=0
解析 设Q(x,y),当x=2时,易得Q(2,0);当x≠2时,弦AB所在直线的斜率k=y+1x-2,又因为OQ⊥AB,所以kOQ·k=-1,即yx·y+1x-2=-1,整理得x2+y2+y-2x=0(x≠2),因为(2,0)满足该方程,所以点Q的轨迹方程为x2+y2+y-2x=0.
7.证明 如图所示,以O为坐标原点,直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设☉O的半径为r(r>0),|OE|=m,则☉O的方程为
x2+y2=r2,设C(m,b1),D(m,b2).
则有m2+b12=r2,m2+b22=r2,
即b1,b2是关于b的方程m2+b2=r2的两个不等实根,解方程得b=±r2-m2,
则CD的中点坐标为m,r2-m2-r2-m22,即(m,0).故E(m,0)是CD的中点,即E是CD的中点.
8.证明 如图所示,以C为坐标原点,CA所在的直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,0),设A(3a,0),B(0,3b),P(x,y),a>0,b>0,x>0,y>0.
因为S△PCA=S△PBC=S△PAB,
所以S△PCA=13S△ABC,S△PBC=13S△ABC,
即12×3a×y=13×12×3a×3b,12×3b×x=13×12×3a×3b,所以x=a,y=b.
所以符合条件的点P的坐标为(a,b).
此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,
|PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,
所以|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2.