湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-2-2直线的两点式方程练习含答案

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2.2.2　直线的两点式方程基础过关练题组一　直线的两点式方程1.已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),则l的斜率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.-38　　B.38　　C.-32　　D.322.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 009,b)在直线l上,则b的值为(　　)A.2 019　　B.2 018　　C.2 017　　D.2 0163.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),则边AC所在直线的方程为　　　　,边AB所在直线的方程为　　　　. 4.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点E(-1,1),其中A(-2,0),B(1,1).求:(1)点D的坐标及AD所在直线的方程;(2)平行四边形ABCD的面积.题组二　直线的截距式方程5.(2021东北师大附中阶段测试)直线-x2+y3=-1在x轴、y轴上的截距分别为(　　)A.2,3　　B.-2,3　　C.-2,-3　　D.2,-36.(2020江苏常州奔牛高级中学阶段测试)若直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则(　　)A.a>0,b>0　　　　B.a>0,b<0C.a<0,b>0　　　　D.a<0,b<07.(2022安徽合肥六中期末)满足过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的条数为(　　)A.1　　　　B.2C.3　　　　D.48.(2022湖南沅陵一中月考)直线l经过点P(-4,6),与x轴、y轴分别交于A,B两点,当P为AB的中点时,直线l的方程为(　　)A.3x-y-4=0　　　　B.-3x-2y+24=0C.12x-y+8=0　　　　D.3x-2y+24=09.(2021黑龙江哈尔滨三中期中)已知P(3,2),且直线l过点P.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.题组三　直线的两点式和截距式方程的应用10.(2022湖南衡阳一中月考)某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为(　　)A.20 kg　　　　B.25 kgC.30 kg　　　　D.80 kg11.两条直线xm-yn=1与xn-ym=1的图形可能是(　　)12.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点P(x,y),则xy的最大值是　　　　. 13.(2022湖南邵阳期末)过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.14.一束光线从点A-12,0发出,射向点B(0,1)后被y轴反射,分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.15.(2021湖南长沙一中期中)如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪,另外△AEF的内部为一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪的面积最大?答案与分层梯度式解析基础过关练1.A　解法一:由题意知,直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为0-(-3)-5-3=-38.解法二:直线l的方程可化为y=-38(x+5),故l的斜率为-38.2.A　由直线的两点式方程得直线l的方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),即y=2x+1,将(1 009,b)代入方程,得b=2×1 009+1,解得b=2 019.3.答案　x-2y+8=0;x+y-4=0解析　由直线的两点式方程,得边AC所在直线的方程为y-40-4=x-0-8-0,即x-2y+8=0.边AB所在直线的方程为y-46-4=x-0-2-0,即x+y-4=0.4.解析　(1)由题意,知E为BD的中点,∴D点坐标为(-3,1),∴AD所在直线的方程为y-01-0=x-(-2)-3-(-2),即x+y+2=0.(2)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD∥x轴,且|BD|=1-(-3)=4,作AH⊥BD于点H,则|AH|=1.因此S▱ABCD=2S△ABD=2×12×4×1=4.5.D　直线方程可化为x2+y-3=1,因此,直线在x轴、y轴上的截距分别为2,-3,故选D.6.B　因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.故选B.7.B　当直线过原点时,直线方程为y=32x;当直线不过原点时,设直线方程为xa+yb=1(ab≠0),又因为截距相等,所以b=a,将(2,3)代入有2a+3a=1,解得a=5,此时直线方程为x+y-5=0.综上,满足题意的直线有2条.故选B.易错警示　　在解决与两截距有关的问题时,要注意考虑过原点的直线是否符合题意,防止遗漏导致错误.8.D　设A(a,0),B(0,b),∵P为AB的中点,∴-4=a+02,6=0+b2,解得a=-8,b=12,∴直线l的方程为x-8+y12=1,整理得3x-2y+24=0,故选D.9.解析　当l与坐标轴平行或过原点时,不符合题意,所以可设l的方程为xa+yb=1(ab≠0),则a+b=12,3a+2b=1⇒a=4,b=8或a=9,b=3,则直线l的方程为x4+y8=1或x9+y3=1,整理得2x+y-8=0或x+3y-9=0.10.C　由题图知点A(60,6),B(80,10).由直线的两点式方程得y-610-6=x-6080-60,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg的行李.故选C.11.B　直线xm-yn=1在x轴、y轴上的截距分别是m和-n,直线xn-ym=1在x轴、y轴上的截距分别是n和-m,因此四个截距中两正两负,对照选项知B正确,故选B.12.答案　3解析　直线AB的方程为x3+y4=1,则x=3-34y,∴xy=3y-34y2=34(-y2+4y)=34[-(y-2)2+4]≤3,即当P点坐标为32,2时,xy取得最大值3.13.解析　设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得4a+1b=1,∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9,当且仅当4ba=ab,即a=6,b=3时等号成立,∴直线l的方程为x6+y3=1,即x+2y-6=0.14.解析　易知入射光线所在直线即为直线AB,其方程为x-12+y1=1,即2x-y+1=0.由光的反射定律,知A-12,0关于y轴的对称点M12,0在反射光线所在直线上,又因为B(0,1)也在反射光线所在直线上,所以反射光线所在直线的方程为y-01-0=x-120-12,即2x+y-1=0.综上,入射光线所在直线的方程为2x-y+1=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-1=0.15.解析　当矩形草坪的顶点不在EF上时,过点F作FM⊥BC于M,则DF=60 m,S矩形DCMF=100×60=6 000(m2);过点E作EN⊥DC于N,则CN=70 m,S矩形EBCN=80×70=5 600(m2);当矩形草坪的顶点在EF上时,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20).线段EF所在直线的方程为x30+y20=1(0≤x≤30).在线段EF上任取一点P(m,n),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,设矩形PQCR的面积是S m2,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又因为m30+n20=1(0≤m≤30),所以n=201-m30,故S=(100-m)80-20+23m=-23(m-5)2+18 0503(0≤m≤30),当m=5时,S取最大值.综上,当矩形草坪的面积最大时,矩形的一个顶点在EF上,此时|EP||PF|=30-55=5,即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪的面积最大.