高中湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列精练

这是一份高中湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列精练，共19页。试卷主要包含了设an=n,则数列{an}是，已知函数f=lgkx等内容，欢迎下载使用。
1.3.2 等比数列与指数函数
基础过关练
题组一 等比数列的概念
1.(多选)下列说法正确的有( )

A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列,则其公比为1
D.22,42,62,82,…成等比数列
2.设an=(-1)n(n∈N+),则数列{an}是( )
A.等比数列 B.等差数列
C.递增数列 D.递减数列
3.(2021湖北黄石第二中学一模)已知函数f(x)=lgkx(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{an}为等比数列的是 (填序号).
①数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列;
②数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列;
③数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.
题组二 等比数列的通项公式
4.已知等比数列{an}的公比q为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=( )
A.12 B.22
C.2 D.2
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+).若am≤128,则正整数m的最大值是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
6.(2022湖南长沙一中期中)在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则a4+a5a1+a2=( )
A.8 B.6 C.4 D.2
7.已知数列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,则a2 020=( )
A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020
8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=ann.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
题组三 等比中项
9.等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项为( )
A.4 B.-4 C.±4 D.±2
10.(2022湖南益阳期中)设数列{an}的每一项都不为零,且对任意n∈N+满足an+1=an·a2,若a3=3,则a2=( )
A.±3 B.±3
C.3 D.3
11.已知a,b,c成等差数列,a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为( )
A.16 B.15 C.14 D.12
题组四 等比数列的性质及综合应用
12.(2021广东广州期末)在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=( )
A.24 B.32
C.34 D.-278
13.(2022北京昌平期末)若{an}是无穷等比数列,则“00.设bn=lg2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式.
能力提升练
题组一 等比数列的通项公式
1.(多选)(2020浙江湖州期末)设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是( )
A.{2an} B.{an2}
C.{2an} D.{lg2|an|}
2.(2022湖南怀化一中月考)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=1+cs2nπ2an+sin2nπ2(n∈N+),则a19·lg2a20的值为 .
3.(2021安徽六安期中)已知数列{an}中,a1=72812,3an+1=an-1,则满足不等式ak-1·akn>1,求m的最小值.
5.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两实数根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:an-23是等比数列;
(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式.
题组二 等比数列的性质及综合应用
6.已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为3,若aman=9a22,则2m+12n的最小值等于( )
A.1 B.12 C.34 D.32
7.(2021江苏宿迁桃州中学调研)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,lg2a1+lg2a3+…+lg2a2n-1=( )
A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2
8.(2021江苏南京师范大学附属中学期末)2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过从地球到达月球的距离,那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)( )
A.40 B.41 C.42 D.43
9.(2022湖南常德期末)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成十二个半音,使相邻两个半音的频率的比值为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足lg2ai+1ai12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D#的频率的比值为32,则该半音为( )
A.F# B.G C.G# D.A
10.(2021河南焦作期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列,则下列结论中正确的个数为( )
①a2a4=a1a5;
②a1+a5≥2a3;
③a1+a5≥a2+a4;
④若a5>a3,则a4>a2.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2022河南郑州期中)在等比数列{an}中,a1=-16,a4=-2.记Tn=a1a2·…·an(n=1,2,…,n),则数列{Tn}( )
A.有最大项和最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项和最小项
12.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若对任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.AC
2.A
3.答案 ②
解析 ①中, f(an)=2n,即lgkan=2n,得an=k2n,
∵an+1an=k2n+1k2n=k2n≠常数,∴数列{an}不是等比数列;
②中, f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即lgkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0,
∵an+1an=k2(n+1)+2k2n+2=k2 ,且k2为非零常数,∴数列{an}是以k4为首项、k2为公比的等比数列;
③中, f(an)=2n+n(n-1)2×2=n2+n,即lgkan=n2+n,得an=kn(n+1),
∵an+1an=k(n+1)(n+2)kn(n+1)=k2(n+1)≠常数,∴数列{an}不是等比数列.
4.B ∵q>0,a3a9=2a52=a62,∴a6=2a5,∴q=2.∵a2=a1q=1,∴a1=22.
5.B 由题意得an+1an=2,所以数列{an}是以1为首项、2为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=2n-1.
若am≤128,则2m-1≤128,所以m-1≤7,解得m≤8,
故正整数m的最大值是8.
A 由题设知a2a3=a12q3=8,又∵a1=1,∴q=2,∴a4+a5a1+a2=a1q3+a1q4a1+a1q=243=8,
故选A.
7.C ∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n),又∵a1-1=1≠0,
∴数列{an-n}是以1为首项、-1为公比的等比数列,∴an-n=(-1)n-1,
∴an=n+(-1)n-1,∴a2 020=2 020-1=2 019.
8.解析 (1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.
令n=1,得a2=4a1=4.
令n=2,得a3=3a2=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是等比数列.理由如下:
由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,
又因为b1=1≠0,
所以{bn}是首项为1、公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得ann=bn=1×2n-1=2n-1,
所以an=n·2n-1.
9.C 由题意得a4=a1q3=18×23=1,a8=a1q7=18×27=16,∴a4与a8的等比中项为±16=±4.
10.B 令n=1,则a2=a1a2,∵a2≠0,∴a1=1.由an+1=an·a2得an+1an=a2,即{an}是首项为1、公比为a2的等比数列,故a22=a1a3=3,解得a2=±3.故选B.
11.D 由题意得2b=a+c,b2=(a+1)·c,b2=a·(c+2),联立可得b=12.
12.B 设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3·(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-12,因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=-12×(-3)=32.故选B.
13.A 充分性:因为{an}为无穷等比数列,0a2,④正确.
综上,正确结论的个数为4.故选D.
11.A 设等比数列{an}的公比为q,则q3=a4a1=18,所以q=12,则an=-25-n,所以Tn=a1a2·…·an=(-1)n×24×23×…×25-n=(-1)n×2n(4+5-n)2=(-1)n×2n(9-n)2,
令t=n(9-n),所以当n=4或n=5时,t有最大值,无最小值.当n为偶数时,Tn为正数;当n为奇数时,Tn为负数.故n=4时,Tn取得最大值,当n=5时,Tn取得最小值,所以数列{Tn}有最大项和最小项.故选A.
12.解析 (1)设{an}的公差为d,则d=a4-a13=4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2(n∈N+).
设cn=an-bn,则{cn}为等比数列.
c1=a1-b1=2-1=1,
c4=a4-b4=14-6=8,
设{cn}的公比为q,则q3=c4c1=8,故q=2.
则cn=2n-1,即an-bn=2n-1,
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
(2)由题意得,bk应为数列{bn}的最大项.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+).
易得当n0,即bnb6>…,
所以k=3或k=4.
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
频率
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
G
G#
A
A#
B
C
(八度)