高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册第1章数列1.3 等比数列同步练习题

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这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册第1章数列1.3 等比数列同步练习题，共6页。

1．在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，则公比q应满足( )
A．q>1B．0C．eq \f(1,2)2．在等比数列{an}中，a2·a5·a8＝－27，则a3·a7＝( )
A．－9B．9
C．－27D．27
3．等比数列{an}的首项a1与公比q变化时，a2a5a11是一个定值，则一定为定值的项是( )
A．a5B．a6
C．a7D．a8
4．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为( )
A．eq \f(1,2)B．2
C．eq \f(1,2)或－2D．2或eq \f(1,2)
5．设数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1>0，则( )
A．an＋1为等比数列
B．an＋2为等比数列
C．an－1为等比数列
D．an－2为等比数列
6．(多选)已知等比数列{an}是递增数列，q是其公比，下列说法正确的是( )
A．a1>0B．q>0
C．a1q>0D．a1(q－1)>0
7．[2022·湖南邵阳十一中高二期末]在等比数列{an}中，a2＝eq \f(1,2)，a6＝8，则a4＝________．
8．[2022·广东潮州高二期末]已知在等比数列{an}中，a1a2a3＝8，a4＋a5＝0，则a6＝________．
9．已知数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2，证明数列{4an}为等比数列．
[提能力]
10．若等比数列{an}中的a5，a2017是方程x2－4x＋2＝0的两根，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a2021＝( )
A．eq \f(2022,3)B．1010
C．eq \f(2021,2)D．1011
11．(多选)设{an}(n∈N＋)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5K8，则下列选项中成立的是( )
A．0B．a7＝1
C．K9>K5
D．K6与K7均为Kn的最大值
12．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________．
13．若数列{an}满足eq \f(1,an＋1)－eq \f(3,an)＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn＋1)))为“梦想数列”，且b1＝2，则{bn}的通项公式为bn＝________．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝λan＋1－1，其中λ是不为0的常数．
(1)求a2，a3；
(2)求出λ的一个值，以使得{an}为等比数列，并证明．
[培优生]
15．[2022·山东胶州高二期末]O为平面直角坐标系xOy的坐标原点，点W0(2，0).在x轴正半轴上依次取OW0中点W1，OW1中点W2，OW2中点W3，…，OWn中点Wn＋1，…记|OWn|＝an，n∈N＋.
则(1)数列{an}的通项公式an＝________；
(2)记cn＝n2an，数列{cn}的最大值为________．
课时作业(八) 等比数列与指数函数
1．解析：在等比数列{an}中，首项a1<0，若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，∵a1<0，∴qn答案：B
2．解析：由等比数列的性质可得：a2·a8＝a3·a7＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ，
故a2·a5·a8＝－27＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ，∴a5＝－3，
则a3·a7＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝9.
答案：B
3．解析：a2a5a11＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) q15＝(a1q5)3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ，∴首项a1与公比q变化时，a2a5a11是一个定值a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) .
答案：B
4．解析：因为等比数列{an}是递增数列，则数列{an}的公比q满足q>0且q≠1，
所以，eq \f(a5－a1,a4－a2)＝eq \f(a1（q4－1）,a1q（q2－1）)＝eq \f(q2＋1,q)＝eq \f(60,24)＝eq \f(5,2)，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝eq \f(1,2)或2.
若q＝eq \f(1,2)，则a4－a2＝a1q(q2－1)＝－eq \f(3,8)a1＝24，解得a1＝－64，
此时an＝a1qn－1＝－64×eq \f(1,2n－1)，此时数列{an}为递增数列，合乎题意；
若q＝2，则a4－a2＝a1q(q2－1)＝6a1＝24，解得a1＝4，
此时an＝a1qn－1＝4×2n－1＝2n＋1，此时数列{an}为递增数列，合乎题意．
综上所述，q＝eq \f(1,2)或2.
答案：D
5．解析：由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)，所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，
又由a1>0，所以a1＋1>1，
所以{an＋1}是首项为a1＋1，公比为3的等比数列．
答案：A
6．解析：由题意知，递增的等比数列包括两种情况：a1>0时q>1或a1<0时0故q>0，a1(q－1)>0，故选BD.
答案：BD
7．解析：因为在等比数列{an}中，a2＝eq \f(1,2)，a6＝8，
所以由等比数列的性质可得，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a2a6＝4，解得a4＝±2，
又a4＝a2q2(其中q为等比数列的公比)，所以a4>0，故a4＝2.
答案：2
8．解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为a1a2a3＝8，所以a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ＝8，
解得a2＝2，
又a4＋a5＝0，所以q＝－1，
故a6＝a2q4＝2.
答案：2
9．证明：因为数列{an}为等差数列，a1＝3，d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
所以4an＝42n＋1，
所以eq \f(4an＋1,4an)＝4an＋1－an＝42(n＋1)＋1－(2n＋1)＝42＝16，
所以数列{4an}是以16为公比，64为首项的等比数列．
10．解析：a5，a2017是方程x2－4x＋2＝0的两个根，
由韦达定理，得a5·a2017＝2，a5＋a2017＝4，
所以a5>0，a2017>0，又{an}为等比数列，
所以an>0且a1·a2021＝a2·a2020＝…＝a5·a2017＝…＝(a1011)2＝2，有a1011＝，
所以lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a2021＝lg2(a1·a2·…·a2020·a2021)
＝lg2eq \f(（a1011）2×1011,a1011)＝＝1011－eq \f(1,2)＝eq \f(2021,2).
答案：C
11．解析：根据题意，分析选项．对于B，若K6＝K7，则a7＝eq \f(K7,K6)＝1，B正确；对于A，由K51，则q＝eq \f(a7,a6)∈(0，1)，故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，则有K9K8，可得D正确．
答案：ABD
12．解析：∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.
答案：2
13．解析：由eq \f(1,an＋1)－eq \f(3,an)＝0可得an＋1＝eq \f(1,3)an，
故{an}是公比为eq \f(1,3)的等比数列，
由数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn＋1)))为“梦想数列”，得{bn＋1}是以b1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列，
所以bn＋1＝3×3n－1＝3n，则bn＝3n－1.
答案：3n－1
14．解析：(1)由题设Sn＝λan＋1－1，λ≠0.
当n＝1时，S1＝λa2－1，由a1＝2，得a2＝eq \f(3,λ)，
当n＝2时，S2＝λa3－1，即a1＋a2＝λa3－1，得a3＝eq \f(3＋3λ,λ2).
(2)假设{an}为等比数列，则aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝a1a3，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,λ)))eq \s\up12(2)＝2×eq \f(3＋3λ,λ2)，解得λ＝eq \f(1,2)；
下面证明λ＝eq \f(1,2)时，{an}为等比数列：
由Sn＝eq \f(1,2)an＋1－1知，当n≥2时，Sn－1＝eq \f(1,2)an－1，
两式相减得an＝eq \f(1,2)an＋1－eq \f(1,2)an，
即an＋1＝3an(n≥2)，
又由(1)知a2＝6，a1＝2，即a2＝3a1，
所以eq \f(an＋1,an)＝3(n∈N＋)
故当λ＝eq \f(1,2)时，{an}是以2为首项，3为公比的等比数列．
15．解析：(1)根据题意，有an＝eq \f(1,2)an－1，即数列{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
则an＝eq \f(1,2n－1)；
(2)根据题意，cn＝n2an＝eq \f(n2,2n－1)，则cn>0，
则eq \f(cn,cn－1)＝eq \f(\f(n2,2n－1),\f(（n－1）2,2n－2))＝eq \f(n2,2（n－1）2)，
若eq \f(n2,2（n－1）2)≥1，即n2≥2(n－1)2，解可得2－eq \r(2)≤n≤2＋eq \r(2)，
又由n∈N＋，则有1≤n≤3，
即当1≤n≤3，eq \f(cn,cn－1)>1，数列{cn}递增，即c3>c2>c1，
当n≥4时，eq \f(cn,cn－1)<1，数列{cn}递减，则有c4>c5>…>cn>…，
又c3＝eq \f(9,4)，c4＝2故数列{cn}的最大值为eq \f(9,4).
答案：(1)eq \f(1,2n－1) (2)eq \f(9,4)

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