重庆市中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末统考试题【含解析】

这是一份重庆市中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末统考试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若3n+3n+3n＝，则n＝，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．下列二次根式中, 是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上，当△ABC是直角三角形时，AC的值为（ ）
A．4B．2C．1D．4或1
6．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在-1，，0，四个数中，最小的数是（ ）
A．-1B．C．0D．
8．若3n+3n+3n＝，则n＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
9．下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是
B．是81的一个平方根
C．的算术平方根是4
D．
10．若数据5，-3，0，x，4，6的中位数为4，则其众数为（ ）
A．4B．0C．-3D．4、5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，已知四点在同一直线上，，请你填一个直接条件，_________，使．
12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O，则_____．
13．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
14．分解因式：= ．
15．如图，是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是______．
16．当____________时,解分式方程会出现增根．
17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，7)，直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围是______．
18．直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分） (1)分解因式： ．
(2)分解因式： ；
(3)解方程： ．
20．（6分）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：
（1）求线段CD对应的函数关系式；
（2）在轿车追上货车后到到达乙地前，何时轿车在货车前30千米．
21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，E是线段AD上的点，且AD＝BD，DE＝DC．
⑴ 求证：∠BED＝∠C；
⑵ 若AC＝13，DC＝5，求AE的长．
22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点
（1）在图作出关于y轴的称图形
（2）若将向右移2个单位得到，则点A的对应点的坐标是 ．
23．（8分）观察下列等式：
①，②，③，④，
（1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)(_______)(________)；
（2）写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)，并证明其正确性．
24．（8分）如图，与均为等腰直角三角形，
（1）如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ，与的位置是 ．
（2）如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．
（3）若绕点旋转任意一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，猜想线段与的关系，并证明你的结论．
25．（10分） “推进全科阅读，培育时代新人”． 某学校为了更好地开展学生读书节活动，随机调查了八年级名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
（1）写出这名学生读书时间的众数、中位数、平均数；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图，
26．（10分）已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．
（发现）
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD= °，△CBD是 三角形；
（探索）
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；
（应用）
（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有 ．（只填序号）
①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】解：由题意得，
路径一：
；
路径二：
；
路径三：
为最短路径，
故选C．
2、B
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【详解】解：∵3.6＜7.4＜8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95＞92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3、C
【分析】化简得到结果，即可做出判断．
【详解】A. ，故不是最简二次根式；
B. ，故不是最简二次根式；
C. 是最简二次根式；
D. ，故不是最简二次根式；
故选C.
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
4、A
【解析】根据分式的定义即可得出答案.
【详解】根据分式的定义可知是分式的为：、共2个，故答案选择A.
【点睛】
本题考查的主要是分式的定义：①形如的式子，A、B都是整式，且B中含有字母.
5、D
【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，即可求出AC的值．
【详解】解：如图，
当△ABC是直角三角形时，有△ABC1，△ABC2两种情况，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，
在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°，
∴∠ABC1＝30°，
∴AC1＝AB＝1；
在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°，
∴∠AC2B＝30°，
∴AC2＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
6、C
【分析】考查因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.
【详解】解：A. 正确分解为：，所以错误；
B．因式分解后为积的形式，所以错误；
C．正确；
D.等式左边就不是多项式，所以错误.
【点睛】
多项式分解后一定是几个整式相乘的形式，才能叫因式分解
7、B
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可判断．
【详解】
在-1，，0，四个数中，最小的数是．
故选B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握正数、0、负数的大小关系是解题的关键．
8、A
【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：，
，
则，
解得：．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9、C
【解析】根据平方根的性质，立方根的性质依次判断即可.
【详解】的平方根是，故A正确；
是81的一个平方根，故B正确；
=4，算术平方根是2，故C错误；
，故D正确，
故选：C.
【点睛】
此题考查平方根与立方根的性质，熟记性质并熟练解题是关键.
10、A
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】∵数据的中位数是1
∴数据按从小到大顺序排列为-3，0，1，x，5，6
∴x=1
则数据1出现了2次，出现次数最多，故众数为1．
故选：A．
【点睛】
本题考查众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）
【分析】根据全等三角形的判定，可得答案．
【详解】解：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．
∵；
添加∠ACF=∠DBE，可利用ASA证明；
添加∠E=∠F，可利用AAS证明；
添加AF=DE，可利用SAS证明；
故答案为：∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并选择适当的方法证明是解题关键．
12、；
【分析】利用角平分线的性质，可得知△BCO，△ACO和△ABO中BC，AC和AB边上的高相等，根据三角形的面积比即为底的比，由此得知结果．
【详解】如图，过O作OD⊥AB交AB于D，过O作OE⊥AC交AC于E，过O作OF⊥BC交BC于F，
因为点O为三条角平分线的交点，所以OD=OE=OF，
所以．
故答案为：．
【点睛】
考查角平分线的性质，学生熟练掌握角平分线到角两边的距离相等这一性质是本题解题关键，利用性质找到面积比等于底的比，从而解题．
13、
【详解】试题分析：连接DB，BD与AC相交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB．
∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形．
∴DB=AD=1，∴BM=
∴AM=
∴AC=．
同理可得AE=AC=（）2，AG=AE=（）3，…
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n-1
14、ab（a+3）（a﹣3）．
【解析】试题分析：==ab（a+3）（a﹣3）．故答案为ab（a+3）（a﹣3）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
15、1
【分析】由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．即可求解．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．
16、1
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=1，
故答案为1．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17、－1≤b≤1
【分析】由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范围．
【详解】解：当x=3时，y＝2×3＋b=6+b，
∴若直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则，解得－1≤b≤1
故答案为：－1≤b≤1．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，列出关于b的一元一次不等式是解题的关键．
18、x=1
【分析】由直线y=1x+b与x轴的交点坐标是（1，0），求得b的值，再将b的值代入方程1x+b=0中即可求解．
【详解】把（1，0）代入y=1x+b，
得：b=-4，
把b=-4代入方程1x+b=0，
得：x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】
考查了一次函数与坐标轴的交点坐标问题，解题关键抓住直线y=1x+b与x轴的交点坐标即为关于x的方程1x＋b＝0的解．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）无解
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；
（3）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可．
【详解】解：(1)
=
=
=
=
(2)
=
=
(3)
化为整式方程，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
解得：
经检验：是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】
此题考查的是因式分解和解分式方程，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解和解分式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是，分式方程要验根．
20、（1）y＝120x﹣140（2≤x≤4.5）；（2）当x＝时，轿车在货车前30千米．
【分析】（1）设线段CD对应的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）由货车和轿车相距30千米列出方程解答即可．
【详解】（1）设线段CD对应的函数表达式为y＝kx+b．
将C（2，100）、D（4.5，400）代入y＝kx+b中，得
解方程组得
所以线段CD所对应的函数表达式为y＝120x﹣140（2≤x≤4.5）．
（2）根据题意得，120x﹣140﹣80x＝30，解得．
答：当x＝时，轿车在货车前30千米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程=速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．
21、1
【分析】（1）可以通过证明△ADC≌△BDE可得∠BED＝∠C；（2）先根据勾股定理求出AD，由上一问△ADC≌△BDE可得ED=EC，AD=BD，即可求出AE．
【详解】证明：（1）∵ AD⊥BC, ∴ ∠BDE＝∠ADC＝90°，
∵在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE，
∴ ∠BED＝∠C．
（2）∵ ∠ADC＝90°，AC＝13，DC＝5， ∴AD＝12
∵ △BDE≌△ADC， DE＝DC＝5
∴ AE＝AD－DE＝12－5＝1．
【点睛】
题目中出现较多的角相等，边相等可以考虑用三角形全等的方法解决问题．
22、（1）作图见解析；（2） (1，2)
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移2个单位的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
【详解】（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A′B′C′如图所示，A′（1，2）；
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23、（1），，；（2），证明见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；
（2）由（1）的规律发现第n个式子为，利用分式的加减证明即可．
【详解】（1）
故答案为：，，；
（2）由规律可得：第个等式(用含的式子表示)为：
，
右边，
左边右边，即．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题．
24、（1）EF=FC，EF⊥FC；（2）EF=FC，EF⊥FC，证明见解析；（3）EF=FC，EF⊥FC，证明见解析；
【分析】（1）根据已知得出△EFC是等腰直角三角形即可．
（2）延长线段CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC，利用SAS证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可得证；
（3）延长线段CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC，利用SAS证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可得证；．
【详解】解：（1）∵与均为等腰直角三角形，
∴，
∴BE=EC
∵为线段的中点，
；
故答案为：EF=FC，EF⊥FC
（2）存在EF=FC，EF⊥FC，证明如下：
延长CF到M，使FM=CF，连接DM、ME、EC
∵为线段的中点，
∴DF=FB，
∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∴∠MDC=∠ACB=90°
∴∠MDE=∠EAC=135°，
∵ED=EA，
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC；
（3）EF=FC，EF⊥FC．
证明如下：
如图4，延长CF到M，使CF=FM，连接ME、EC，连接DM交延长交AE于G，交AC于H，
∵F为BD中点，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，HD∥BC，
∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，
∴∠MDE=∠EAC，
在△MDE和△CAE中
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC．
【点睛】
本题考查了全等变换--旋转、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决是解题的关键．
25、（1）众数是，中位数是，平均数是；（2）见解析
【分析】（1）根据众数的定义、中位数的定义和平均数公式即可求出结论；
（2）根据表格补全条形统计图即可．
【详解】解:这名学生读书时间的众数是，中位数是（8＋9）÷2=，
平均数是（6×5＋7×8＋8×12＋9×15＋10×10）÷50=．
补全的条形统计图如下:
【点睛】
此题考查的是求一组数据的中位数、众数、平均数和补全条形统计图，掌握众数的定义、中位数的定义和平均数公式是解决此题的关键．
26、（1）60，等边；（2）等边三角形，证明见解析（3）④.
【分析】（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出CB，即可得出结论；
（2）先判断出∠CDE=∠ABC，进而得出△CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四边形的内角和即可得出∠BCD=60°即可得出结论；
（3）先判断出∠POE=∠POF=60°，先构造出等边三角形，找出特点，即可得出结论．
【详解】（1）如图1，连接BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，
根据四边形的内角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，
∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，
∴CD=CB，（角平分线的性质定理），
∴△BCD是等边三角形；
故答案为60，等边；
（2）如图2，同（1）得出，∠BCD=60°（根据三角形的内角和定理），
过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CFB中，
，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形；
（3）如图3，
∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，连接PG'，
∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，
同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，
将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，
边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），
所以有无数个；
理由：同（2）的方法．
故答案为④．
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
时间/小时
人数