内蒙古自治区赤峰市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古自治区赤峰市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木木镟之，大小不一，一般径寸余，下端为圆柱形，上端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知B，C分别是上､下底面圆的圆心，，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为( )
A.B.C.D.
3．已知，是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知，，，，则( )
A.B.C.D.
5．数学家泰勒给出如下公式：
，
，
其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.若根据以上公式估算的值，则以下数值中最精确的是( )
6．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则( )
A.1B.C.1或7D.1或
7．设M是内一点，且，，定义，其中m，n，p分别是，，的面积，若，则的最小值是( )
A.B.9C.16D.18
8．已知函数的定义域为R，且，.有下列四个结论：
①
②为偶函数
③
④在区间上单调递减
其中所有正确结论的序号为( )
A.①③B.②③C.②④D.①④
二、多项选择题
9．如图是函数的部分图象，则( )
A.是函数的一条对称轴
B.的最小正周期为
C.若，则
D.将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
10．下列说法正确的是( )
A.已知方程的解在内，则
B.函数的零点是，
C.函数有两个不同的零点
D.用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上
11．已知O是所在平面内一点，，，，则下列命题是真命题的是( )
A.外接圆的半径为
B.内切圆的半径为
C.边上中线长为
D.若O为的外心，则在上的投影向量为
12．如图，在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为，，，的中点则下列说法正确的是( )
A.E，F，G，H四点共面
B.与所成角的余弦值为
C.正三棱柱的外接球表面积为
D.点N在四边形内及其边界上运动，若平面，则动点N的轨迹长度为
三、填空题
13．若复数z满足（其中i是虚数单位），则__________.
14．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则__________.
15．已知函数为偶函数，则实数__________.
四、解答题
16．在边长为3的正方形中，E为线段的三等分点，，，则__________；F为线段上的动点，G为中点，则的最小值为__________.
17．如图，在正方体中.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面：
（3）求直线与面所成角的余弦值.
18．已知且是指数函数.
（1）求a，b；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）求函数在区间上的值域.
19．已知，，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求a，c的值及的面积.
20．如图所示，在半径为2的球O的内接八面体中，顶点P，Q分別在平面两侧，四棱锥与都是正四棱锥，且P到平面的距离为1.设二面角的平面角的大小为.
（1）求该内接八面体的体积；
（2）求的值.
21．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记.
（1）用分別表示，的长度：
（2）当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
22．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围：
（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得，，所以
故选B
2．答案：A
解析：由，，知圆柱的高为5，
且圆柱与圆锥的底面半径都为2，
该陀螺的体积
故选:A.
3．答案：B
解析：时，m不一定垂直于.是不充分条件.
时，一定垂直于是必要条件.故""是""的必要不充分条件.
故选B
4．答案：D
解析：
函数在上单调递增，且
即，
故选:D.
5．答案：C
解析：由题意知.故选C.
6．答案：C
解析：因为平面非零向量两两的夹角相等，
所以，或
当时，
，
所以
所以.
当时，
故选:C
7．答案：D
解析：，，，化为
，得
.
当且仅当时取等号.
的最小值为18.
故选D.
8．答案：B
解析：
令，，则，则，故①错误；
令，则，所以为偶函数，故②正确；
令，则，即，
则，故，则，故，故③正确；
由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误；
故选:B
9．答案：BC
解析：由图可知，，，所以，
又的图象过点，所以，
所以，即
因为，所以，.
对A，因为
所以不是函数的对称轴，A错误；对B，由上知，的最小正周期为，B正确；
对C，当时，，所以，
所以，C正确；
对D，将函数的图象向右平移个单位后，得：
，显然不是奇函数，D错误.
故选:BC
10．答案：AD
解析：
11．答案：ACD
解析：根据余弦定理可得：
对于A，设外接圆的半径为R，则，解得，故A正确；
对于B，的面积为
，设内切圆的半径为r，则，解得，故B错误；
对于C，设的中点为D，则
边上中线长为，故C正确；
对于D，若O为的外心，
则在上的投影向量为
故D正确.
故选:ACD.
12．答案：ABD
解析：连接，，如图.
在正三棱柱中:E，F分别为，的中点
在中:G，H分别为，的中点，，
，即E，F，G，H四点共面，故选项A正确如图，连，
在中:F，H分别为，的中点，所以与所成角的大小等于与所成角的大小
在正三棱柱中，
，，，
，则在中
，
在中:
在中:
与所成角的余弦值为，故选项B正确.
如图分别取，的外接圆圆心，，再取的中点O，再连接，
由正弦定理得.在中，，则
在中.，则
又因在正三棱柱中:，则
正三棱柱的外接球的半径，则正三棱柱的外接球的表面积，则C选项错误
如图，取中点N，连接，，，
又G为中点
在正三棱柱中:，
，
即有
四边形是平行四边形，则
，，，平面，平面，
又平面平面，，
当点N在四边形内及其边界上运动，若平面，则动点N的轨迹为，其长度为则D选项正确.
故选ABD.
13．答案：
解析：由题意得所以.
14．答案：2
解析：由题意可得即，从而可求出，进而可求出结果因为a，b不能组成平面上的一个基底，所以所以，所以，
所以
故答案为:2
15．答案：1
解析：，即，
化简得，所以，
即，所以，所以.
16．答案：，
解析：
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）在正方体，且
为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
（2）是正方体，
底面
又底面，
，
是正方形，
，
又平面，平面，，
平面；
（3）设与交于点O，连接，由（2）知平面，
所以是直线与面所成的角
不妨令，在直角中，
，
所以
所以直线与面所成角的余弦值为
18．答案：（1）；；
（2）；
（3）
解析：（1）由指数函数定义，得，而且且，
解得，，则；
（2）不等式，即，
而函数在R上递增，因此，即，
则，解得，所以原不等式的解集为.
（3），
当，令，，则，所以，，
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
，，
函数在区间上的值域为.
19．答案：（1）；
（2）；；
解析：（1）因为，，
所以
，
所以，
由，得，
所以的单调递减区间为；
（2）由，得，，
因为，所以，
所以，得，
因为，所以由正弦定理得，
所以由余弦定理得，解得，
所以.
所以.
20．答案：（1）8；
（2）
解析：（1）设与面交于E
因为P到平面的距离为1
所以.
，.
则.
（2）设二面角的大小为，二面角的大小为，
则二面角的平面角.
设与平面的交点为E，取中点为M，连接，，，如图所示.
则，，，所以，.
，
，
.
21．答案：（1）；；
（2）；
解析：（1）在直角三角形中，，
在直角三角形中，所以，
（2）设矩形的面积为S
所以
因为
所以
所以当，即时，
22．答案：（1）不是的“2重覆盖函数”；
（2）；
（3）
解析：（1）由，可知.
当时，，
当时，解得，
此时在中只存在一个，使，
所以不是的“2重覆盖函数”；
（2）由题意可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），当时，且，
当且仅当时取等号，所以.
即对任意，有2个不同实根，
当时，已有一个根，
故只需时，仅有1个根.
当时，，符合题意；
当时，发现，，
则只需满足，解得，
综上得a的取值范围为：.
（3）因为，，所以
则对于任意，，，要有2024个根，
作出函数的图象（部分），
如图：
要使，有2024个根，则，
又，则，故正实数a的取值范围.