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2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰四中高一上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰四中高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，计算题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集、交集定义进行即可.
【详解】阴影部分表示的集合为，
又，
所以.
故选：D.
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数的形式，直接列式求函数的定义域.
【详解】根据函数的特点，函数的定义域需满足
，解得：，
所以函数的定义域是.
故选：A
3．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.
【详解】由幂函数图象知：，
所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D
4．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于
A．16B．20C．32D．90
【答案】C
【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可
【详解】，
当时，，
当时，，
故选
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
5．设，则的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】采用中间值和指数函数和对数函数单调性比较大小.
【详解】，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B
6．已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，故的取值范围是.
故选：D
7．下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式逐项计算与判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，因为，，所以，
当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不是4，故C错误；
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
8．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数、二次函数性质，结合已知复合函数的单调区间列不等式求参数范围，再根据充分、必要性定义确定答案.
【详解】由题设，令，
所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增，
又在上单调递增，故，
所以题设条件的一个充分不必要条件是.
故选：A
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性及结合函数解析式直接得到函数的单调性，从而对四个选项一一进行判断.
【详解】A选项，的定义域为，
又，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
又，故为偶函数，
且在上单调递增，B正确；
C选项，的定义域为R，且，
故为偶函数，且时，，单调递增，C正确；
D选项，当时，单调递减，D错误.
故选：BC
二、多选题
10．下列结论中错误的是（ ）
A．集合的真子集有7个
B．已知命题，则
C．函数与函数表示同一个函数
D．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
【答案】CD
【分析】A列举法写出集合判断元素个数判断；B由全称命题的否定：任意改存在并否定结论判断；C由函数的对应法则、定义域是否相同判断；D特殊值判断是否恒成立即可判断.
【详解】A：共有3个元素，故其真子集个数为，对；
B：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对；
C：由的定义域为，的定义域为，
所以它们定义域不同，不是同一个函数，错；
D：显然时，对一切实数都成立，故在的取值范围内，错.
故选：CD
11．下列结论正确的是（ ）
A．若是正实数，且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用作差法，结合不等式及幂函数性质判断各项的正误.
【详解】A：，
又，则，对；
B：，，
所以，对；
C：，又，则在上递减，
所以且，则，对；
D：，，
所以，而的符号不确定，故无法比较的大小，错.
故选：ABC
12．设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】AB
【分析】根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.
【详解】由函数的定义域为，满足，
当时，可得，
当时，，，
当时，，；
作出函数的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当时，恒成立；
解方程可得或；
又因为对于任意的，都有，利用图象可知，
因此选项AB符合题意.
故选：AB
三、填空题
13．已知幂函数是偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，的定义域为，不符合题意；
当时，的定义域为，
且，则为偶函数，符合题意.
综上所述，.
故答案为：.
14．已知为定义在上的奇函数，当时，则 .
【答案】
【分析】由奇函数的定义和性质求得函数的解析式.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；
当时，；
设，则，所以，
又因为，所以；
综上所述，,
故答案为：.
四、双空题
15．已知函数且的图象过定点，且点的坐标满足关于的方程，则点的坐标为 ；的最小值为 .
【答案】 8
【分析】根据对数函数图象性质可得函数图象过定点,即可得，利用基本不等式可得的最小值为8.
【详解】当时，，函数且的图象过定点,
又点的坐标满足关于的方程,可得，
整理可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
即的最小值为8.
故答案为：；8
五、填空题
16．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 .（用区间表示）
【答案】
【分析】由题设，令易得为偶函数，在上递增，在上递减，且，讨论不同区间上对应解集，即可得结果.
【详解】由为定义在上的奇函数，则，
令，则对任意，，恒成立，
所以在上递增，又，定义域为R，
所以为偶函数，在上递增，在上递减，且，
时，，在上，则；在上，则；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
六、计算题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用有理数指数幂运算化简求值；
（2）应用对数的运算性质化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
七、解答题
18．已知函数与互为反函数，设函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设可得，结合一元二次不等式、对数函数性质求解集可得范围；
（2）令，则，结合二次函数性质求值域.
【详解】（1）由题设，则，
所以，可得或，
所以或，故的取值范围为.
（2）由，令，则，
所以在上递增，故，
所以的值域为.
八、证明题
19．已知函数，且.
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
【答案】(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
【分析】（1）由，代入直接可求；
（2）应用定义法证明单调性.
【详解】（1）因为，所以，解得.
（2）由（1）知：，在上的单调递减，
证明如下：
在上任取，且，
，
∵，
∴，，，
∴，∴，在上的单调递减.
九、解答题
20．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为为常数，.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
【答案】(1)；
(2)至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.
【分析】（1）根据题设及函数图象，注意函数在处连续，分别求、上的解析式，进而写出分段函数形式即可；
（2）由（1）只需，结合指数函数的单调性求解，即可得结果.
【详解】（1）若，令，由图知：，则；
若且函数在处连续，故有，故；
综上，；
（2）由（1），令，即，
所以，至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.
21．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求和实数的值；
(2)若满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)当时，；当时，；
【分析】（1）根据奇函数性质即可计算出，；
（2）分类讨论参数，利用奇函数性质解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）根据题意可得，
又是定义在上的奇函数，
所以，
解得；
（2）由（1）可知，，
易知函数在上单调递减，
当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
所以当时，；当时，；
22．已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得，
（2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为；
（3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为.
【详解】（1）由可知，函数关于对称，
又，所以函数在单调递增，
可得，即，
解得
（2）由（1）可知，
则不等式可化为，
所以，即，
令，又，可得，
即，显然函数在上单调递增，
由题意可得即可，所以，
所以实数的取值范围为；
（3）易知，
所以即为，
可化为,
令，即；
则关于的方程有四个不同的实数解等价为于
关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根；
需满足，解得；
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围.
一、单选题
1．已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集、交集定义进行即可.
【详解】阴影部分表示的集合为，
又，
所以.
故选：D.
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数的形式，直接列式求函数的定义域.
【详解】根据函数的特点，函数的定义域需满足
，解得：，
所以函数的定义域是.
故选：A
3．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.
【详解】由幂函数图象知：，
所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D
4．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于
A．16B．20C．32D．90
【答案】C
【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可
【详解】，
当时，，
当时，，
故选
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
5．设，则的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】采用中间值和指数函数和对数函数单调性比较大小.
【详解】，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B
6．已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，故的取值范围是.
故选：D
7．下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式逐项计算与判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，因为，，所以，
当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不是4，故C错误；
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
8．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数、二次函数性质，结合已知复合函数的单调区间列不等式求参数范围，再根据充分、必要性定义确定答案.
【详解】由题设，令，
所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增，
又在上单调递增，故，
所以题设条件的一个充分不必要条件是.
故选：A
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性及结合函数解析式直接得到函数的单调性，从而对四个选项一一进行判断.
【详解】A选项，的定义域为，
又，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
又，故为偶函数，
且在上单调递增，B正确；
C选项，的定义域为R，且，
故为偶函数，且时，，单调递增，C正确；
D选项，当时，单调递减，D错误.
故选：BC
二、多选题
10．下列结论中错误的是（ ）
A．集合的真子集有7个
B．已知命题，则
C．函数与函数表示同一个函数
D．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
【答案】CD
【分析】A列举法写出集合判断元素个数判断；B由全称命题的否定：任意改存在并否定结论判断；C由函数的对应法则、定义域是否相同判断；D特殊值判断是否恒成立即可判断.
【详解】A：共有3个元素，故其真子集个数为，对；
B：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对；
C：由的定义域为，的定义域为，
所以它们定义域不同，不是同一个函数，错；
D：显然时，对一切实数都成立，故在的取值范围内，错.
故选：CD
11．下列结论正确的是（ ）
A．若是正实数，且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用作差法，结合不等式及幂函数性质判断各项的正误.
【详解】A：，
又，则，对；
B：，，
所以，对；
C：，又，则在上递减，
所以且，则，对；
D：，，
所以，而的符号不确定，故无法比较的大小，错.
故选：ABC
12．设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】AB
【分析】根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.
【详解】由函数的定义域为，满足，
当时，可得，
当时，，，
当时，，；
作出函数的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当时，恒成立；
解方程可得或；
又因为对于任意的，都有，利用图象可知，
因此选项AB符合题意.
故选：AB
三、填空题
13．已知幂函数是偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，的定义域为，不符合题意；
当时，的定义域为，
且，则为偶函数，符合题意.
综上所述，.
故答案为：.
14．已知为定义在上的奇函数，当时，则 .
【答案】
【分析】由奇函数的定义和性质求得函数的解析式.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；
当时，；
设，则，所以，
又因为，所以；
综上所述，,
故答案为：.
四、双空题
15．已知函数且的图象过定点，且点的坐标满足关于的方程，则点的坐标为 ；的最小值为 .
【答案】 8
【分析】根据对数函数图象性质可得函数图象过定点,即可得，利用基本不等式可得的最小值为8.
【详解】当时，，函数且的图象过定点,
又点的坐标满足关于的方程,可得，
整理可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
即的最小值为8.
故答案为：；8
五、填空题
16．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 .（用区间表示）
【答案】
【分析】由题设，令易得为偶函数，在上递增，在上递减，且，讨论不同区间上对应解集，即可得结果.
【详解】由为定义在上的奇函数，则，
令，则对任意，，恒成立，
所以在上递增，又，定义域为R，
所以为偶函数，在上递增，在上递减，且，
时，，在上，则；在上，则；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
六、计算题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用有理数指数幂运算化简求值；
（2）应用对数的运算性质化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
七、解答题
18．已知函数与互为反函数，设函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设可得，结合一元二次不等式、对数函数性质求解集可得范围；
（2）令，则，结合二次函数性质求值域.
【详解】（1）由题设，则，
所以，可得或，
所以或，故的取值范围为.
（2）由，令，则，
所以在上递增，故，
所以的值域为.
八、证明题
19．已知函数，且.
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
【答案】(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
【分析】（1）由，代入直接可求；
（2）应用定义法证明单调性.
【详解】（1）因为，所以，解得.
（2）由（1）知：，在上的单调递减，
证明如下：
在上任取，且，
，
∵，
∴，，，
∴，∴，在上的单调递减.
九、解答题
20．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为为常数，.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.
(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
【答案】(1)；
(2)至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.
【分析】（1）根据题设及函数图象，注意函数在处连续，分别求、上的解析式，进而写出分段函数形式即可；
（2）由（1）只需，结合指数函数的单调性求解，即可得结果.
【详解】（1）若，令，由图知：，则；
若且函数在处连续，故有，故；
综上，；
（2）由（1），令，即，
所以，至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.
21．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求和实数的值；
(2)若满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)当时，；当时，；
【分析】（1）根据奇函数性质即可计算出，；
（2）分类讨论参数，利用奇函数性质解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）根据题意可得，
又是定义在上的奇函数，
所以，
解得；
（2）由（1）可知，，
易知函数在上单调递减，
当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
所以当时，；当时，；
22．已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数性质及其最值即可求得，
（2）利用换元法可得满足不等式即可，再利用二次函数单调性即可求得实数的取值范围为；
（3）根据题意由方程有四个不同的实数解可转化为方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理即可求得实数的取值范围为.
【详解】（1）由可知，函数关于对称，
又，所以函数在单调递增，
可得，即，
解得
（2）由（1）可知，
则不等式可化为，
所以，即，
令，又，可得，
即，显然函数在上单调递增，
由题意可得即可，所以，
所以实数的取值范围为；
（3）易知，
所以即为，
可化为,
令，即；
则关于的方程有四个不同的实数解等价为于
关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根；
需满足，解得；
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：求解不等式恒（能）成立问题时，一般通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数取值范围.
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