2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高一(上)期末数学试卷(A卷)(含解析)
展开1.已知集合A={x|x>2},B={x|1
2.在下列区间中,方程2x+x=0的解所在的区间是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
3.已知角α的终边经过点P(−4,m),且tanα=−34,则csα的值是( )
A. 35B. −45C. −35D. 45
4.已知a=2−13,b=lg123,c=tan49°,则( )
A. a5.今有一组实验数据如下:
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律,其中最接近的一个是( )
A. y=3lg3xB. y=2x−3+1C. y=14x2+12D. y=2x−2
6.已知f(x)=(2a−1)x+3a,x≤1lgax,x>1在R上是减函数,那么a的取值范围是( )
A. [16,12)B. [15,1)C. (0,1)D. [15,12)
7.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征,函数y=2x−2−xx3−x的图像大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=3x+ln( 1+x2+x),若不等式f(2⋅3x−9x)+f(a⋅3x−2)<0对任意实数x恒成立,则a的取值范围为( )
A. (−∞,2 2−2)B. (−2 2,+∞)
C. (−∞,2 2−1)D. (−2 2+1,2 2−1)
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列函数中,最小正周期为π的有( )
A. y=|csx|B. y=sin(2x+π6)C. y=tan(2x−π3)D. y=cs|x|
10.若(12)a>(12)b,则下列关系式中一定成立的是( )
A. ea
C. 2a<2bD. ln(a2+1)
A. a=2B. a=3C. m的值可能是4D. m的值可能是6
12.已知函数f(x)=2x+1,x≤0,|lg2x|,x>0,,g(x)=f2(x)−2mf(x)+2,下列说法正确的是( )
A. 若y=f(x)−a有两个零点,则a>2
B. y=f(x)只有一个零点x=1
C. 若y=f(x)−a有两个零点.x1,x2(x1≠x2),则x1x2=1
D. 若g(x)有四个零点,则m>32
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.求值:sin26π3+cs(−17π6)= ______ .
14.已知函数f(x)=lg12(x2−4x−5),则函数f(x)的单调递减区间是 ______ .
15.不等式4x−3⋅2x+2>0的解集是 ______ .
16.已知实数x>0>y,且1x+2+11−y=14,则x−y的最小值是 ______ .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求值:eln3+lg 525+(lg25−2lg12)÷0.12523;
(2)求函数y=lg(sinx)+ csx−12的定义域.
18.(本小题12分)
已知csα=−35,且tanα>0.
(1)求tanα的值;
(2)求2sin(π+α)+sin(π2+α)cs(2π−α)+cs(−α)的值.
19.(本小题12分)
(1)求函数y=sin(12x−π4)的单调递增区间;
(2)求函数y=sin(12x−π4)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.
20.(本小题12分)
为了研究其种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8,14,26.根据实验数据,用y表示第t(a∈N“)天的群落单位数量,某研究员提出了两种函数模型:①y=ax2+bx+c;②y=p⋅qx+r,其中q>0且q≠1.
(1)根据实验数据,分别求出这两种函数模型的解析式;
(2)若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98,请从两个函数模型中选出更合适的一个,并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21.(本小题12分)
已知f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<−8的解集是(2,4).
(1)求f(x)的解析式;
(2)不等式组f(x)>0f(x−k)<0的正整数解仅有2个,求实数k取值范围;
(3)若对于任意x∈[−2,2],不等式t⋅f(x)≤2恒成立,求t的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(e2x+1)−x与g(x)=ln(a⋅ex−43a).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若函数F(x)=f(x)−g(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:因为集合A={x|x>2},B={x|1
由已知结合集合的交集运算即可求解.
本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.
2.【答案】B
【解析】解:设f(x)=2x+x,且f(−1)=2−1−1<0,f(0)=20+0>0,且f(x)为增函数,
根据函数零点存在定理知,方程2x+x=0在区间(−1,0)内有唯一的解.
故选:B.
根据函数零点存在定理求解.
本题主要考查函数的零点与方程根的关系,考查运算求解能力,属于基础题.
3.【答案】B
【解析】解:因为tanα=m−4=−34,
所以m=3,
所以csα=−4 16+9=−45.
故选:B.
由tanα=−34可得m=3,再根据余弦函数的定义求解即可.
本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
4.【答案】D
【解析】解:0c=tan49°>tan45°=1,
故c>a>b.
故选:D.
根据已知条件,结合指数函数、对数函数、正切函数的单调性,即可求解.
本题主要考查数值大小的比较,属于基础题.
5.【答案】B
【解析】解:根据表格中的数据,作出散点图,如图所示,
根据散点图可知,随着x的增大,y的值增大,并且增长速度越来越快,
结合选项:函数y=3lg3x增长速度越来越缓慢,不符合题意;
函数y=2x−3+1增长速度越来越快,符合题意;
函数y=2x−2,增长速度不变,不符合题意;
而函数y=14x2+12,当x=3时,可得y=2.73;当x=4时,可得y=4.5,
此时与真实数据误差较大,
所以最接近的一个函数是y=2x−3+1.
故选:B.
根据表格中的数据,作出散点图,结合选项和函数的单调性,逐项判定,即可求解.
本题主要考查函数模型及其应用,函数模型的选择等知识,属于基础题.
6.【答案】D
【解析】解:根据题意,f(x)=(2a−1)x+3a,x≤1lgax,x>1在R上是减函数,
则有2a−1<00故选:D.
根据题意,由函数单调性的定义可得2a−1<00本题考查函数的单调性,涉及分段函数的性质,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】解:函数f(x)=2x−2−xx3−x=2x−2−xx(x−1)(x+1),由x3−x≠0,即x≠0且x≠−1且x≠1,
故函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,1)∪(1,+∞),
由f(−x)=2−x−2x−x3+x=2x−2−xx3−x=f(x),
所以函数f(x)=2x−2−xx3−x为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除D;
当0
先判断函数的奇偶性,可排除D;当0
8.【答案】A
【解析】解:∵f(x)=3x+ln( 1+x2+x),
∴ 1+x2+x>0,
由 1+x2>|x|≥−x,则 1+x2+x>0在R上恒成立,
∴f(x)的定义域为R,
又f(−x)=−3x+ln( 1+x2−x),
则f(−x)+f(x)=3x+ln( 1+x2+x)+(−3x)+ln( 1+x2−x)=ln1=0,
∴f(x)是定义在R上的奇函数,
令g(x)=ln( 1+x2+x),则g(x)=ln( 1+x2+x)为奇函数,
当x≥0时,y= 1+x2,y=x均为增函数,
∴g(x)=ln( 1+x2+x)在[0,+∞)上单调递增,
∵g(x)为奇函数,
∴g(x)=ln( 1+x2+x)在(−∞,0]上单调递增,且g(0)=0,
∴g(x)在R上单调递增,
∴f(x)在R上单调递增,
f(2⋅3ˣ−9ˣ)+f(a⋅3ˣ−2)<0对任意实数x恒成立,即f(2⋅3ˣ−9ˣ)<−f(a⋅3ˣ−2)=f(2−a⋅3ˣ),
∴2⋅3ˣ−9ˣ<2−a⋅3ˣ对任意实数x恒成立,即a<3x+23x−2,
又3x+23x−2≥2 3x⋅23x−2=2 2−2,当且仅当3x=23x,即x=lg3 2时等号成立,
∴a<2 2−2,即a的取值范围为(−∞,2 2−2).
故选:A.
由题意可得f(x)的定义域为R,利用奇函数的定义可得f(x)是定义在R上的奇函数,构造函数g(x)=ln( 1+x2+x),则g(x)=ln( 1+x2+x)为奇函数,结合当x≥0时,y= 1+x2,y=x均为增函数,可得g(x)=ln( 1+x2+x)在[0,+∞)上单调递增,即g(x)在R上单调递增,即f(x)在R上单调递增,题意转化为2⋅3ˣ−9ˣ<2−a⋅3ˣ对任意实数x恒成立,即a<3x+23x−2,利用基本不等式,即可得出答案.
本题考查函数的恒成立问题,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
9.【答案】AB
【解析】解:由于函数y=|csx|的最小正周期为12⋅2π1=π,故A正确;
由于函数y=sin(2x+π6)的最小正周期为2π2=π,故B正确;
由于函数y=tan(2x−π3)的最小正周期为π2,故C错误;
由于函数y=cs|x|=csx的最小正周期为2π,故D错误,
故选:AB.
由题意,利用三角函数的周期性,得出结论.
本题主要考查三角函数的周期性,属于基础题.
10.【答案】AC
【解析】解:∵y=(12)x为R上的减函数,
∴由(12)a>(12)b,得a对于A,y=ex为增函数,故ea
对于C,y=2x为增函数,故2a<2b,C正确;
对于D,令a=−1,b=0,则a2+1>b2+1,ln(a2+1)>ln(b2+1),D错误.
故选:AC.
依题意,可得a本题考查不等关系与不等式的应用,考查构造法与特值的运用,属于中档题.
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合,利用函数的性质解不等式,属于中档题.
由偶函数的定义域关于原点对称,可求得a值,根据函数解析式可求得函数单调性,由函数的单调性和奇偶性将不等式转化为−3≤lg2m≤3|lg2m|>2,再求出m的取值范围,即可得解.
【解答】
解:由题意可得1−2a+a+1=0,则a=2,故A正确,B错误;
因为f(x)是偶函数,所以f(−2)=f(2)=1,
当x∈[0,3]时,f(x)=x−3x+1单调递增,
因为f(x)是偶函数,
所以当x∈[−3,0]时,f(x)单调递减,
因为f(lg2m)>1,所以f(|lg2m|)>f(2),
所以−3≤lg2m≤3|lg2m|>2,
解得18≤m<14或4
故选:AD.
12.【答案】BCD
【解析】解:由题设,x≤0时,f(x)∈(1,2]且递增,
x>0时,在(0,1)上递减,(1,+∞)上递增且值域均为f(x)∈[0,+∞),又f(1)=0,
所以f(x)只有一个零点x=1,其函数图象如下:
故B正确;
由图,若y=f(x)−a有两个零点,则02,故A错误;
两个零点x1,x2(x1≠x2)均在y=|lg2x|上,则x1=1x2,即x1⋅x2=1,C正确;
要使g(x)=f2(x)−2mf(x)+2有4个零点,即g(x)=0对应两个不同的f(x)值,
若零点分别为t1=f(x1),t2=f(x2)且t1
若t1,t2∈(0,1],g(x)有四个零点,此时3−2m≥00
若t1,t2∈(2,+∞),g(x)有四个零点,此时6−4m>0m>2Δ=4m2−8>0,无解;
若t1∈(0,1],t2∈(2,+∞),g(x)有四个零点,3−2m≤06−4m<0Δ=4m2−8>0,可得m>32.
综上,g(x)有四个零点时,m>32,D正确.
故选:BCD.
由函数解析式分析f(x)的性质并画出函数图象判断B;
数形结合法判断A、C,;
合二次函数性质,讨论零点t1=f(x1),t2=f(x2)且t1
13.【答案】0
【解析】解:sin26π3+cs(−17π6)
=sin(9π−π3)+cs(3π−π6)
=−sin(π+π3)−csπ6
=sinπ3−csπ6
=0
故答案为:0.
利用诱导公式进行化简求值即可.
本题考查运用三角函数间的诱导公式进行化简求值,属于基础题.
14.【答案】(5,+∞)
【解析】解:∵函数f(x)=lg12(x2−4x−5),令y=x2−4x−5>0,求得x<−1,或x>5,
可得函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(5,+∞),且f(x)=lg12y.
函数f(x)=lg12(x2−4x−5)的单调递减区间,即函数y在(−∞,−1)∪(5,+∞)上的增区间.
再利用二次函数的性质可得,函数y在(−∞,−1)∪(5,+∞)上的增区间为(5,+∞).
故答案为:(5,+∞).
由题意,令y=x2−4x−5>0,则f(x)=lg12y,本题即求函数y的增区间.再利用二次函数的性质可得结论.
本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.
15.【答案】{x|x>1或x<0}
【解析】解:令t=2x,t>0,
则原不等式可化为t2−3t+2>0,
解得t>2或t<1,
即2x>2或2x<1,
所以x>1或x<0.
故答案为:{x|x>1或x<0}.
由已知结合指数函数及二次函数的性质即可求解.
本题主要考查了指数函数及二次函数的性质在不等式求解中的应用,属于基础题.
16.【答案】16
【解析】解:因为x>0>y,所以x+2>0,1−y>0,
所以x−y+3=4[(x+2)+(1−y)](1x+2+11−y)=4(2+1−yx+2+x+21−y)≥4(2+2 1−yx+2⋅x+21−y)=16,
当且仅当x+21−y=1−yx+2,即x=6,y=−7时等号成立,
因此,当x=6且y=−7时,x−y的最小值是16.
故答案为:16.
根据题意,利用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值,即可得到本题的答案.
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值及其应用,考查了计算能力,属于基础题.
17.【答案】解:(1)eln3+lg 525+(lg25−2lg12)÷0.12523
=3+4+(lg25+lg4)÷(18)23
=7+2÷14
=15;
(2)由题意得sinx>0csx≥12,
解得2kπ
(2)利用三角函数的性质即可求解.
本题考查了指数函数和对数函数的运算性质,考查了三角函数的性质的应用,属于基础题.
18.【答案】解:(1)∵csα=−35,tanα>0,
∴α为第三象限角,
∴sinα=− 1−cs2α=−45,
∴tanα=sinαcsα=43;
(2)原式=−2sinα+csαcsα+csα
=−tanα+12
=−43+12
=−56.
【解析】(1)由同角三角函数的基本关系求解;
(2)根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值.
本题主要考查运用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值,属于基础题.
19.【答案】解:(1)由−π2+2kπ≤12x−π4≤π2+2kπ(k∈Z);
得−π2+4kπ≤x≤3π2+4kπ (k∈Z);
所以函数y=sin(12x−π4)的单调递增区间为[−π2+4kπ,3π2+4kπ](k∈Z).
(2)令 N={x|0≤x≤2π},M={x|−π2+4kπ≤x≤3π2+4kπ,k∈Z},
得 M∩N=[0,3π2].
∴函数 y=sin(12x−π4)在区间 [0,3π2]上单调递增,在区间 [3π2,2π]上单调递减.
又 f(0)=− 22,f(3π2)=1,f(2π)= 22.
所以 y=sin(12x−π4)在区间[0,2π]上的最大值为1,最小值为− 22.
【解析】(1)利用整体思想求出函数的单调递增区间;
(2)利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值.
本题考查的知识要点:正弦型函数的性质,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
20.【答案】解:(1)对于函数模型①:把x=1,2,3及相应y值代入,
得a+b+c=84a+2b+c=149a+3b+c=26,
解得a=3,b=−3,c=8,所以y=3x2−3x+8;
对于函数模型②:把x=1,2,3及相应y值代入得:p⋅q+r=8p⋅q2+r=14p⋅q3+r=26,
解得p=3,q=2,r=2,所以y=3⋅2x+2.
(2)对于模型①,当x=4时,y=44;当x=5时,y=68,故模型①不符合观测数据;
对于模型②,当x=4时,y=50;当x=5时,y=98,符合观测数据,
所以函数模型②更合适.
要使3⋅2x+2>500,则x≥8,
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
【解析】(1)对于函数模型①:把x=1,2,3及相应y值代入,能求出函数模型的解析式.
对于函数模型②:把x=1,2,3及相应y值代入,能求出函数模型的解析式.
(2)对于模型①,当x=4和x=5代入,得到模型①不符合观测数据;对于模型②,当x=4和x=5代入,得到函数模型②更合适.要使3⋅2x+2>500,则x≥8,由此能求出从第8天开始该微生物的群落单位数量超过50.
本题考查函数模型的应用,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,推理论证能力,是中档题.
21.【答案】解:(1)∵f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<−8的解集是(2,4),
∴2,4是一元二次方程x2+bx+c+8=0的两个实数根,
∴2+4=−b2×4=c+8,解得b=−6c=0,
∴f(x)=x2−6x;
(2)不等式组f(x)>0f(x−k)<0,即x2−6x>0(x−k)2−6(x−k)<0,
解得x<0或x>6k
∴该正整数解为7、8,
∴8<6+k≤9,解得2
∴tx2−6tx−2≤0,
当t=0时,−2≤0恒成立;
当t>0时,函数 y=tx2−6tx−2在x∈[−2,2]上单调递减,
∴只需满足f(−2)=t⋅(−2)2−6t⋅(−2)−2≤0,解得0
∴只需满足 f(2)=t⋅22−6t⋅2−2≤0,解得 −14≤t<0,
综上所述,t的取值范围是[−14,18].
【解析】(1)由题意得2,4是一元二次方程x2+bx+c+8=0的两个实数根,即2+4=−b2×4=c+8,求解即可得出答案;
(2)由题意得x2−6x>0(x−k)2−6(x−k)<0,解得x<0或x>6k
本题考查函数的恒成立问题,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
22.【答案】解:(1)∵f(x)=ln(e2x+1)−x的定义域为R,
f(x)−f(−x)=ln(e2x+1)−ln(e−2x+1)−2x=ln(e2x+1e2x+1⋅e2x)−2x=2x−2x=0,
∴f(x)=f(−x),
∴f(x)为偶函数;
(2)函数F(x)=f(x)−g(x)只有一个零点,
即ln(e2x+1)−x=ln(a⋅ex−43a)只有一个零点,
即方程 ex+1ex=a⋅ex−43a>0有且只有一个实根,
令t=eˣ>0,则方程(a−1)t2−43at−1=0有且只有一个正根,
①当a=1时,t=−34,不合题意;
②当a≠1时,若方程有两相等正根,则 Δ=(−4a)2−4×3(a−1)×(−3)=0,
且 4a2×3(a−1)>0,解得a=−3,满足题意 t=2x>0,
③若方程有一个正根和一个负根,则 −1a−1<0,
即a>1时,满足题意.
∴a|a>1或a=−3}.
【解析】(1)求出函数f(x)的定义域,再利用函数奇偶性的定义验证可得出结论;
(2)令t=eˣ>0,分析可知,方程(a−1)t2−43at−1=0有且只有一个正根,然后对实数a的取值进行分类讨论,利用二次方程根的分布可得出关于实数a的等式或不等式,综合可得出实数a的取值范围.
本题考查了函数的奇偶性、函数的零点、转化思想,考查了二次函数的性质及分类讨论思想,属于中档题.x
2
3
4
5
6
y
1.5
2.01
2.98
5.02
8.98
2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高二(上)期末数学试卷(B卷)(含解析): 这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高二(上)期末数学试卷(B卷)(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年内蒙古呼和浩特市高一(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特市高一(上)期末数学试卷(含解析),共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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