内蒙古自治区赤峰市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古自治区赤峰市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在等差数列中，，则( )
A.9B.10C.11D.14
2．设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则( )
A.或B.或C.D.
3．某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为a，则的值为( )
A.B.C.aD.
4．盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X，则( )
A.B.C.D.2
5．二项式的展开式中常数项是( )
A.1B.4C.6D.0
6．已知点，且F是抛物线的焦点，P为C上任意一点，则的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6
7．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为( )
A.B.C.85D.97
8．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所何棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线，下列说法正确的是( )
A.直线l过定点
B.当时，l关于x轴的对称直线为
C.直线l一定经过第四象限
D.点到直线l的最大距离为
10．已知事件A，B满足，，则( )
A.若，则
B.若A与B互斥，则
C.若A与B相互独立，则
D.若.则A与B相互独立
11．已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定是递增数列的为( )
A.B.C.D.
12．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的对称中心.已知函数.若有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则下列结论正确的是( )
A.的极大值点为
B.的极小值为
C.
D.
三、填空题
13．已知，则__________.
14．已知，若，，则实数__________.
15．一个同时具有下列性质①②③的函数__________.
①；
②当时，；
③是偶函数.
16．已知、是双曲线的左右焦点，过的直线l交双曲线右支于A、B两点，、分别是和的内切圆半径，则的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知点为圆C上的一点，圆心C坐标为，且过点A的直线l被圆C截得的弦长为.
（1）求圆C的分程；
（2）求直线l的方程.
18．在数列中，，.
（1）求证：是等比数列；
（2）若，求的前n项和.
19．在长方体中，，E､F分别是棱、上的动点，且.
（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.
20．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某省的大学生中大约的人每天玩手机超过1小时，这些大学生的近视率为，而每天玩手机不超过1小时的大学生的近视率为.
（1）若从该省任意抽一名大学生，求他近视的概率；
（2）已知该大学生近视，求他每天玩手机超过1小时的概率；
（3）从该省大学生中任意抽取二人，X表示这二人近视的人数，求X的分布列和数学期望.
21．已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求实数k的取值范围.
22．已知曲线C上的点P满足，曲线C过点P的切线与直线相交于Q点.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：，则，解得.
故选:B.
2．答案：A
解析：是直线l的方向向量，
是平面的法向量，
，
或.
故选:A.
3．答案：C
解析：时刻该物体的瞬时速度为a，则，故.
故选:C.
4．答案：A
解析：由题意可知，X服从超几何分布，则.
故选:A.
5．答案：C
解析：二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中常数项是
故选:C.
6．答案：D
解析：易知抛物线C的焦点，准线，过点P作准线l于点M，过点A作准线l于点N，
由抛物线定义得，
所以
则的最小值为6.
故选:D.
7．答案：B
解析：如图，在平行六面体中，
，，，，
则，
则的长为.
故选:B.
8．答案：D
解析：由题意可知：截角四面体有8个面，其中4对相对的面平行，
在考虑顺序的前提下，从这8个面子任选2个面，共有种不同选法，
记"两个平面是相交平面"为事件A，则为两个平面是平行平面，共有种不同选法，则，所以.
故选:D.
9．答案：BD
解析：对于A，由直线，得，令，则，解得，，所以直线l过定点，故A错误;
对于B，当时，直线，关于x轴对称的直线为，故B正确;
对于C，当时，直线，不经过第四象限，故C错误;
对于D，点到直线l的最大距离为到定点的距离，即为，故D正确.
故选BD.
10．答案：ABC
解析：根据题意，依次分析选项:
对于A，若，则，A正确;
对于B，若A与B互斥，则，B正确;
对于C，若A与B相互独立，则A与也相互独立，则，C正确;
对于D，若，则，
而，事件A、B不相互独立，D错误.
故选:ABC.
11．答案：AD
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于，则，则有，该数列一定是递增数列，符合题意；
对于B，当时，有，此时有，数列不是递增数列，不符合题意；
对于C，当时，，此时，，数列不是递增数列，不符合题意;
对于D，对于，有，则该数列一定是递增数列，符合题意.故选:AD.
12．答案：BCD
解析：由函数，可得，令，解得:，，令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为，
所以的极小值为，故B正确，A错误.
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的的对称中心，
所以，，
可得
则
所以，故C正确;
对于D，因为
有三个零点，，，则，，.
因为，
所以，
，
，故D正确.
故选:BCD.
13．答案：11
解析：
14．答案：4
解析：因为，所以正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以，
因为，所以.
15．答案：（答案不唯一）
解析：由性质①可知,函数是积函数,且是负指数函数,由性质②可知,函数在上是减函数,由性质③可知,函数是偶函数,所以
16．答案：
解析：由，得，，，则，，
设圆与分别切于点M，N，E，连接，
由圆的切线的性质可得
，，，
由双曲线的定义可知，即，
设，则，得，所以，
因为轴，所以的横坐标也为a，同理可证得的横坐标也为a，
所以轴，且，，E三点共线，
由三角形内切圆的性质可知，分别为，的角平分线，所以.所以，所以
因为，所以，得，因为双曲线的渐近线为，所以其倾斜角分别为和，
因为直线l交双曲线右支于A、B两点，所以直线l的倾斜角的范围为，
设直线l的倾斜角为，则，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
令，，
由对勾函数的性质可知在上递减，在上递增，
因为，，，
所以，
所以，
即的取值范围是为.
故答案为:
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）设圆C的半径为r，则，
则圆C的方程为：
（2）因为圆C的半径为1，
所以当直线l与圆相交所得的弦长为时，圆心C到直线l的距离为
当直线l的斜率不存在时，直线，此时圆心C到直线l的距离为，满足题意
当直线l的斜率存在时，
设直线，即①.
则，解得，
代入①得：
综上，直线l的方程为或
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
解析：（1），.
则
，
是以1为首项2为公比的等比数列.
（2），
即，
设的前n项和
令①
②
①-②得
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）以D为坐标原点以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴如图建立空间直角坐标系
设，则.
则、、、
、
所以，
（2），当最大时，三棱锥的体积最大
当时最大，此时F与C重合，
、、、，，
设面的法向量.
面的法向量.
所以平面与平面的夹角余弦值为
20．答案：（1）；
（2）；
（3）分布列见解析；
解析：（1）用A表示事件该省大学生每天玩手机超过1小时，用B表示事件该省大学生近视，
则，，，
（2）由（1）可知，该省近视的大学生中玩手机超过1小时的概率为
所以该省近视的大学生中玩手机超过1小时的概率为；
（3）设抽取人的二人中近视的人数为X，X的所有可能取值为0，1，2
的分布列为
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，得，
对求导得，
，
在处的切线方程为
（2）当时，恒成立即恒成立
在恒成立
令则
令则，
恒成立
当时，单调递增，
当时，.
当时，单调递增
当时，
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，由椭圆定义可知P在以､为焦点，为长轴长的椭圆上
，，，
曲线C的标准方程为
（2）设当过P的切线斜率不存在时，不能和直线相交，所以过P的切线l斜率存在，设切线的斜率为k，y轴上的截距为m，则切线
联立消去y得
l与曲线C相切，，
联立求得
由椭圆的对称性易知，若过定点则该定点一定在x轴上，
设是以为直径的圆上的一点
，.
，即
，
以为直径的圆过定点
X
0
1
2
P
0.36
0.48
0.16