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高中物理鲁科版 (2019)必修 第一册第3节 共点力的平衡学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第一册第3节 共点力的平衡学案，共19页。
1．知道平衡状态，了解共点力作用下物体平衡的概念和条件。
2．掌握解决平衡问题的常用方法，会用共点力的平衡条件解答实际问题。
3．认识到物理研究是对自然现象进行抽象的创造性工作，坚持实事求是，体会自然平衡之美。
知识点一 共点力作用下物体的平衡条件
1．平衡状态：物体静止或做匀速直线运动时所处的状态。
2．共点力作用下物体的平衡条件
(1)力的平衡：作用在物体上的几个共点力的合力为零，这种情况称为力的平衡。
(2)平衡条件：要使物体处于平衡状态，必须有：
F合＝0。
物理学中的“缓慢运动”可视为速度很小，接近于0，从而把“缓慢运动”作为平衡状态来处理。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)若一个物体处于平衡状态，则此物体一定处于静止状态。(×)
(2)高空中沿直线匀速飞行的飞机处于平衡状态。(√)
(3)物体速度为零，此时物体一定处于平衡状态。(×)
知识点二 平衡条件的应用
1．物体的静态平衡：物体在力的作用下处于静止状态，称为静态平衡，处于静态平衡的物体所受的外力的合力为零。
2．物体在某方向的平衡：运动的物体在某一方向上所受的合力为零时，物体在该方向处于平衡状态。
(1)地面上的大石头属于哪类平衡，合力为多少？
(2)水平匀速飞行的飞机合力为多少？
提示：(1)静态平衡，合力为零。(2)合力为零。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)物体处于静止或匀速直线运动状态时所受的合力为零。(√)
(2)处于平衡状态的物体，沿任何方向的合力均为零。(√)
“阿门阿前一棵葡萄树，阿嫩阿嫩绿地刚发芽，蜗牛背着那重重的壳呀，一步一步地往上爬……”这是一首经典的儿童歌曲。如图所示，蜗牛在树枝上匀速向上爬。
(1)请对蜗牛进行受力分析。
(2)若树枝的倾角为α，则树枝对重力为G的蜗牛的作用力是多大？方向如何？
提示：(1)蜗牛受竖直向下的重力，垂直树枝向上的弹力，沿树枝向上的摩擦力。
(2)因蜗牛缓慢爬行，说明处于平衡状态，即所受合力为零，因此树枝对蜗牛的作用力大小为G，方向竖直向上。
考点1 共点力作用下物体的平衡及平衡条件
1．从运动学的角度理解平衡状态：平衡的物体处于静止或匀速直线运动状态，此种状态其加速度为零，即处于平衡状态的物体加速度为零；反过来加速度为零的物体一定处于平衡状态。
2．从动力学的角度理解平衡状态：处于平衡状态的物体所受的合外力为零；反过来物体受到的合外力为零，它一定处于平衡状态。
3．共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解法Fx合＝0Fy合＝0
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
4．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
【典例1】 物体在四个共点力作用下保持平衡，撤去F1而保持其他三个力不变，则此时物体所受的合力F( )
A．大小等于F1，方向与F1相反
B．大小等于F1，方向与F1相同
C．大小大于F1，方向与F1相反
D．由于运动状态不明确，无法确定
思路点拨：多力平衡时，任意一个力与其他力的合力等大、反向。
A [由物体处于平衡状态可知其余三个力的合力与F1等大、反向，故撤去F1，其余三个力不变，这三个力的合力方向与F1方向相反，大小等于F1，则A正确，B、C、D错误。]
“静止”与“v＝0”的区别
(1)物体保持静止状态：说明v＝0，a＝0，物体受合外力为零，物体处于平衡状态。
(2)物体运动速度v＝0则有两种可能：
①v＝0，a≠0，物体受合外力不等于零，物体并不保持静止，处于非平衡状态，如上抛到最高点的物体。
②v＝0，a＝0，这种情况与(1)中的静止状态一致。
[跟进训练]
1．如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上，处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向D．F4的方向
B [对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向。
]
考点2 解答共点力平衡问题的三种常用方法
【典例2】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢(重力加速度为g)?
思路点拨：(1)研究对象：金属球；(2)受力分析；(3)利用平衡条件列式处理。
[解析] 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。
方法一：力的合成法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，则有F＝mg tan θ。
方法二：力的效果分解法
将重力沿金属丝方向和水平方向分解，如图丙所示
则有F－mg tan θ＝0
得F＝mg tan θ。
方法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丁所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零
即Fx合＝T sin θ－F＝0
Fy合＝T cs θ－mg＝0
解得F＝mg tan θ。
[答案] F＝mg tan θ
处理平衡问题的四个步骤
选择研究对象⇨选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象
⇩
画受力示意图⇨对研究对象进行受力分析，画出受力示意图
⇩
明确解题策略⇨合成法、分解法、正交分解法、力的三角形法
⇩
列方程求解 ⇨根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论
[跟进训练]
2．“中国天眼”是口径为500 m的球面射电望远镜。维护时为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为56mg方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉，若将人视为质点，此时工作人员( )
A．受到的重力大小为16mg
B．受到的合力大小为16mg
C．对球面的压力大小为16mg
D．对球面的作用力大小为16mg
D [人受到的重力大小仍为mg，选项A错误；因人在球面上缓慢移动，所以合外力应该为零，选项B错误；根据题意，人的受力分析如图所示，人对球面的压力应该小于mg6，选项C错误；根据共点力的平衡，人对球面的作用力(支持力、静摩擦力的合外力)应该等于mg6，选项D正确。
]
1．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反
CD [物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，不是做匀速直线运动，一定不是处于平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C正确；任意两个共点力的合力与第三个力等大反向，合力为零，物体处于平衡状态，D正确。]
2．一只质量为m的萤火虫停在倾角为θ的枝条上，枝条对萤火虫的作用力大小为(重力加速度为g)( )
A．mg sin θ B．mg cs θ
C．mg tan θD．mg
D [萤火虫是静止的，所以处于平衡状态，它受到竖直向下的重力，以及枝条的作用力，说明枝条对它的力与重力的大小相等、方向相反，所以枝条对萤火虫的作用力大小为mg，方向竖直向上，故选D。]
3．物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为33，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为( )
A．150 kg B．1003 kg
C．200 kgD．2003 kg
A [设物块的质量最大为m，将物块的重力沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件，在沿斜面方向有F＝mg sin 30°＋μmg cs 30°，解得m＝150 kg，A项正确。]
4．(新情境题：以圆柱体工件沿V形槽运动为背景，考查平衡条件)一个质量m＝10 kg的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽与圆柱体工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ＝0.25，则：(重力加速度g取10 m/s2)
甲 乙
(1)要沿圆柱体工件的轴线方向(如图甲所示)水平地把圆柱体工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(2)把整个装置倾斜(如图乙所示)，保证圆柱体工件和槽始终处于相对静止状态，此过程中圆柱体工件和槽之间的摩擦力怎样变化？
[解析] (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力，由题给条件知，F＝f。将重力进行分解，如图所示。
因为α＝60°，所以F1＝F2＝mg
由f＝μF1＋μF2
解得：F＝0.5mg＝50 N。
(2)因圆柱体工件和槽始终处于相对静止状态，故由f′＝mg sin θ知静摩擦力逐渐增大。
[答案] (1)50 N (2)逐渐增大
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)什么是平衡状态？
提示：物体静止或匀速直线运动时所处的状态。
(2)物体处于平衡状态时应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零。
生活实践中的物理
在我国某些地区有一种伸臂桥(如图甲所示)。当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。
现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图乙摆放。
若木条长度均为l，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒。木条2的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？
甲 乙
伸臂桥示意图 怎样保持平衡
提示：如图所示，对于木条2，只要其伸出的长度不超l2，就不会翻倒，将木条1、2看成一个整体，在木条2伸出l2的情况下，其总重心在距木条2右侧34l处，只要其重心位置保证在桌面正上方，木条1、2都不会翻倒，故木条2的右端离桌沿的水平距离最远为34l。
影响伸臂桥安全的因素有：木板的承压能力、木板的长度、各层木板向前延伸的长度、木板上方填压的沙石对重心的影响及过往行人、车辆的总重等。
课时分层作业(十三) 共点力的平衡
题组一 对物体平衡条件的理解
1．一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是( )
A．1 N 4 N 7 N B．2 N 6 N 9 N
C．2 N 5 N 8 ND．6 N 8 N 6 N
D [能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能。因为两个力的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范围内，就可能与F平衡，故D正确。]
2．如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于O点，设轻绳AO、BO相互垂直，与水平线的夹角分别为α、β，α＞β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，下列表述正确的是( )
A．FA一定大于G
B．FA一定大于FB
C．FA一定小于FB
D．FA与FB大小之和一定等于G
B [对O点受力分析如图所示，由三力平衡的知识可知，FA、FB的合力大小等于G，方向竖直向上，FA＝G sin α，FB＝G sin β，故FA一定小于G，A错误；因为α＞β，故FA一定大于FB，B正确，C错误；FA与FB大小之和一定大于G，D错误。
]
3．在某驾校的训练场地上，有一段半径很大的圆弧形坡道，如图所示，若将同一辆车先后停放在a点和b点，a点和b点处的斜面倾角均小于45°。下列分析正确的是( )
A．车在a点受到坡道的支持力小于在b点受到的支持力
B．车在a点受到坡道的摩擦力大于在b点受到的摩擦力
C．车在a点受到的合外力大于在b点受到的合外力
D．车在a点受到的合外力等于在b点受到的合外力
D [根据平衡条件有：N＝mg cs θ，f＝mg sin θ，b点的倾角大于a点的倾角，所以a点的支持力大于b点的支持力，车在a点所受的摩擦力小于在b点所受的摩擦力，故A、B错误；车处于静止状态，所以车在a点受到的合力等于在b点所受的合力，等于零，故C错误，D正确。]
4．(2023·江苏卷)如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的16。每条腿对月球表面压力的大小为( )
A．mg4 B．mg4csθ C．mg6csθ D．mg24
D [对“嫦娥五号”探测器受力分析有FN＝mg月，则对一条腿有FN1＝14mg月＝mg24，可知每条腿对月球表面的压力为mg24。]
题组二 平衡条件的应用
5．如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左、右两绳的拉力大小分别为( )
A．G和G B．22G和22G
C．12G和32GD．12G和12G
B [对日光灯受力分析，如图所示。由物体的平衡条件可知F1sin 45°＝F2sin 45°，F1cs 45°＋F2cs 45°＝G，联立求得F1＝F2＝22G，故选项B正确。
]
6．如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B间距为5 dm。则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．20∶15∶12
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
C [对结点C进行受力分析，如图所示，由平衡条件知，AC绳、BC绳上拉力的合力与CD绳上的拉力等大反向。由几何关系知，AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为3∶4∶5，所以C正确。
]
7．如图所示，一物块置于水平地面上。当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2大小相等，则物块与地面间的动摩擦因数为( )
A．3－1 B．2－3
C．32-12D．1－32
B [对两种情况下的物块分别受力分析，并正交分解，如图所示。由平衡条件可得F1x＝f1，F1y＋FN＝mg，F2x＝f2，F2y＋mg＝F′N，而f1＝μFN，f2＝μF′N，可得F1cs 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cs 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，又根据题意F1＝F2，解得μ＝2－3。
]
8．如图所示，用三根细线a、b、c将两个小球1和2悬挂起来，静止在竖直面内，已知两球重均为G，细线a与竖直方向夹角为30°，细线c水平。关于三根细线a、b、c的拉力Ta、Tb、Tc大小的比较正确的是( )
A．Ta一定小于Tb B．Ta一定大于Tc
C．Ta可能小于TcD．Tb可能小于Tc
B [对小球1受力分析，根据平衡状态可知，Ta等于Tb与重力的合力，因为Tb与重力夹角是锐角，所以Ta一定大于Tb，故A错误；将两小球看作一个整体，对整体受力分析，受力如图所示，根据共点力的平衡条件有：Ta＝2Gcs30°＝433G，Tc＝2G tan 30°＝233G，所以a绳拉力一定大于c绳拉力，故B正确，C错误；同理，Tb等于小球2的重力与Tc的合力大小，重力与Tc相互垂直，根据勾股定理可知，Tb大于Tc，故D错误。
]
9．如图所示，一轻质三脚架的B处悬挂一定滑轮(质量不计)。一体重为500 N的人通过拉跨过定滑轮的轻绳匀速提起一重为300 N的物体。
(1)此时地面对人的支持力是多大？
(2)斜杆BC、横杆AB所受的力各是多大？
[解析] (1)物体匀速运动，绳上的拉力为T＝300 N，对人进行受力分析，如图所示。
根据平衡条件：G＝T＋N
N＝G－T＝500 N－300 N＝200 N。
(2)B点受到绳子向下的拉力F＝600 N，产生的作用效果如图所示
FBC＝Fcs30°＝4003 N
FAB＝F tan 30°＝2003 N。
[答案] (1)200 N (2)4003 N 2003 N
10．(多选)将小船用绳索拉向岸边，如图所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
A．绳子的拉力T增大 B．绳子的拉力T不变
C．船的浮力减小D．船的浮力增大
AC [小船受四个力的作用而匀速前进。水平方向：F′＝T cs θ，竖直方向：T sin θ＋F浮＝mg，当θ角增大时，由于阻力F′不变，则拉力T增大，浮力F浮减小。]
11．(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角。则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是( )
A．N＝m1g＋m2g－F sin θ
B．N＝m1g＋m2g－F cs θ
C．f＝F cs θ
D．f＝F sin θ
AC [选整体为研究对象，在水平方向整体受摩擦力f和F在水平方向的分力，根据平衡条件得f＝F cs θ，所以选项C正确，选项D错误；在竖直方向受支持力N、重力和F在竖直方向的分力，根据平衡条件得N＝m1g＋m2g－F sin θ，所以选项A正确，选项B错误。]
12．一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上。现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示。则物块( )
A．仍处于静止状态B．沿斜面加速下滑
C．受到的摩擦力不变D．受到的合外力增大
A [无力F时受力情况如图甲所示，使物块下滑的力F1＝mg sin θ，物块恰好静止，则最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，物块受到的最大静摩擦力fm＝μN＝μmg cs θ，即mg sin θ＝μmg cs θ，解得μ＝tan θ，当施加恒力F后，受力情况如图乙所示，
甲 乙
使物块下滑的力为F2＝mg sin θ＋F sin θ，物块所受最大静摩擦力为f′m＝μ(mg cs θ＋F cs θ)＝mg sin θ＋F sin θ，即F2＝f′m，两者相等，物块仍处于静止状态，A正确，B错误；由于f′m>fm，C错误；物块始终静止，则受到的合力始终为零，D错误。]
13．如图所示，质量为m的木板B放在水平地面上，质量也为m的木箱A放在木板B上，重力加速度为g，一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在地面的木桩上，绳绷紧时与水平面的夹角为θ。已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数、木板B与地面之间的动摩擦因数均为μ。现用水平力F将木板B从木箱A下面匀速抽出。求：轻绳的张力的大小和水平拉力F的大小。
[解析] 对A进行受力分析，由正交分解法可得
fA＝μFNA＝FT cs θ，FNA＝mg＋FT sin θ
解得FT＝μmgcsθ-μsinθ
对B进行受力分析，由正交分解法可得F＝fA＋fB，FNB＝FNA＋mg，fB＝μFNB
解得水平拉力F＝μmg3csθ-μsinθcsθ-μsinθ。
[答案] μmgcsθ-μsinθ μmg3csθ-μsinθcsθ-μsinθ
第一步：作图
第二步：计算
适用情境
合成法
作平行四边形步骤：
①画已知大小和方向的力
②画已知方向的力
③画已知大小的力
根据三角函数、勾股定理、等边三角形、相似三角形等计算合力(或分力)
根据平衡条件确定与合力(或分力)平衡的力
受力个数≤3，已知力个数＝2
效果分
解法
受力个数≤3，已知力个数＝1
正交分
解法
①确定坐标轴方向
②分解不在轴上的力
根据平衡条件列方程
解方程，求解未知力
适用于各种情况，尤其受力个数>3的情况
1．知道平衡状态，了解共点力作用下物体平衡的概念和条件。
2．掌握解决平衡问题的常用方法，会用共点力的平衡条件解答实际问题。
3．认识到物理研究是对自然现象进行抽象的创造性工作，坚持实事求是，体会自然平衡之美。
知识点一 共点力作用下物体的平衡条件
1．平衡状态：物体静止或做匀速直线运动时所处的状态。
2．共点力作用下物体的平衡条件
(1)力的平衡：作用在物体上的几个共点力的合力为零，这种情况称为力的平衡。
(2)平衡条件：要使物体处于平衡状态，必须有：
F合＝0。
物理学中的“缓慢运动”可视为速度很小，接近于0，从而把“缓慢运动”作为平衡状态来处理。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)若一个物体处于平衡状态，则此物体一定处于静止状态。(×)
(2)高空中沿直线匀速飞行的飞机处于平衡状态。(√)
(3)物体速度为零，此时物体一定处于平衡状态。(×)
知识点二 平衡条件的应用
1．物体的静态平衡：物体在力的作用下处于静止状态，称为静态平衡，处于静态平衡的物体所受的外力的合力为零。
2．物体在某方向的平衡：运动的物体在某一方向上所受的合力为零时，物体在该方向处于平衡状态。
(1)地面上的大石头属于哪类平衡，合力为多少？
(2)水平匀速飞行的飞机合力为多少？
提示：(1)静态平衡，合力为零。(2)合力为零。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)物体处于静止或匀速直线运动状态时所受的合力为零。(√)
(2)处于平衡状态的物体，沿任何方向的合力均为零。(√)
“阿门阿前一棵葡萄树，阿嫩阿嫩绿地刚发芽，蜗牛背着那重重的壳呀，一步一步地往上爬……”这是一首经典的儿童歌曲。如图所示，蜗牛在树枝上匀速向上爬。
(1)请对蜗牛进行受力分析。
(2)若树枝的倾角为α，则树枝对重力为G的蜗牛的作用力是多大？方向如何？
提示：(1)蜗牛受竖直向下的重力，垂直树枝向上的弹力，沿树枝向上的摩擦力。
(2)因蜗牛缓慢爬行，说明处于平衡状态，即所受合力为零，因此树枝对蜗牛的作用力大小为G，方向竖直向上。
考点1 共点力作用下物体的平衡及平衡条件
1．从运动学的角度理解平衡状态：平衡的物体处于静止或匀速直线运动状态，此种状态其加速度为零，即处于平衡状态的物体加速度为零；反过来加速度为零的物体一定处于平衡状态。
2．从动力学的角度理解平衡状态：处于平衡状态的物体所受的合外力为零；反过来物体受到的合外力为零，它一定处于平衡状态。
3．共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解法Fx合＝0Fy合＝0
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
4．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
【典例1】 物体在四个共点力作用下保持平衡，撤去F1而保持其他三个力不变，则此时物体所受的合力F( )
A．大小等于F1，方向与F1相反
B．大小等于F1，方向与F1相同
C．大小大于F1，方向与F1相反
D．由于运动状态不明确，无法确定
思路点拨：多力平衡时，任意一个力与其他力的合力等大、反向。
A [由物体处于平衡状态可知其余三个力的合力与F1等大、反向，故撤去F1，其余三个力不变，这三个力的合力方向与F1方向相反，大小等于F1，则A正确，B、C、D错误。]
“静止”与“v＝0”的区别
(1)物体保持静止状态：说明v＝0，a＝0，物体受合外力为零，物体处于平衡状态。
(2)物体运动速度v＝0则有两种可能：
①v＝0，a≠0，物体受合外力不等于零，物体并不保持静止，处于非平衡状态，如上抛到最高点的物体。
②v＝0，a＝0，这种情况与(1)中的静止状态一致。
[跟进训练]
1．如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上，处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向D．F4的方向
B [对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向。
]
考点2 解答共点力平衡问题的三种常用方法
【典例2】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢(重力加速度为g)?
思路点拨：(1)研究对象：金属球；(2)受力分析；(3)利用平衡条件列式处理。
[解析] 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。
方法一：力的合成法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，则有F＝mg tan θ。
方法二：力的效果分解法
将重力沿金属丝方向和水平方向分解，如图丙所示
则有F－mg tan θ＝0
得F＝mg tan θ。
方法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丁所示。水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零
即Fx合＝T sin θ－F＝0
Fy合＝T cs θ－mg＝0
解得F＝mg tan θ。
[答案] F＝mg tan θ
处理平衡问题的四个步骤
选择研究对象⇨选取一个平衡体(单个物体或系统，也可以是结点)作为研究对象
⇩
画受力示意图⇨对研究对象进行受力分析，画出受力示意图
⇩
明确解题策略⇨合成法、分解法、正交分解法、力的三角形法
⇩
列方程求解 ⇨根据平衡条件列出平衡方程，解平衡方程，对结果进行讨论
[跟进训练]
2．“中国天眼”是口径为500 m的球面射电望远镜。维护时为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为56mg方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉，若将人视为质点，此时工作人员( )
A．受到的重力大小为16mg
B．受到的合力大小为16mg
C．对球面的压力大小为16mg
D．对球面的作用力大小为16mg
D [人受到的重力大小仍为mg，选项A错误；因人在球面上缓慢移动，所以合外力应该为零，选项B错误；根据题意，人的受力分析如图所示，人对球面的压力应该小于mg6，选项C错误；根据共点力的平衡，人对球面的作用力(支持力、静摩擦力的合外力)应该等于mg6，选项D正确。
]
1．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反
CD [物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，不是做匀速直线运动，一定不是处于平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C正确；任意两个共点力的合力与第三个力等大反向，合力为零，物体处于平衡状态，D正确。]
2．一只质量为m的萤火虫停在倾角为θ的枝条上，枝条对萤火虫的作用力大小为(重力加速度为g)( )
A．mg sin θ B．mg cs θ
C．mg tan θD．mg
D [萤火虫是静止的，所以处于平衡状态，它受到竖直向下的重力，以及枝条的作用力，说明枝条对它的力与重力的大小相等、方向相反，所以枝条对萤火虫的作用力大小为mg，方向竖直向上，故选D。]
3．物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为33，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为( )
A．150 kg B．1003 kg
C．200 kgD．2003 kg
A [设物块的质量最大为m，将物块的重力沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件，在沿斜面方向有F＝mg sin 30°＋μmg cs 30°，解得m＝150 kg，A项正确。]
4．(新情境题：以圆柱体工件沿V形槽运动为背景，考查平衡条件)一个质量m＝10 kg的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽与圆柱体工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ＝0.25，则：(重力加速度g取10 m/s2)
甲 乙
(1)要沿圆柱体工件的轴线方向(如图甲所示)水平地把圆柱体工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(2)把整个装置倾斜(如图乙所示)，保证圆柱体工件和槽始终处于相对静止状态，此过程中圆柱体工件和槽之间的摩擦力怎样变化？
[解析] (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力，由题给条件知，F＝f。将重力进行分解，如图所示。
因为α＝60°，所以F1＝F2＝mg
由f＝μF1＋μF2
解得：F＝0.5mg＝50 N。
(2)因圆柱体工件和槽始终处于相对静止状态，故由f′＝mg sin θ知静摩擦力逐渐增大。
[答案] (1)50 N (2)逐渐增大
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)什么是平衡状态？
提示：物体静止或匀速直线运动时所处的状态。
(2)物体处于平衡状态时应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零。
生活实践中的物理
在我国某些地区有一种伸臂桥(如图甲所示)。当地人将木板重叠，逐渐向河面延伸。他们用不太长的木板铺设桥面，同时使逐渐向河中心延伸的木板与泥土形成整体，并使其重心仍然在支持面内，巧妙地形成稳定的平衡结构。
现用两根木条叠放的方式探究伸臂桥的平衡稳定问题。选两块质地均匀、质量相同的木条叠放在桌子边缘如图乙摆放。
若木条长度均为l，为使这两块木条保持平衡，不致翻倒。木条2的右端离桌沿的水平距离最远可为多少？还有哪些因素会影响伸臂桥的安全？
甲 乙
伸臂桥示意图 怎样保持平衡
提示：如图所示，对于木条2，只要其伸出的长度不超l2，就不会翻倒，将木条1、2看成一个整体，在木条2伸出l2的情况下，其总重心在距木条2右侧34l处，只要其重心位置保证在桌面正上方，木条1、2都不会翻倒，故木条2的右端离桌沿的水平距离最远为34l。
影响伸臂桥安全的因素有：木板的承压能力、木板的长度、各层木板向前延伸的长度、木板上方填压的沙石对重心的影响及过往行人、车辆的总重等。
课时分层作业(十三) 共点力的平衡
题组一 对物体平衡条件的理解
1．一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是( )
A．1 N 4 N 7 N B．2 N 6 N 9 N
C．2 N 5 N 8 ND．6 N 8 N 6 N
D [能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能。因为两个力的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范围内，就可能与F平衡，故D正确。]
2．如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于O点，设轻绳AO、BO相互垂直，与水平线的夹角分别为α、β，α＞β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，下列表述正确的是( )
A．FA一定大于G
B．FA一定大于FB
C．FA一定小于FB
D．FA与FB大小之和一定等于G
B [对O点受力分析如图所示，由三力平衡的知识可知，FA、FB的合力大小等于G，方向竖直向上，FA＝G sin α，FB＝G sin β，故FA一定小于G，A错误；因为α＞β，故FA一定大于FB，B正确，C错误；FA与FB大小之和一定大于G，D错误。
]
3．在某驾校的训练场地上，有一段半径很大的圆弧形坡道，如图所示，若将同一辆车先后停放在a点和b点，a点和b点处的斜面倾角均小于45°。下列分析正确的是( )
A．车在a点受到坡道的支持力小于在b点受到的支持力
B．车在a点受到坡道的摩擦力大于在b点受到的摩擦力
C．车在a点受到的合外力大于在b点受到的合外力
D．车在a点受到的合外力等于在b点受到的合外力
D [根据平衡条件有：N＝mg cs θ，f＝mg sin θ，b点的倾角大于a点的倾角，所以a点的支持力大于b点的支持力，车在a点所受的摩擦力小于在b点所受的摩擦力，故A、B错误；车处于静止状态，所以车在a点受到的合力等于在b点所受的合力，等于零，故C错误，D正确。]
4．(2023·江苏卷)如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的16。每条腿对月球表面压力的大小为( )
A．mg4 B．mg4csθ C．mg6csθ D．mg24
D [对“嫦娥五号”探测器受力分析有FN＝mg月，则对一条腿有FN1＝14mg月＝mg24，可知每条腿对月球表面的压力为mg24。]
题组二 平衡条件的应用
5．如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左、右两绳的拉力大小分别为( )
A．G和G B．22G和22G
C．12G和32GD．12G和12G
B [对日光灯受力分析，如图所示。由物体的平衡条件可知F1sin 45°＝F2sin 45°，F1cs 45°＋F2cs 45°＝G，联立求得F1＝F2＝22G，故选项B正确。
]
6．如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B间距为5 dm。则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．20∶15∶12
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
C [对结点C进行受力分析，如图所示，由平衡条件知，AC绳、BC绳上拉力的合力与CD绳上的拉力等大反向。由几何关系知，AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为3∶4∶5，所以C正确。
]
7．如图所示，一物块置于水平地面上。当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2大小相等，则物块与地面间的动摩擦因数为( )
A．3－1 B．2－3
C．32-12D．1－32
B [对两种情况下的物块分别受力分析，并正交分解，如图所示。由平衡条件可得F1x＝f1，F1y＋FN＝mg，F2x＝f2，F2y＋mg＝F′N，而f1＝μFN，f2＝μF′N，可得F1cs 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cs 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，又根据题意F1＝F2，解得μ＝2－3。
]
8．如图所示，用三根细线a、b、c将两个小球1和2悬挂起来，静止在竖直面内，已知两球重均为G，细线a与竖直方向夹角为30°，细线c水平。关于三根细线a、b、c的拉力Ta、Tb、Tc大小的比较正确的是( )
A．Ta一定小于Tb B．Ta一定大于Tc
C．Ta可能小于TcD．Tb可能小于Tc
B [对小球1受力分析，根据平衡状态可知，Ta等于Tb与重力的合力，因为Tb与重力夹角是锐角，所以Ta一定大于Tb，故A错误；将两小球看作一个整体，对整体受力分析，受力如图所示，根据共点力的平衡条件有：Ta＝2Gcs30°＝433G，Tc＝2G tan 30°＝233G，所以a绳拉力一定大于c绳拉力，故B正确，C错误；同理，Tb等于小球2的重力与Tc的合力大小，重力与Tc相互垂直，根据勾股定理可知，Tb大于Tc，故D错误。
]
9．如图所示，一轻质三脚架的B处悬挂一定滑轮(质量不计)。一体重为500 N的人通过拉跨过定滑轮的轻绳匀速提起一重为300 N的物体。
(1)此时地面对人的支持力是多大？
(2)斜杆BC、横杆AB所受的力各是多大？
[解析] (1)物体匀速运动，绳上的拉力为T＝300 N，对人进行受力分析，如图所示。
根据平衡条件：G＝T＋N
N＝G－T＝500 N－300 N＝200 N。
(2)B点受到绳子向下的拉力F＝600 N，产生的作用效果如图所示
FBC＝Fcs30°＝4003 N
FAB＝F tan 30°＝2003 N。
[答案] (1)200 N (2)4003 N 2003 N
10．(多选)将小船用绳索拉向岸边，如图所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
A．绳子的拉力T增大 B．绳子的拉力T不变
C．船的浮力减小D．船的浮力增大
AC [小船受四个力的作用而匀速前进。水平方向：F′＝T cs θ，竖直方向：T sin θ＋F浮＝mg，当θ角增大时，由于阻力F′不变，则拉力T增大，浮力F浮减小。]
11．(多选)如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角。则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是( )
A．N＝m1g＋m2g－F sin θ
B．N＝m1g＋m2g－F cs θ
C．f＝F cs θ
D．f＝F sin θ
AC [选整体为研究对象，在水平方向整体受摩擦力f和F在水平方向的分力，根据平衡条件得f＝F cs θ，所以选项C正确，选项D错误；在竖直方向受支持力N、重力和F在竖直方向的分力，根据平衡条件得N＝m1g＋m2g－F sin θ，所以选项A正确，选项B错误。]
12．一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上。现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示。则物块( )
A．仍处于静止状态B．沿斜面加速下滑
C．受到的摩擦力不变D．受到的合外力增大
A [无力F时受力情况如图甲所示，使物块下滑的力F1＝mg sin θ，物块恰好静止，则最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，物块受到的最大静摩擦力fm＝μN＝μmg cs θ，即mg sin θ＝μmg cs θ，解得μ＝tan θ，当施加恒力F后，受力情况如图乙所示，
甲 乙
使物块下滑的力为F2＝mg sin θ＋F sin θ，物块所受最大静摩擦力为f′m＝μ(mg cs θ＋F cs θ)＝mg sin θ＋F sin θ，即F2＝f′m，两者相等，物块仍处于静止状态，A正确，B错误；由于f′m>fm，C错误；物块始终静止，则受到的合力始终为零，D错误。]
13．如图所示，质量为m的木板B放在水平地面上，质量也为m的木箱A放在木板B上，重力加速度为g，一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在地面的木桩上，绳绷紧时与水平面的夹角为θ。已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数、木板B与地面之间的动摩擦因数均为μ。现用水平力F将木板B从木箱A下面匀速抽出。求：轻绳的张力的大小和水平拉力F的大小。
[解析] 对A进行受力分析，由正交分解法可得
fA＝μFNA＝FT cs θ，FNA＝mg＋FT sin θ
解得FT＝μmgcsθ-μsinθ
对B进行受力分析，由正交分解法可得F＝fA＋fB，FNB＝FNA＋mg，fB＝μFNB
解得水平拉力F＝μmg3csθ-μsinθcsθ-μsinθ。
[答案] μmgcsθ-μsinθ μmg3csθ-μsinθcsθ-μsinθ
第一步：作图
第二步：计算
适用情境
合成法
作平行四边形步骤：
①画已知大小和方向的力
②画已知方向的力
③画已知大小的力
根据三角函数、勾股定理、等边三角形、相似三角形等计算合力(或分力)
根据平衡条件确定与合力(或分力)平衡的力
受力个数≤3，已知力个数＝2
效果分
解法
受力个数≤3，已知力个数＝1
正交分
解法
①确定坐标轴方向
②分解不在轴上的力
根据平衡条件列方程
解方程，求解未知力
适用于各种情况，尤其受力个数>3的情况
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