安徽省十校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省十校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则若,则( )
A.2B.3C.4D.5
2．已知数列等比数列,且则的值为( )
A.1B.2C.3D.4
3．如图,可导函数在点处的切线为,设,则下列说法正确的是( )
A.,B.,
C.,是的极大值点D.,是的极小值点
4．某公司收集了某商品销售收入y（万元）与相应的广告支出x（万元）共10组数据（，2，3，…，10），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A.决定系数变小B.残差平方和变小
C.相关系数r的值变小D.解释变量x与预报变量y相关性变弱
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有( )
A.144种B.240种C.288种D.336种
7．已知正项数列的前n项和为,,若,且恒成立,则实数M的最小值为( )
A.B.C.D.3
8．已知正实数x,y满足,则的最大值为( )
A.0B.1C.2D.e
二、多项选择题
9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关,调查了400人,得到如图所示的列联表,其中,则( )
参考公式与临界值表:
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
B.任意一人不过量饮酒的概率为
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D.依据小概率值独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状,把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是( )
A.
B.1225既是三角形数,又是正方形数
C.
D.,,总存在p,,使得成立
11．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为,则下列说法正确的是( )
A.若,,则这样的数列共有360个
B.若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列共有288个
C.若该数列恰好先减后增,则这样的数列共有50个
D.若,,则这样的数列共有71个
三、填空题
12．已知随机变量,且,则的展开式中常数项为___________.
13．小张一次买了三串冰糖葫芦,其中一串有两颗冰糖葫芦,一串有三颗冰糖葫芦,一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗,每一串只能从上往下吃,那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
14．已知关于x的不等式对任意均成立，则实数k的取值范围为_________.
四、解答题
15．我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响,对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下：
（1）求证：,;
（2）求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元,估计年收入的附加额．
参考数据：,,．
参考公式：在经验回归方程中,,．
16．已知数列满足,且．
（1）求证：是等比数列;
（2）设,求数列的前n项和.
17．某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组,两个小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为,乙组能使生物成活的概率为．假定试验后生物成活,则称该次试验成功,如果生物不成活,则称该次试验失败．
（1）甲组做了4次试验,求至少1次试验成功的概率;
（2）若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为X,求X的分布列及数学期望．
18．已知函数．
（1）求函数的极值;
（2）当时,讨论函数零点的个数．
19．已知函数
（1）若恒成立,求a的值;
（2）求证：．
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以,
又,即,解得.
故选：B
2．答案：D
解析：由等比中项性质可知,
又,.
故选：D.
3．答案：C
解析：因函数在点处的切线为,
即,则,
于是,,由图知,当时,,此时,
当时,,此时.
对于B项,由上分析,B项显然错误;
对于C,D项,由上分析,当时,单调递增;当时,单调递减,
即当时,取得极大值,且,故C项正确,D项错误;
对于A项,由上分析时,取得极大值,也是最大值,
则有,,故A项错误.
故选：C.
4．答案：B
解析：从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数r的绝对值，即会更接近于1，由图可得x与y正相关，故r会更接近于1，
即相关系数r的值变大，解释变量x与预报变量y相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题知,,,
,
又,
则
故选：C.
6．答案：C
解析：将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6.当恰有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法；当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样，从而共有种站法；当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可，从而有种站法.综上可知，总站法有（种）.故选C.
7．答案：B
解析：因为,
所以,即,
即,则,
与上式作差后可得,
因为正项数列,所以,
所以,
因为,,
所以
,
所以实数M的最小值为,
故选：B.
8．答案：A
解析：正实数x,y满足,
,且,
构造函数,则,,
时,,函数在上单调递增,
,
,则,
令,,,
令,,,
,
函数在上单调递减,又,
则上,上,
时函数取得极大值,即最大值0.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：由已知得,又,所以.
任意一人不患疾病A的概率为,所以A正确;
任意一人不过量饮酒的概率为,所以B错误;
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为,所以C正确;
对于D,列联表如下:
则的观测值,由于,
依据小概率值的独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关,所以D正确.
故选:ACD
10．答案：BCD
解析：三角形数构成数列：1,3,6,10,…,
则有,,,
利用累加法,得,得到,时也成立;
正方形数构成数列：1,4,9,16,…,
则有,,,
利用累加法,得,得到,时也成立.
对于A,,利用裂项求和法：,故A错误;
对于B,令,解得;
令,解得;故B正确;
对于C,,
则,
整理得,,故C正确;
对于D,取,且,则令,
则有,故,总存在p,,使得成立,
故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：对于A：由于为奇数,根据对称性可知这样的数列有个,故A正确;
对于B：若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”,则有个,故B错误;
对于C：从1,2,3,4,5,6中选出1个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,
得到先减后增的数列有个;
从1,2,3,4,5,6中选出2个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,
得到先减后增数列有个;
从1,2,3,4,5,6中选出3个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,
得到先减后增的数列有个;
从1,2,3,4,5,6中选出4个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,
得到先减后增的数列有个;
从1,2,3,4,5,6中选出5个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,
得到先减后增的数列有个;
故满足条件的总个数为：个,故C错误．
对于D：若则这样的数列有个,
若则这样的数列有个,
若则这样的数列有个,
所以满足条件的这样的数列共有个,故D正确;
故选：AD.
12．答案：1215
解析：,,
,.
展开式第项：
,.
故答案为：1215.
13．答案：2520
解析：由题,记三串冰糖葫芦从上往下依次为,,,,,,,,,
则因为每一串只能从上往下吃,
所以在前被吃,在前而在前被吃,即它们被吃的相对位置是已定的,同理,,,,
被吃的相对位置也是已定的,
所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种.
故答案为：2520.
14．答案：
解析：因为关于x的不等式对任意均成立，
①当对任意均成立时，可得对任意均成立，
令，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，
又由对任意均成立，
可得对任意均成立，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以.
②当且对于任意均成立时，
结合①可知且，此时k无解.
综上可得，实数k的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）;10.45百万元
解析：（1）证明：由
;
又由
.
（2）由统计图表中的数据,可得,
,
所以,
又因为,可得,
所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为,
当时,可得百万元.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,且,
所以即,
所以是以为首项,为公比的等比数列;
（2）由（1）得,故
所以,
所以
,
令①,
所以②,
所以由①②得
,
故,
所以.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析,期望为
解析：（1）记甲组做了4次实验,至少1次试验成功的概率为事件A,
则事件A的对立事件为:甲组做了4次实验均失败,
所以.
（2）由题意得,X可能的取值为0,1,2,3,4,
则,
,
,
,
故X的分布列为
所以
18．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：（1）由题函数定义域为R,为增函数,
所以当时,恒成立,此时为R上的增函数,无极大值也无极小值;
当时,令,
故当时,,在上的单调递减,
当,,在上的单调递增,
所以存在极小值为,无极大值.
综上,当时,无极大值也无极小值;
当时,存在极小值为,无极大值.
（2）当时,
由（1）知在上的单调递减,在上的单调递增,
有最小值为,
所以当时,,无零点;
当时,,有1个零点;
当时,,又,故有2个零点;
综上,当时,无零点;
当时,有1个零点;
当时,有2个零点.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
所以,
当时,因为,所以恒成立,则在上单调递增,
且,所以恒大于等于零不成立;
当时,由得,,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,
若恒成立,则,
令,则,
当时,,当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以,
所以当时,,
综上,若恒成立,则;
（2）由（1）得,当时,恒成立,
即,当且仅当时等号成立,
令,则,,,
所以,,,
令,则恒成立,
所以函数在上单调递增,
故当时,,即,
所以,,,
所以
.
患疾病A
不患疾病A
合计
过量饮酒
3a
b
不过量饮酒
a
2b
合计
400
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
投入额
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
患疾病A
不患疾病
合计
过量饮酒
30
120
150
不过量饮酒
10
240
250
合计
40
360
400
X
0
1
2
3
4
P