安徽省江南十校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省江南十校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．条件p：，，条件q：方程表示的曲线是椭圆，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是( )
A.B.C.D.
4．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，G是的重心，记，，，则等于( )
A.B.C.D.
5．已知是直线l的方向向量，直线l经过点，则点到直线l的距离为( )
A.B.C.D.
6．已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．焦点为的抛物线上有一点P(不与原点重合)，它在准线l上的投影为Q.设直线与抛物线交于M，N两点，若，则的面积为( )
A.B.C.D.
8．若圆为双曲线的"伴随圆"，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交"伴随圆"C于A，B，若，则的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给出下列命题，其中真命题为( )
A.过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条
B.已知点，，则满足到点A距离为2，到点B距离为3的直线有且仅有3条
C.过点与拋物线仅有1个公共点的直线有3条
D.过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条
10．已知正方体的棱长为2，动点P满足，(且，，)，下列说法正确的是( )
A.当，，时，的最小值为
B.当，，时，三棱锥的体积为3
C.当，，时，经过，B，P三点截正方体所得截面面积的取值范围是
D.当，且时，则P的轨迹总长度为
11．过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于A，B两点（异于点M），则( )
A.过点M与相切的直线方程为
B.若点A，B关于y轴对称，则为定值
C.若，则直线经过定点
D.分别以A，B，M为切点作拋物线的三条切线，，，若P，B两点的横坐标相等，则
三、填空题
12．抛物线的焦点坐标是_________.
13．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为时，则水面椭圆的离心率为_________.
14．如图，在正方体中，M，N分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为_________.
四、解答题
15．已知圆C的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线l与圆C交于P，Q两点，O为坐标原点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求的最大值.
16．已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，A为双曲线C右支上一点，与y轴交于点B，且，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线C于P，Q两点；若的中点为N，O为坐标原点，直线交直线于点M，求的最小值.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，E，F分别是线段和上的点，.
(1)试确定点F的位置，使得平面，并证明；
(1)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点P的两条不重合的直线，与椭圆相交于Q，H两点，与椭圆相交于A，B和C，D四点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：；
(3)设直线，的倾斜角互补，求证：.
19．设A和B是空间中的两个不同点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数t唯一对应直线上的点C.仿照上面定义，设A，B，C是共线的三个不同点，定义点C关于点A，B的分比为.
(1)设，O为空间中任意取定的一点，求证：；
(2)若A，B，C，D是共线的四个不同点，满足，求的值；
(3)如图，设D，E和F分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点M，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，得，即，故选C.
2．答案：B
解析：，且时方程表示的曲线是椭圆，故选B
3．答案：A
解析：因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故直线方程是，故选A.
4．答案：D
解析：易知，设中点为E，
则，
所以，故选D
5．答案：B
解析：由题意直线l的方向向量，，
则，，，
所以点到直线l的距离为
，
故选B.
6．答案：C
解析：圆C的方程为，圆心为，半径为，
过点作圆C的切线，设其方程为，
即，则，解得，
则结合图像知的取值范围为，故选C.
7．答案：B
解析：过点M作于A点，过点N作于B点，设l与x轴交于点D，如图
由抛物线定义结合三角形相似可得：，
令，则，，
所以，即F为的中点，
由得，
又，得，则点，
同理可得，即，所以，，
于是所求三角形的面积
，故选B
或
8．答案：C
解析：设双曲线的右焦点为，连接，
过O作与H，则，
因为，，所以，
因为，所以，
即H为线段的中点，
因为O为的中点，所以，所以，，
设，
则，，，所以，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
所以，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于A：设过点与坐标轴的正半轴相交的直线l方程为：，则，即直线l与坐标轴围成三角形的面积的最小值为，所以与坐标轴的正半轴围成三角形面积为16的直线有2条，另外过点与x轴正(负)半轴，与y轴负(正)半轴围成三角形面积，即面积为16的直线各有1条，故共有4条，A错误；
对于B：因为，以A，B为圆心，分别以2，3为半径作圆，则圆A与圆B相外切，它们的3条公切线即为满足条件的直线，所以B正确；
对于C：因为，当时，，所以点Q在抛物线的外部，所以C正确；
对于D：过双曲线的右焦点作垂直实轴的直线l，被双曲线右支截得的弦(通径)长为，又双曲线的实轴长，所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为5的直线有2条，共有3条，所以D正确.
故选BCD
10．答案：AD
解析：对于A，因为，，，即，故P点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图：
连接交于P，此时，P，D三点共线，取到最小值即的长，即，A正确；
对于B，由于，时，则P为的中点，
法一：如图平面，所以平面平面，
又，作，则平面，
即是点G到平面的距离，且，
又平面，
所以，B错误
法二：以D为空间直角坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建系，如图
易知是平面的一个法向量，，则点P到平面的距离为，
所以，B错误
对于C，当，，时，点P与C点重合，此时经过，B，P三点截正方体所得截面是矩形，其面积；当，，时，点P与点重合，经过，B，P三点截正方体所得截面是三角形，其面积，当，，时，经过，B，P三点截正方体所得截面是梯形，面积随z的增大而减小，故截面面积的取值范围是，C错误
对于D，当时，可得点P的轨迹在内（包括边界），
易知平面，点A到平面的距离，
若，则，
即P点落在以O为圆心，为半径的圆上（如上右图），
O点到三边的距离为，
此时，P点轨迹是以O为圆心，为半径的圆的一部分，
其轨迹长度为，即D正确；
故选：AD
11．答案：ABD
解析：对于A，联立，消元得，则，故直线与抛物线相切，又点在直线上，则过点M与相切的直线方程为，故A正确；
对于B，由题意，设，，
则，
注意到，于是为定值，B选项正确；
对于C，依题意知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
联立，
得，
即，
设，，
则，是方程的两个根，
由韦达定理知解得，
此时直线的方程为，即，恒过定点，故C错误；
对于D，设，，以A为切点的切线方程为，
则，
令，得，所以切线方程为，
同理可得以M为切点的切线方程为：，
以B为切点的切线方程为，
联立与的方程可得，
即点P的横坐标为，由题意，则切线的斜率，
又直线的斜率，即，所以，即D正确，故选ABD
12．答案：
解析：由，得，，则，.
抛物线的焦点坐标是.
故答案为:.
13．答案：
解析：倾斜圆柱体水面形成的椭圆，长轴为圆柱底面直径，
短轴为圆柱底面直径乘以倾斜角度的余弦值，即.
根据粗圆性质，，则.
椭圆离心率.
14．答案：
解析：以为空间直角坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建系如图，
设，，，
，，设，
则，
①当或时，；
②当且时，令，
(当且仅当取等号)，
令，函数在为增函数，故.
故，所以.综上：.
15．答案：（1）；
(2)
解析：(1)易求A，B中点坐标为，，
故中垂线为，即，
与联立解得圆心C点坐标为，圆的半径，
故圆
(2)设P，Q中点坐标为N，，故N点在为直径的圆上，
设中点M，以为直径的圆M的方程：，
即，故，
当且仅当O，M，N三点共线时取等号，故
另解：①当直线的斜率不存在时，中点坐标，；
②当直线的斜率存在时，设直线，
代入整理得：
设，，
则，
，
因为求的最大值，可令，代入上式可得：
当且仅当，即时取等号.
易求，故.
16．答案：（1）；
(2)
解析：(1)由题意结合双曲线的对称性可知，
得，即轴，
把代入方程，可得，
又，，即，
又，解得，，
双曲线C的方程为：.
(2)设直线的方程为：，
联立方程，化简得.
设，，则，，
结合直线的方程得，
即中点N坐标为.
于是
（倾斜角，或）
当或时，，直线方程为：，
令，得，
此时，
于是，令，
则，
由知，，故的最小值为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：(1)取F为三等分点，且，过F作，
则，所以为平行四边形，
所以，又面，面，
所以平面，证毕；
(2)由题意平面底面，平面底面，，
所以面，所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由，得.
设中点为O，设中点为Q，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
易求平面法向量，设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为
（其他做法，请参照给分）
18．答案：（1）
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）依题意可得：，
解得：，，，
故椭圆
(2)若斜率不存在或为0，有对称性知：若斜率存在且不为0，
设中点为，，，
则①②
①-②得：，
，即
设中点为，同理可得：，
即，故T与重合.
，，
，得证
（3）由（2）知：，同理，
，
同理，即证：，
设直线，代入，
整理得：
设，，
则，，
因为直线，的倾斜角互补，则的斜率为，
同理可得，得证.
所以，得证.
另解：设直线代入，
整理得：
，，
用代得：，
所以，得证.
19．答案：（1）
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1），
，，
故
(2)设，即，
因为A，B，C是共线的三个不同点，故.
所以，，，即.
同理，所以.
(3)设，，，
因为A，B和D三点共线，，
参照（1）证明可得：①
又因为M，C，E三点共线，所以存在，使得，
代入①式可得：②
同理，利用，，可以找到实数y和z，
使得③，④，
联立②③消去，联立②④消去，可得：，
，又因为，和中任意两个向量互不共线，故有，由此推出，，，，即.得证