安徽省十校2022-2023学年高二下学期4月期中联合考试数学试卷（含答案）

安徽省十校2022-2023学年高二下学期4月期中联合考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在正项等比数列中，，则的公比等于(   )

A.  B. 2 C. 4 D. 2

2、设，则(   )

A.-5 B.-20 C. 5 D. 20

3、已知函数导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4、传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是(   )

A.36 B.49 C.64 D.81

5、某厂安排5名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排1名工人，则安排工人甲､乙到同一个岗位值班的方法数为(   )

A.24 B.36 C.60 D. 90

6、已知数列的前n项和为，则(   )

A. -1012 B. 1012 C. -2024 D. 2024

7、已知，则a被10除所得的余数为(   )

A. 9 B. 3 C. 1 D. 0

8、在等比数列中，，函数，则(   )

A. 0 B. 1 C.  D.

二、多项选择题

9、若曲线的一条切线垂直于直线，则切点的坐标可以是(   )

A. B. C. D.

10、下列各式正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

11、已知正项数列前n项和为，且满足(   )

A.数列是等差数列 B.

C.数列不是等差数列 D.

12、已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的值可以为(   )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

三、填空题

13、在的展开式中，含的项的系数为__________.

14、某乡村道路上有12盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的4盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为__________.（用数字作答）

15、已知等差数列的前n项和为，若，公差，当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是__________.

16、如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为__________．

四、解答题

17、若，其中.

（1）求实数m的值；

（2）求.

18、已知数列满足：，

（1）求的通项公式；

（2）若数列是等比数列，且，求关于n的表达式.

19、（1）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？

（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？

20、若函数，且为偶函数.

（1）求的值；

（2）设函数，求的单调区间.

21、已知数列的前n项和为，满足且.

（1）求证：是等比数列；

（2）设，数列的前项和为，求证：.

22、已知函数.

（1）若为增函数，求实数m的取值范围；

（2）若，求证：.

参考答案

1、答案：B

解析：设数列的公比为q，则，

解得（负值舍去）.

故选：B.

2、答案：A

解析：，即.

故选：A.

3、答案：D

解析：只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

4、答案：A

解析：三角形数：1,3,6,10,，可得其通项公式为；

正方形数：1,4,9,16,，可得其通项公式为，

,,均无正整数解，且，,

所以49，64，81是正方形数不是三角形数，

又，36既是三角形数，

又是正方形数.故选：A.

5、答案：B

解析：依题意，可分两步安排：

第一步，将5人分为3个小组，按小组人数可分为2人、2人、1人和3人、1人、1人两类，

2人、2人、1人分组，甲、乙同组，另外3人中，选出2人同组，有种方法，

3人、1人、1人分组，除甲、乙的另外3人中，选出1人与甲、乙同组，剩余2人各自一组，有种方法，

第一步共有种方法；

第二步，将3组分别安排到三个岗位，有种方法，

满足题意的安排方法数有种.

故选：B.

6、答案：C

解析：，

则，,,

，,,

，

依次类推，，.

故选：C.

7、答案：C

解析：，

，又，,,都是10的倍数，

a被10除所得的余数为1.

故选：C

8、答案：D

解析：令，则，

，

数列是等比数列，且，

.

故选：D.

9、答案：BC

解析：由题意，

在直线中，

设切点为，

中，，一条切线垂直于直线

，解得，

当时，，此时点P的坐标为；

当时，，此时点P的坐标为.

故选：BC.

10、答案： AD

解析：对于A，由得，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD

11、答案： ABD

解析：数列中，，,，当时，，

则，即，

因此，而，解得，即数列是首项为1，公差为2 的等差数列，A，B都正确；

，，，

于是，数列是等差数列，C错误；

，D正确.

故选：ABD

12、答案：CD

解析：令，解得，故问题转化为方程恰有3个实数根.

当时，令，解得，

故当时，方程有2个实数根.

令，即，显然不是该方程的根，

.令，

则，

故当时，，当时，，

故当时，有极小值6，而时，，当，且时，，

故实数m的取值范围为.

故选：CD

13、答案：135

解析：在展开式中，第项为，，

令，得含有的项的系数为

故答案为：135.

14、答案： 35

解析：由题意得，让4盏需要关闭的灯插空到8盏亮灯的7个空中，有种关灯方案.

故答案为：35

15、答案：

解析：由题意得，，即，解得.又，,的取值范围是.

故答案为：

16、答案：

解析：由题意作出圆锥轴截面的平面图，如图所示，过等边三角形ABC顶点C作，则，，

设圆锥底面圆的半径为，则，，

所以，

因为圆锥的轴截面是面积为，

所以，

解得,

易知冰块体积最大时上底与杯口齐平，

设圆柱形冰块的底面圆半径为，其中，高为，则，

在中，，

则，

设圆柱形冰块的体积为，

则.

设，

则，

当时，；

当时，，

在处取得极大值，也是最大值，

即，

所以，

故当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为，

故答案为：．

17、答案：（1）-1   

（2）0

解析：（1）由题意，

在中，，

展开式的通项为，

，

解得：.

（2）由题意及（1）得，

在中，

令，得，

18、答案：（1）

（2）

解析：（1），

所以数列是等差数列，

设其公差为d，则，

.

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知.

因为数列是等比数列，且，

数列的公比，

由等比数列的通项公式可得

，

19、答案：（1）180；

（2）207

解析：（1）若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法；

若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法，

故一共有种不同的涂色方法.

（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：

若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有种；

若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有种；

若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有种.

故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有种不同的取法.

20、答案：（1）   

（2）单调递增区间是，单调递减区间是

解析：（1），

为偶函数，则，，，

又，；

（2）由（1）知，则，

则，

令，得，或；令，得，

故的单调递增区间是，；单调递减区间是.

21、答案：（1）证明见解析   

（2）证明见解析

解析：（1）由得：，

两式相减得，则，

所以，

又，则，解得，满足，

综上，，又，

所以是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）知：，则，

，

由，故.

22、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）由题意得，函数的定义域为，

则，

由为增函数得，在上恒成立.

设，在处取得最小值

，即实数的取值范围为.

（2）当时，.

设，

则

设，则，

在上单调递增，又，

当时，，即；当时，，即

在处取得极小值

而，

，即.