重庆市外国语实验学校2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份重庆市外国语实验学校2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共35页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的表格中．
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．中国国家卫生计划生育委员会10月19日发布有关流动人口发展报告显示，2015年，中国大陆流动人口规模为2.47亿，人月平均工资约4600元，将数4600用科学记数法表示是（ ）
A．0.46×104 B．4.6×103 C．46×103 D．460×10
4．计算（﹣2a3）2•a4的结果是（ ）
A．﹣4a10 B．4a9 C．﹣4a9 D．4a10
5．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．下列调查中，最适合采用抽样调查（抽查）的是（ ）
A．调查“神州十一号飞船”各部分零件情况
B．调查旅客随身携带的违禁物品
C．调查全国高中学生对“数学核心素养”的了解
D．调查某校九年级（1）班学生中考体育成绩
7．在函数中，x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≠1 D．x≠﹣1
8．若a+b=2，则代数式a2﹣b2+4b的值是（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
9．如图是有大小相同的圆与大小相同的正三角形按一定规律组成的图形，第①个图形中圆与正三角形的个数和是5，第②图形中圆和正三角形的个数和是10，第③图形中圆和正三角形的个数和是16，第④图形中圆和正三角形的个数和是24，…，则第⑦图形中圆和正三角形的个数和是（ ）
A．88 B．92 C．152 D．156
10．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=BO=1，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
11．某公司移动电话信号收发塔AB建在学校的科技楼BC上，小飞同学利用测倾器在与点C距离为27米远的点D处测得塔顶A的仰角为60°，塔底B的仰角为30°，则信号收发塔AB的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，）
A．31.2 B．31.1 C．30.2 D．30.3
12．已知二次函数y=﹣x2+（a﹣2）x+3，当x＞2时y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数a的和是（ ）
A．3 B．8 C．15 D．16
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：﹣（）﹣2﹣42017×（﹣0.25）2016= ．
14．若△ABC与△DEF的相似比为1：，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
15．如图，点A，B，C是圆O上的三点，且OA=1，AB=，则∠ACB= 度．
16．从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作为b的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
17．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了 米．
18．在正方形ABCD中，AD=4．点E是线段AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使点B落在点F处，对角线BD与CF，CE分别相交于点M，N，则MN的长是 ．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．如图，点D是△ABC中的BC边上的一点，AB=AD，AE∥BC，∠BAC=∠ADE，
求证：AE=BC．
20．为了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查，用“A”，表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两幅不完整的统计图
请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图；扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 度．
（2）该班有40人，请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人？

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21．计算：
（1）（2a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）（3a﹣b）
（2）．
22．如图所示，一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（m，4），B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，AO=5．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点P是双曲线在第四象限内点B左侧的一点，过点P作PD⊥AB于点D，当PD=2时，求点P的坐标．
23．据国家发改委报道，去产能的推进使钢铁行业运行状况明显好转，钢铁煤炭价格回升，贷款拖欠明显缓解，行业生产、安全和经营在较短期时间内实现整体好转，从产量看，今年1﹣9月份，粗钢产量6.024亿吨，比去年同期至少增长0.4%，粗钢表观消费量5.247亿吨，比去年同期下降1%．
（1）去年同期最多生产了多少亿吨粗钢？
（2）钢铁行业协会预计，受宏观政策和市场影响，明年同期的粗钢表观消费量比去年下降2m%，价格将比去年上涨m%，粗钢消费额将比去年减少16%，求m的值．
24．若一个自然数各位数字左右对称，则称这样的自然数是对称数，如22，989，5665，12321…，都是对称数．
若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数．例如：17与71，132与231，5678与8765，…，都互为逆序数．
有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与这个和的逆序数相加，连续进行下去…，便可以得到一个对称数．例如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（1）猜想任意一个三位数与其逆序数之差能否被99整除？并说明理由．
（2）若两位自然数A按上述方式的第一个对称数是484，A的十位上的数字大于个位上的数字，求A的值．

五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．
（1）若AD=6，tan∠BCE=，求AB的长；
（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE﹣BE=EF；
（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（）2的值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，点C为抛物线的顶点，过B，C两点作直线BC，抛物线上的一点F的横坐标是﹣2，过点F作直线FG∥BC交x轴于点G．
（1）求直线BC的解析式和点G的坐标；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PG与直线BC交于点E，连接EF，PF，当△PEF的面积最大时，在x轴上有一点R，使PR+CR的值最小，求出点R的坐标，并直接写出PR+CR的最小值；
（3）如图2，连接AD，作AD的垂直平分线与x轴交于点K，平移抛物线，使抛物线的顶点C在射线BC上移动，平移的距离是t，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别是点A′，点C′，连接A′C′，A′K，KC′，△A′KC′是否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

2016-2017学年重庆市外国语实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的表格中．
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣B．C．2D．﹣2
【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）=1，
∴﹣2的倒数是﹣．
故选A．

2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．

3．中国国家卫生计划生育委员会10月19日发布有关流动人口发展报告显示，2015年，中国大陆流动人口规模为2.47亿，人月平均工资约4600元，将数4600用科学记数法表示是（ ）
A．0.46×104B．4.6×103C．46×103D．460×10
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4600=4.6×103，
故选：B．

4．计算（﹣2a3）2•a4的结果是（ ）
A．﹣4a10B．4a9C．﹣4a9D．4a10
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
【分析】先依据积得乘方法则计算（﹣2a3）2，然后依据单项式乘单项式法则计算即可．
【解答】解：原式=4a6•a4=4a10．
故选：D．

5．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=50°，
∴∠BEF=130°，
∴∠2=130°，
故选B

6．下列调查中，最适合采用抽样调查（抽查）的是（ ）
A．调查“神州十一号飞船”各部分零件情况
B．调查旅客随身携带的违禁物品
C．调查全国高中学生对“数学核心素养”的了解
D．调查某校九年级（1）班学生中考体育成绩
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、调查“神州十一号飞船”各部分零件情况，适合全面调查，故A错误；
B、调查旅客随身携带的违禁物品，适合全面调查，故B错误；
C、调查全国高中学生对“数学核心素养”的了解，适合抽样调查，故C正确；
D、调查某校九年级（1）班学生中考体育成绩，适合全面调查，故D错误；
故选：C．

7．在函数中，x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＞﹣1C．x≠1D．x≠﹣1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选D．

8．若a+b=2，则代数式a2﹣b2+4b的值是（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
【考点】平方差公式．
【分析】先根据平方差公式分解，代入后合并，再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b
=（a+b）（a﹣b）+4b
=2（a﹣b）+4b
=2a+2b
=2（a+b）
=4，
故选B．

9．如图是有大小相同的圆与大小相同的正三角形按一定规律组成的图形，第①个图形中圆与正三角形的个数和是5，第②图形中圆和正三角形的个数和是10，第③图形中圆和正三角形的个数和是16，第④图形中圆和正三角形的个数和是24，…，则第⑦图形中圆和正三角形的个数和是（ ）
A．88B．92C．152D．156
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据已知图形得出第n个图形中圆与正三角形的个数和为2n﹣1+4n，据此可得．
【解答】解：∵第①个图形中圆与正三角形的个数和5=20+1×4=5，
第②个图形中圆与正三角形的个数和10=21+2×4，
第③个图形中圆与正三角形的个数和16=22+3×4，
…
∴第⑦图形中圆和正三角形的个数和是26+7×4=92，
故选：B．

10．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=BO=1，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质结合AB=BO=1可知BD=2且△ABO为等边三角形，继而可知∠ABO=60°、∠EBO=30°、AD=，最后根据S阴影=S△ABD﹣S扇形ABO+S扇形EBO可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵AB=BO=1，
∴BD=2，AO=BO=AB=1，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABO=60°，∠EBO=30°，
∵AD==，
∴阴影部分的面积是S△ABD﹣S扇形ABO+S扇形EBO
=×1×﹣+
=﹣，
故选：C．

11．某公司移动电话信号收发塔AB建在学校的科技楼BC上，小飞同学利用测倾器在与点C距离为27米远的点D处测得塔顶A的仰角为60°，塔底B的仰角为30°，则信号收发塔AB的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，）
A．31.2B．31.1C．30.2D．30.3
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△ACD中，根据CD的值可以求得AC的值，在Rt△BCD中，根据CD的值可以求得BC的值，根据AB=AC﹣BC即可求得AB的值，即可解题
【解答】解：在Rt△ACD中，AC=CD•tan60°=27×=27．
在Rt△BCD中，BC=CD•tan30°=．
∴AB=AC﹣BC=27﹣9=18≈31.1（米）．
答：该塔的高度约为31.1米，
故选B．

12．已知二次函数y=﹣x2+（a﹣2）x+3，当x＞2时y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数a的和是（ ）
A．3B．8C．15D．16
【考点】二次函数的性质；分式方程的解．
【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．
【解答】解：
∵y=﹣x2+（a﹣2）x+3，
∴抛物线对称轴为x=，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴≤2，解得a≤8，
解关于x的分式方程可得x=，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，
∴符合条件的整数a为：﹣1、1、3、5、7，
∴符合条件的整数a的和为：﹣1+1+3+5+7=15，
故选C．

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：﹣（）﹣2﹣42017×（﹣0.25）2016= ﹣5 ．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，平方根定义，以及积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣4﹣（4×0.25）2016×4=3﹣4﹣4=﹣5，
故答案为：﹣5

14．若△ABC与△DEF的相似比为1：，则△ABC与△DEF的面积比为 1：3 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：3．
故答案为1：3．

15．如图，点A，B，C是圆O上的三点，且OA=1，AB=，则∠ACB= 60 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】作OH⊥AB于H，如图2，根据垂径定理得到AH=BH=，在Rt△AOH中利用余弦的定义可得到∠AOH=30°，则∠AOB=120°，然后根据圆周角定理得到∠ACB=AOB=60°．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图2，则AH=BH=，
在Rt△AOH中，∵cs∠AOH==，
∴∠AOH=30°，
∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，
∴∠ACB=AOB=60°．
故答案为60．

16．从﹣2，﹣1，1，2这四个数中任取一个作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作为b的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先根据题意列出树状图，找出符合题意的四种情况．
【解答】解：列树状图如图所示，
共12中情况；
∵不等式组有整数解，
∴b＞a，
∴符合条件的有①a=﹣2，b=1，②a=﹣2，b=2，③a=﹣1，b=1，④a=﹣1，b=2，共四种情况，
∴不等式组有整数解的概率是=，
故答案为．

17．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了 1450 米．
【考点】函数的图象．
【分析】根据“速度=路程÷时间”结合函数图象即可算出乙的速度，再根据“甲的速度=乙的速度+两者速度差”即可求出甲的速度，进而即可求出甲、乙会合地离起点的距离，结合总路程及二者的速度即可得出甲到终点时，乙离起点的距离，此题得解．
【解答】解：乙的速度为：1500÷600=2.5（米/秒），
甲的速度为：2.5+200÷400=3（米/秒），
甲、乙会合地离起点的距离为：400×3=1200（米），
甲到达终点时，乙离起点的距离为：1200+÷3×2.5=1450（米）．
故答案为：1450．

18．在正方形ABCD中，AD=4．点E是线段AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使点B落在点F处，对角线BD与CF，CE分别相交于点M，N，则MN的长是 ． ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】先构造出直角三角形，利用三角函数求出BG=NE=，CN=，进而求出BN，再构造出等腰三角形，求出NH=CH=，最后用平行线分线段成比例即可求出MN．
【解答】解：如图，
过点N作NG⊥BC，
∵点E是正方形的边AB中点，
∴BE=AB=BC，
∴tan∠BAE==，
在Rt△CGN中，tan∠BCE=，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠CBD=45°，
∴NG=BG，CG=BC﹣BG=4﹣BG，
∴，
∴NG=BG=，
∴CG=，
在Rt△CGN中，CN==
在Rt△BNG中，BN=BG=，
过点N作NH∥BC，过点H作HP⊥CE，
由折叠得，∠BCE=∠FCE，
∴NH=CH，PN=PC=CN=，
∵tan∠PCH=，
∴PH=PC=，
根据勾股定理得，NH=CH==，
∵NH∥BC，
∴，
∴，
∴
∴MN=．
故答案为．

三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．如图，点D是△ABC中的BC边上的一点，AB=AD，AE∥BC，∠BAC=∠ADE，求证：AE=BC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证明AE=BC，只要证明△ABC≌△DAE即可．
【解答】证明：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵AE∥BC，
∴∠EAD=∠ADB=∠B，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE，
∴BC=AE．

20．为了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“我最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查，用“A”，表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两幅不完整的统计图
请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 20 名学生，请补全条形统计图；扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为 108 度．
（2）该班有40人，请通过计算估计这个班喜欢传记类书籍的大约有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出C的人数，补全条形统计图即可，求出B占的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）用C类别人数所占比例乘以全班总人数可得．
【解答】解：（1）根据题意得：4÷20%=20（人），
∴C的人数为20﹣（7+6+4）=3（人），
补全条形统计图，如图所示；
扇形统计图中表示“B”的扇形圆心角为×360°=108°，
故答案为：20，108；
（2）×40=6（人），
答：估计这个班喜欢传记类书籍的大约有6人．

四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
21．计算：
（1）（2a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）（3a﹣b）
（2）．
【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；平方差公式．
【分析】分式或整式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的，运算的结果要化成最简分式或整式．
【解答】解：（1）原式=4a2﹣b2﹣（3a2﹣ab+3ab﹣b2）
=4a2﹣b2﹣3a2+ab﹣3ab+b2
=a2﹣2ab；
（2）原式=+（+）
=+
=．

22．如图所示，一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A（m，4），B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，AO=5．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点P是双曲线在第四象限内点B左侧的一点，过点P作PD⊥AB于点D，当PD=2时，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入代入y=可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；然后把A点坐标代入y=﹣x+b得到关于b的方程，再解方程求出b的值，从而可确定一次函数解析式；
（2）根据已知条件得到直线PD的解析式为y=2x﹣10，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
∴AD=4，
∵OA=5，
∴OD=3，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y=﹣x+b，解得b=，
所以一次函数解析式为y=﹣x+；
（2）∵反比例函数的解析式为y=﹣，
∵直线y=﹣x+与x轴的交点D（5，0）；
∵PD⊥AB于点D，
∴设直线PD的解析式为y=2x+m，
把D（5，0）代入y=2x+m，得m=﹣10，
∴直线PD的解析式为y=2x﹣10，
解得，，
∴P（2，﹣6）或（3，﹣4）．

23．据国家发改委报道，去产能的推进使钢铁行业运行状况明显好转，钢铁煤炭价格回升，贷款拖欠明显缓解，行业生产、安全和经营在较短期时间内实现整体好转，从产量看，今年1﹣9月份，粗钢产量6.024亿吨，比去年同期至少增长0.4%，粗钢表观消费量5.247亿吨，比去年同期下降1%．
（1）去年同期最多生产了多少亿吨粗钢？
（2）钢铁行业协会预计，受宏观政策和市场影响，明年同期的粗钢表观消费量比去年下降2m%，价格将比去年上涨m%，粗钢消费额将比去年减少16%，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设去年同期最多生产了x亿吨粗钢，由题意x（1+0.4%）=6.024，解方程即可．
（2）设去年粗钢表观消费量为y亿吨，价格为a吨/元．由题意y（1﹣2m%）•a（1+m%）=ay（1﹣16%），解方程即可．
【解答】解：（1）设去年同期最多生产了x亿吨粗钢．
由题意x（1+0.4%）=6.024，
解得x=6，
答：去年同期最多生产了6亿吨粗钢．
（2）设去年粗钢表观消费量为y亿吨，价格为a吨/元．
由题意y（1﹣2m%）•a（1+m%）=ay（1﹣16%），
解得m=10或﹣160（舍弃），
答：m的值为10．

24．若一个自然数各位数字左右对称，则称这样的自然数是对称数，如22，989，5665，12321…，都是对称数．
若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数．例如：17与71，132与231，5678与8765，…，都互为逆序数．
有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与这个和的逆序数相加，连续进行下去…，便可以得到一个对称数．例如：17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（1）猜想任意一个三位数与其逆序数之差能否被99整除？并说明理由．
（2）若两位自然数A按上述方式的第一个对称数是484，A的十位上的数字大于个位上的数字，求A的值．
【考点】因式分解的应用．
【分析】写出687的逆序数，求出它与原数的和，再写出它们和的逆序数，再求和直到得到对称数；
（1）任意三位数，可设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，表示出该三位数，再写出其逆序数，计算它们的差，整理后若是99的倍数，则能被99整除，否则就不能被99整除．
（2）由484先推理得出A与其逆序数的和，再得到两位自然数A的值．
【解答】解：687的逆序数是786，所以687+786=1473，
1473的逆序数是3741，所以1473+3741=5214，
5214的逆序数是4125，所以5214+4125=9339．
以687产生的第一个对称数是9339．
（1）能被99整除．理由：
若一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，
则这个三位数是100a+10b+c，其逆序数为100c+10b+a
所以100a+10b+c﹣100c﹣10b﹣a
=99a﹣99c
=99（a﹣c）
由于a、c都是整数，所以99（a﹣c）一定能被99整除，
即任意一个三位数与其逆序数之差能被99整除．
（2）因为两位数与其逆序数相加小于484，
所以484应该是一个三位数与其逆序数相加而得．
设这个三位数为（abc），则它的逆序数为（cba）
由于a+c=4，2b=8，
所以A与其逆序数的和为143或242（不是两个数的和故舍去）
设两位自然数A为10m+n，则其逆序数为10n+m
所以10m+n+10n+m=143，
即11（m+n）=143，
所以m+n=13．
又因为m＞n
所以m=7，8，9；n=6，5，4
所以两位自然数A为76或85或94．

五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．
（1）若AD=6，tan∠BCE=，求AB的长；
（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE﹣BE=EF；
（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（）2的值．
【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形．
【分析】（1）先过点D作DM⊥AB于点M，构造等腰直角三角形，求得DM=AM==6，再根据∠ABD=∠BCE，得出tan∠BCE=tan∠ABD==，求得BM=20，进而根据AB=AM+BM进行计算；
（2）在CE上截取CN=BE，连接FN，先判定△BEF≌△CFN，得出△EFN是等腰直角三角形，得到EN=EF，再根据EN=CE﹣CN，得出CE﹣BE=EF；
（3）先延长BD交AC于G，作EH⊥BF于H，设CE与BF交于I，连接GI，构造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，再设BE=a，得出BG=2a，CE=a，EH=a=HI，GI=a，并求得HF=a+a，最后在Rt△EFH中，得出EF2=（7+2）a2，计算（）2的值即可．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DM⊥AB于点M，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=45°，
∴AM=DM，
∵AD=6，
∴DM=AM==6，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°=∠ABC，
∴∠BCE+∠EBC=90，∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
∴tan∠BCE=tan∠ABD==，即，
∴BM=20，
∴AB=AM+BM=6+20=26；
（2）∵F是AB的垂直平分线上的点，
∴AF=BF，
∴∠A=∠ABF=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FBC=∠FCB，且∠ABD=∠BCE，
∴BF=CF，∠EBF=∠ECF，
如图1，在CE上截取CN=BE，连接FN，
∵BF═CF，∠EBF=∠ECF，
∴△BEF≌△CFN，
∴FN=EF，∠BFE=∠CFN，
∵∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠BFC=90°，
∴∠CFN+∠BFN=90°，
∴∠BFE+∠BFN=90°，
∴∠EFN=90°，且EF=FN，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴EN=EF，
∵EN=CE﹣CN，
∴CE﹣BE=EF；
（3）（）2=．
理由：如图2，延长BD交AC于G，作EH⊥BF于H，设CE与BF交于I，连接GI，
∵∠AFB=30°，点F是AB垂直平分线上一点，
∴∠BAF=∠ABF=75°，
∵∠BDC=75°=∠ADG，∠DAG=75°﹣45°=30°，
∴∠AGB=75°，
∴AB=GB，
∵△ABG中，∠ABD=180°﹣75°×2=30°，
∴∠GBF=75°﹣30°=45°，且∠CBE=60°，
∵CE⊥BE，
∴BE=BC=BG=EG，
∴IE垂直平分BG，即IG=IB，
∴∠BGI=∠IBG=45°，即GI⊥BI，
设BE=a，则BG=2a，CE=a，EH=a=HI，GI=a，
∵∠GFI=30°，
∴Rt△FGI中，FI=GI=a，
∴HF=a+a，
∴Rt△EFH中，EF2=EH2+HF2=（a）2+（a+a）2=（7+2）a2，
∴==．

26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，点C为抛物线的顶点，过B，C两点作直线BC，抛物线上的一点F的横坐标是﹣2，过点F作直线FG∥BC交x轴于点G．
（1）求直线BC的解析式和点G的坐标；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接PG与直线BC交于点E，连接EF，PF，当△PEF的面积最大时，在x轴上有一点R，使PR+CR的值最小，求出点R的坐标，并直接写出PR+CR的最小值；
（3）如图2，连接AD，作AD的垂直平分线与x轴交于点K，平移抛物线，使抛物线的顶点C在射线BC上移动，平移的距离是t，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别是点A′，点C′，连接A′C′，A′K，KC′，△A′KC′是否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）首先求出B、C两点坐标，即可解决直线BC的解析式，求出FG的解析式即可求出点G的坐标．
（2）如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，﹣m2+m+3），因为BC∥FG，FG是定值，所以△EFG的面积是定值，所以△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，构建二次函数，利用二次函数的性质求出点P坐标，作P关于x轴的对称点P′），连接P′C交x轴于R，此时CR+RP最小，由此即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当KA′=A′C′=AC=2时，②如图3中，当C′A′=C′K时，③当KA′=KC′时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，
∴点B坐标（3，0），
∵y=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+4，
∴顶点C坐标（，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b则有，解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+6，
∴F（﹣2，﹣5），
∵FG∥BC，
∴直线FG的解析式为y=﹣x﹣9，令y=0得到x=﹣，
∴点G坐标（﹣，0）．
（2）如图1中，过点G作y轴的平行线，过F作x轴的平行线交于点K，连接PK．设P（m，﹣m2+m+3），
∵BC∥FG，FG是定值，
∴△EFG的面积是定值，
∴△PFG的面积最大时，△PEF的面积最大，
∵S△PFG=S△PGK+S△PFK﹣S△FGK=•5•（m+2）+••（﹣m2+m+3+5）﹣•5•=﹣m2+5m+=﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴m=2时，△PFG的面积最大，即△PEF的面积最大，
∴P（2，3），
作P关于x轴的对称点P′（2，﹣3），连接P′C交x轴于R，此时CR+RP最小，最小值=CP′==2．
∵直线P′C的解析式为y=﹣x+11，y=0时，x=，
∴点R坐标为（，0）．
（3）如图2中，连接DK，DA．
∵A（﹣，0），D（0，3），
∴OA=，DO=3，
∴tan∠DAO=，
∴∠DAO=60°，
∵KA=KD，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=AK=2，K（，0），
①当KA′=A′C′=AC=2时，
∵AA′=t，
∵tan∠A′AM=tan∠ABC=，
∴可得A′M=t，AM=t，
在Rt△A′MK中，A′K2=A′M2+KM2=t2+（t+2）2，
∴t2+（t+2）2=（2）2，
解得t=或（舍弃）．
②如图3中，当C′A′=C′K时，连接CK．作KM⊥BC于M．
在Rt△BCK中，
∵•BK•CK=•CB•KM，
∴KM===，
∴CM===，
∴C′K2=KM2+C′M2=+（t+）2，
∴+（t+）2=（2）2，
解得t=或（舍弃）．
③当KA′=KC′时， t2+（t+2）2=+（t+）2，
解得t=﹣（不合题意舍弃），
综上所述，当△A′KC′为等腰三角形时，t=或．

2017年3月23日