实战演练06 立体几何中的平行问题-备战2025年高考数学（新高考卷）

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一、直线与平面平行
1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
二、平面与平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
①利用中位线证线面平行
解题技法
（1）可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；
（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
一、解答题
1．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的修正处中点．求证：DE∥平面ACF．
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与DE平行即可.
【详解】连接BD交AC于G，连接FG．
∵F、G分别为BE、BD的中点，
∴，平面ACF，DE 面，
∴平面ACF
2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在三棱柱中，为的中点，设平面与底面的交线为．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）连接与交于点O，连接，根据三角形中位线的性质可得,再根据线面平行的判定定理即可证明；
【详解】（1）证明：如图，连接与交于点O，连接
在三棱柱中，侧面为平行四边形，
所以O为的中点，
又因为点M为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
3．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明过程见解析
【分析】（1）作出，再根据线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）如图，设与交于点，连接.
因为分别为的中点，底面是菱形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为为的中点，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
②利用平行四边形证线面平行
解题技法
（1）可以拿一把直尺放在位置，如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三；
（4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四．
图一 图二 图三 图四
一、解答题
1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；
【详解】（1）证明：取的中点O，连接,，
∵，，∴且，
∵，，∴，且,
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，平面，平面，
∴平面.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.

(1)若为棱的中点，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
【详解】（1）取的中点，连接、，因为为棱的中点，
所以且，
又且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，BF⊂平面，所以平面；

3．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，⊥，且平面⊥平面.
(1)在DE上确定一点M，使得平面；
(2)若，且，求多面体的体积.
【答案】(1)点M是ED的中点
【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到四边形平行四边形，所以，从而得到线面平行；
【详解】（1）当M是ED的中点时，满足平面，理由如下：
取AD中点G，过点G作交DE于点M，则，
连接，
又由题，有，，所以，，
即四边形平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
③利用线段成比例证线面平行
一、解答题
1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据，从而得到线线平行，从而可证线面平行；
【详解】（1）由及，
可知，又，所以，
所以在中有，又平面，而平面，
所以平面；
2．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2.
(1)在图2中，证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由得到，从而，结合得到，所以，由线面平行的判定得到平面；
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
，，
又，，
又是线段上靠近端的三等分点，，
，，
平面，平面，
平面.
3．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)若为的中点，求证：平面BMD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明；
【详解】（1）
如图，连接交于点，连接，，，则为的中点，
当为的中点时，，
又平面BMD，平面BMD，所以平面BMD；
④利用线面平行的性质定理证线面平行
解题技法
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
一、解答题
1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可；
【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以，
又平面，平面，则平面，
又平面，平面平面，所以.
2．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行；
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
分别为的中点，
，
为的中点，且为矩形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
3．（2024·新疆·二模）在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与，不重合，，是线段的两个三等分点，BM=MN=ND，，．
(1)若平面COM和平面CAN的交线为，证明：l//平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）推导出OM∥AN，OM∥平面CAN，，由线面平行的性质定理可得l∥OM，由此能证明平面．
【详解】（1）证明：由已知，易得是的中点，是的中点，
∴OM∥AN，又∵AN⊂平面CAN，OM⊂平面CAN，∴OM∥平面CAN，
又∵OM⊂平面COM，平面COM∩平面CAN=l，
由线面平行的性质定理可得，l∥OM
又∵OM⊂平面，l⊂平面，∴l∥平面
⑤利用面面平行证线面平行
解题技法
已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见详解
【分析】（1）设，连接，根据题意可得∥，∥，可证平面∥平面，再利用面面平行的性质分析证明；
【详解】（1）设，连接，
因为为正方形，则为的中点，
又因为是的中点，则∥，
且平面，平面，所以∥平面，
由题意可知：四边形是平行四边形，∥，
且平面，平面，所以∥平面，
且，平面，可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．
(1)证明： ∥平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据题意可证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质分析证明；
【详解】（1）如图，取的中点，连接．
因为都是所在棱的中点，则∥，∥，
所以∥，
且平面，平面，所以∥平面．
因为分别是和的中点，则∥，，
可得∥，，可知四边形是平行四边形，则，
且平面，平面，所以∥平面，
且，平面，
所以平面∥平面，
由平面可得∥平面．
3．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接，通过证明可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明；
证法二：取的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形可得，进而利用线面平行的判定定理即可证明；
证法三：取的中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而即可得证平面.
【详解】（1）证法一：在正方形中，连接并延长，交的延长线于点，连接．
因为，分别为线段，中点，
所以，所以，
所以，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
证法二：取的中点，连接，，
因为，分别为线段，的中点，
所以，，
又因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
证法三：取的中点，连接，．
因为，分别为线段，的中点，
所以，，
又因为平面，BP⊂平面，所以平面．
因为平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面．
4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．

(1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；
【答案】(1)存在，理由见解析
【分析】（1）过作，过作一条平行的直线交于点，此时，利用线面平行的判定定理得平面AEFD、平面，再由面面平行的判定定理、性质定理可得答案；
【详解】（1）线段上存在一点，使平面．理由如下：
过作，垂足为为中点，又，
所以，过作一条平行的直线交于点，此时．
易知平面平面，所以平面AEFD．

同理平面，又，平面，
所以平面平面，平面，
所以平面，
故线段上存在一点，使平面，且；
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）在四棱锥中，平面，点在线段上，且.

(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在线段上取一点，使，连接，可证四边形为平行四边形，即可得，再利用线面平行的判定定理可证平面，根据成比例线段证得，再利用线面平行的判定定理可证平面，再结合面面平行的判定和性质即可得证；
【详解】（1）证明：在线段上取一点，使，连接.

在四边形中，，所以，即.
又，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
在三角形中，，所以.
又平面平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
又平面，所以平面.
⑥四点共面问题
一、解答题
1．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，CG=3．
(1)证明：点在平面中；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中；
【详解】（1）取中点，中点，连接，，，则，，
由正四棱柱得，，则，
又点H,Q为中点，所以，即四边形为平行四边形，
同理可得，四边形为平行四边形，所以且，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面，即点在平面中．
2．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.
(1)求证：，，，四点共面：
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，结合中位线定理得到，最后证明四点共面即可.
【详解】（1）取，的中点分别为，，连接，，
取，的中点分别为，，连接，，，
由题意知，都是等边三角形，
所以，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
因为，的中点分别为，，所以
所以，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，的中点分别为，，
所以，
所以，所以，，，四点共面；
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．
(1)证明：四点共面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论；
【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，所以且，
又由，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，则四点共面．
4．（2024·北京·三模）如图，在正方体 中，分别是棱的中点.
(1)求证：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的的三点的平面具有唯一性，即可证明；
【详解】（1）如图， 取的中点，连接，
因为分别是棱的中点，
所以，，所以，四点共面，
又，，所以，四点共面，
又因为过不共线的的三点的平面具有唯一性，
则平面与平面重合，故四点共面.
5．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．

(1)求证：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）易知，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可证明；
【详解】（1）因为平面是菱形，所以，
由平面，平面，得，
所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
，则，
由，得，
所以，
则，所以共面，
又直线的公共点为，所以四点共面；
①利用中位线证线面平行
②利用平行四边形证线面平行
③利用线段成比例证线面平行
④利用线面平行的性质定理证线面平行
⑤利用面面平行证线面平行
⑥四点共面问题
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线