实战演练05 导数中构造函数的妙用（4大常考点归纳）-备战2025年高考数学（新高考卷）

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一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数
1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
3.常见的构造函数有
（1）与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
二、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
对于，构造．
模型11.（1） （2）
①构造函数比较大小
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合的特征，构造函数，利用其单调性即可比较大小.
【详解】构造函数，，则，
令解得；令，解得；
可得在上单调递增，在上单调递减，
，，且，
，即，就是.
故选：C．
2．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断.
【详解】当时，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
也就是说当时，，
用代替，可得，即，
所以，即．
又知，所以，所以．
故选：A
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，，，设a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较．
【详解】解：构造函数，则，
当时，，函数在上为减函数，
而，，，又，
所以，即，
故选：A
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数说明它在内单调递增即可得解.
【详解】构造函数，，
当时，，单调递增，
所以，.
故选：A.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】令，，则，
令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故.
令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过指数函数、幂函数的单调性得，，再构造函数，通过导数判断单调性即可得.
【详解】由题意，令，则在上单调递增，
所以，
令，则在上单调递增，
所以，
因为，
令，则，
令，则，单调递增；
令，则，单调递减；
所以，则，
故，
综上所述，即.
故选：C.
7．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.
【详解】令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，
而，
令，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，所以，
,
令，
则，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，所以，
综上所述，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键.
8．（2024·福建南平·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解.
【详解】设函数，又，
所以当时，0，
所以在区间内单调递增，又，
所以当时，0恒成立，即，
所以当时， ，即，
所以，
所以．即；
设，
而，
设，则，
当时，单调递增，所以，
所以当时，，即当时单调递增，
所以，故当时，单调递增，所以，
即，所以，
即，即．
综上，，
故选：B．
【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系.
②构造函数解不等式
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集.
【详解】由，可得，
令，结合，则，
所以在R上递减，故，
则原不等式解集为.
故选：A
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
3．（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集.
【详解】由题意知，当时，，
令，则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，解得.
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，对求导并判断函数的单调性与奇偶性，分与两种情况求出不等式的解集，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，设函数，
则其导数，
又由当时，，则有，
即当时，函数为增函数，
又由，则函数为偶函数，
由当时，函数为增函数，则时，函数是减函数，
因为，所以，
故时，由，得：，解得：，
时，由，得：，解得：，则
成立的的取值范围是：．
故选：C．
5．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解.
【详解】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式.
二、填空题
6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【分析】构造，利用导数得在上单调递增，把转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题设条件，构造函数，判断其单调性，将所求不等式整理成，利用的单调性即可解得.
【详解】令，则
因为当时，，即
所以当时，单调递减，
由不等式可得，
即,故有，解得：，
即不等式的解集为.
故答案为：.
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由已知得出为偶函数，且在上是增函数，在上为减函数，将转化为求解即可．
【详解】令，则，
当时，，
所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，
所以，又，
所以是偶函数，所以在上递减，
所以，
即不等式等价为，
所以，所以．
故答案为：．
③构造函数求最值（范围）
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若存在正实数满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】构造同构函数利用的单调性求解参数的最大值.
【详解】正实数满足，则，
所以令，则，
设，，，
易知在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，即，又因为，
故，所以，
所以，则，则，令，，，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以故的最小值为.
故选：A
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则，
由题意可得：，
整理可得，即，
又因为在内单调递减，则在内单调递减，
可得，则，
构建，可得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以的最小值为.
故选：B.
3．（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围.
【详解】不妨设，
由，得，
即，两边同时除以，得，
令，即，所以函数在区间上单调递减，
，即恒成立，
所以，上恒成立，函数在区间上单调递减，
所以的最大值为1，
所以.
故选：B
4．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，得到，关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】令，则，，
，，所以，
若，则，
，有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
即的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
5．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以在上单调递增.
则不等式等价于恒成立.
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立.
设，可得，
当单调递增,当单调递减．
所以有最大值，于是，解得．
故选：B
【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果.
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而.
【详解】，，且，
两边加上得，，
设，则，所以单调递增，
，即，
令，则，
的定义域是，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值即为最大值，，
，.
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解.
④构造函数证明不等式
一、解答题
1．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)的单调递减区间为；单调递增区间为；
(2)．
【分析】（1）利用导数即可判断函数的单调区间；
（2）转化为恒成立问题，构造函数，求导，对分类讨论，研究正负判断的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，
当时，，当时，．
所以的单调递减区间为；单调递增区间为
（2）因为对任意恒成立．设．
所以．
分类：①当时，，知在单调递增，
所以，不成立．
②当时，，知在单调递减，所以成立．
③当时，令．
所以．
（ⅰ）若即时，，知在单调递减，所以，
所以，所以在单调递减，所以对任意时，成立．
（ⅱ）若即时，由可得，所以当时，，
于是，在单调递增，所以对任意时，，所以，
所以在单调递增，所以对任意时，恒成立．
综上所述：的取值范围是．
2．（2024·广西·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，求的取值范围.
【答案】(1)的极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求导函数的零点，即为的极值点，然后解不等式，，确定极大值和极小值；
（2）构造函数，将恒成立问题转化为最值问题，在求最值过程中，注意对参数a的分类讨论.
【详解】（1），得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）对任意，即，
设，
①当时，在单调递增，单调递增，
，成立；
②当时，令在单调递增，
在单调递增，
，成立；
③当时，当时，单调递减，
单调递减，
，不成立.
综上可知.
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性；
（2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值.
【详解】（1）因为定义域为，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）因为，所以，
所以，即
令，则有，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以原式
设，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以所求最小值为.
5．（2024·四川绵阳·三模）设.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导后代入点的横坐标求出切线斜率，再把点的横坐标代入求出纵坐标，最后由点斜式写出直线方程即可；
（2）用导数求出，把问题转化为设，即证：在上恒成立，求导后构造函数，再求导后得到在恒成立，从而得到在上单调递增，即可证明.
【详解】（1）当时，，
，
，
又，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要证，即证，
只需证，
设，即证：在上恒成立，
则，
令，
所以，
令，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以在恒成立，则在上单调递增，
所以，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：
（1）第一问用导数求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可；
（2）第二问证明函数不等式恒成立，求导判断函数的最小值，最小值大于不等式右边即可，当一次求导无法判断时，通常二次求导.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，讨论的极值；
(2)若是的两个不同的零点，求证：．
【答案】(1)有极大值，无极小值．
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数可知某点处的切线斜率，由两直线垂直可知斜率乘积为，便可以求出参数，再利用导数的正负来分析原函数的单调性即可得到答案；
（2）关键在于利用已知条件，对称性，转化为参数的表达式，再对原不等式中的参数进行等量代换，通过系列的等价变形，可以构造双变量为单变量的不等式，从而构造函数进行求导分析最值来进行证明.
【详解】（1）由求导得：，
当时，，
根据导数的几何意义求知曲线在点处的切线斜率为，
因为该切线与直线垂直，由斜率之积为得：，
解得，所以，
因为的定义域为，所以由可解得（舍去）或，
即当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
即有极大值，无极小值．
（2）因为是的两个不同的零点，
所以，，
两式相减可得，故，
，
不妨设，则， 根据上式可知，
要证，只需证明，即证．
设，
则，
在上单调递减，，
故．
【点睛】方法点睛：
（1）研究函数的极值时，一般需要对原函数进行求导，利用导函数的正负来分析原函数的单调性，从而可得到极值；
（2）证明多变量不等式时，需要利用相等条件消去参变量，再对不等式进行等价变形转化为单变量的不等式，从而构造函数通过求导分析其最值进行证明.
7．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解；
（2）首先由，转化为，，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围.
【详解】（1）函数有三个极值点
则有三个不等实根
即方程有三个不等实根，
令，则，
由得，由得或
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以
（2）由（1）知，，
所以，令，则，
令，则
令，则，
即，，故
在上单调递增，所以.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围.
8．（2024·青海·一模）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性及最值，即可求解；
（2）的零点满足，要证，即证，通过设函数，然后求导判断函数在上的单调性，可得，结合函数在的单调性即可证明.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，且，
对于，有在上恒成立，即递减，
所以，即在上恒成立，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在时单调递减，
所以当时，函数有最大值，，所以，
即，所以的取值范围为；
（2）不妨设，由（1）知，即，令，
构造，且，
所以
，
令，则，
当时，，递减，故，
所以时，单调递减，故，
即在上，所以，
又，所以，即，
由（1）知在上单调递减，所以，故得证.
①构造函数比较大小
②构造函数解不等式
③构造函数求最值（范围）
④构造函数证明不等式