实战演练01 抽象函数的性质（7大常考点归纳）-备战2025年高考数学（新高考卷）

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一、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
①抽象函数求值
解题技法
抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=⋯ ,−2,−1,0,1,2⋯ 等特殊值求抽象函数的函数值.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．0C．4D．
二、填空题
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，，则 ， .
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则
5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，满足 ，且，，则 .
6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 .
②抽象函数的单调性与抽象不等式
解题技法
（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数.
（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.
一、单选题
1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·吉林通化·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A．B．0C．1D．2
三、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 .
③抽象函数的奇偶性
解题技法
抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简.
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．B．14C．D．7
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
二、多选题
5．（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．单调递增
6．（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
三、解答题
7．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
④抽象函数的对称性
解题技法
（1）若函数y=fax+b为偶函数，则函数图象关于直线x=b对称；若函数y=fax+b为奇函数，则函数图象关于点b,0对称.
（2）若函数fx在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数fx的图象关于直线x=a对称⇔ 导函数f′x的图象关于点a,0对称；②函数fx的图象关于点a,fa对称⇔ 导函数f′x的图象关于直线x=a对称.
一、多选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（ ）
A．B．关于对称C．D．为减函数
2．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
3．（2024·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（ ）
A．B．无最小值
C．D．的图象关于点中心对称
4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．的图象关于中心对称
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．
二、单选题
6．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
7．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
⑤抽象函数的周期性
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为R的函数满足，当时，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024B．C．D．0
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．3
6．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数满足：，，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数
B．
C．
D．图象的一个对称中心为
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）函数满足，且，则 ．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
9．（2023·云南昆明·模拟预测）定义在上的函数满足：，对任意，，则 .
⑥抽象函数结合导数的应用
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．D．
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数及其导函数，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．函数是周期函数D．
8．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
⑦抽象函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2B．C．0D．
2．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1B．0C．1012D．2024
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知定义在R上的函数恒大于0，对，，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．是奇数D．有最小值
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
6．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．函数的图象关于直线对称D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012B．2024C．D．
10．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2D．
二、多选题
11．（23-24高三上·福建福州·阶段练习）已知函数是上的偶函数，对于任意的，都有成立，当且时，都有则下列命题中，正确的为（ ）
A．
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．函数在上为增函数
D．函数在上有四个零点
12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
13．（2024·新疆喀什·三模）已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
14．（2024·新疆·三模）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是
A．B．
C．为奇函数D．
15．（2024·河南·一模）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．D．
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数满足：对，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024·安徽合肥·三模）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．B．
C．D．
①抽象函数求值
②抽象函数的单调性与抽象不等式
③抽象函数的奇偶性
④抽象函数的对称性
⑤抽象函数的周期性
⑥抽象函数结合导数的应用
⑦抽象函数性质的综合应用