实战演练03 导数中最常考的切线问题（5大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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一、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
二、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
三、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
①求在曲线上一点的切线方程
一、填空题
1．（2024·山西·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 .
2．（2024·河北承德·二模）函数在处的切线的斜率为 .
3．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 ．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 .
5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线的斜率为2，且与曲线相切，则的方程为 .
6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函数的图象在处的切线斜率为1，则 ．
7．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则 .
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线的所有切线中斜率最小的切线方程为，则 ．
②求过某一点的切线方程
一、填空题
1．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 .
2．（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 .
3．（2024·四川自贡·一模）若曲线的一条切线为，则 .
4．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 ，切线方程为
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
③有一个切点的公切线
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
3．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 .
4．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则= .
6．（23-24高三上·江西·阶段练习）若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为 .
④有两个切点的公切线
一、填空题
1．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 .
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
3．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为 ；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是 ．
二、单选题
4．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
⑤公切线的条数问题
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
4．（2024高三下·山东烟台·期末）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（ ）
A．无论a取何值，两曲线都有公切线
B．若两曲线恰有两条公切线，则
C．若，则两曲线只有一条公切线
D．若，则两曲线有三条公切线
三、填空题
5．（23-24高三上·江苏常州·开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ．
6．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
①求在曲线上一点的切线方程
②求过某一点的切线方程
③有一个切点的公切线
④有两个切点的公切线
⑤公切线的条数问题