重庆市垫江五中学2023年八年级数学第一学期期末复习检测模拟试题【含解析】

这是一份重庆市垫江五中学2023年八年级数学第一学期期末复习检测模拟试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列根式中不是最简二次根式的是，在实数，，，，，中，无理数有，下列运算错误的是，某小组名学生的中考体育分数如下等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在中，按一下步骤作图：①分别以为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点；②作直线交于点，连接.若，，则（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
2．如图1、2、3中，点、分别是正、正方形、正五边形中以点为顶点的相邻两边上的点，且，交于点，的度数分别为，，，若其余条件不变，在正九边形中，的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．已知：如图，四边形中，，．在边上求作点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A．B．C．D．
6．在实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如果一次函数y=-kx+8中的y随x的增大而增大，那么这个函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）
A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2
9．下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．某小组名学生的中考体育分数如下：，，，，，，，该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．定义表示不大于的最大整数、，例如，，，，，，则满足的非零实数值为_______．
12．随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示是_______。
13．分解因式：ab2﹣4ab+4a= ．
14．观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
15．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝_____．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点O是AB的中点，边AC＝6，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点0旋转，始终保持三角板的直角边与AC相交，交点为点E，另条直角边与BC相交，交点为D，则等腰直角三角板的直角边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE的长度之和为_____．
17．规定，若，则x的值是_____．
18．在等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠B=_______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）4月23日是世界读书日，总书记说:“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人滋养浩然正气．”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了．部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
(1)这次共调查的学生人数是 人，
(2)所调查学生读书本数的众数是___本，中位数是__本
(3)若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本?
20．（6分）分解因式:
21．（6分）已知为等边三角形，点为直线上一动点(点不与点、点重合)．连接，以为边向逆时针方向作等边，连接，
（1）如图1，当点在边上时：
①求证：；
②判断之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，判断之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点在边的反向延长线上时，其他条件不变，请直接写出之间存在的数量关系为 ．
22．（8分）已知，如图：长方形ABCD中，点E为BC边的中点，将D折起，使点D落在点E处．
（1）请你用尺规作图画出折痕和折叠后的图形．（不要求写已知，求作和作法，保留作图痕迹）
（2）若折痕与AD、BC分别交于点M、N，与DE交于点O，求证△MDO≌△NEO．
23．（8分）计算：
（1）;
（2）
24．（8分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
25．（10分）如图，在中，，点是直线上一点.

(1)如图1，若，点是边的中点，点是线段上一动点，求周长的最小值.
(2)如图2，若，，是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段的长度：若不存在，请说明理由.
26．（10分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出∠DAB=∠ABD，由等腰三角形的性质求出∠CDB=∠CBD=70°，进而结合三角形外角的性质进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD，
∵DC=BC，
∴∠CDB=∠CBD，
∵，∠C=40°，
∴∠CDB=∠CBD=70°，
∴∠A=∠ABD=35°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及线段垂直平分线的作法与性质，正确得出∠DAB=∠ABD是解题关键．
2、C
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60，证△ABE≌△BCD，推出∠BAE＝∠CBD，根据三角形的外角性质推出∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠ABC＝60，同理其它情况也是∠APD等于其中一个角；正四边形时，同样能推出∠APD＝∠ABC＝90，正五边形时，∠APD＝∠ABC＝＝108，正六边形时，∠APD＝∠ABC＝＝120，依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝，故可求解.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60，
∵在△ABE和△BCD中
，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE＋∠ABD＝∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60，
即∠APD＝60，
同理：正四边形时，∠APD＝90=，
∴正五边形时，∠APD＝∠ABC＝＝108，
正六边形时，∠APD＝∠ABC＝＝120，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC＝，
∴正九边形中，的度==
故选C.
【点睛】
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和理解能力，能根据题意得出规律是解此题的关键．
3、B
【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．
【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．
∵CD=2AD，
∴DD'=CD，
∴∠DCD'=∠DD'C．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED'是矩形，
∴DD'∥EC，D'E=AB=3，
∴∠D'CE=∠DD'C，
∴∠D'CE=∠DCD'．
∵∠DCB=10°，
∴∠D'CE=30°，
∴D'C=2D'E=2AB=2×3=1，
∴PC+PD的最小值为1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．
4、C
【详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．=2，故不是最简二次根式．故选C
5、A
【解析】两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得：x+y＞0，
故选A．
6、B
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无线不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
【详解】解：，，
无理数有：π，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是无理数的知识，掌握无理数的形式是解题的关键．
7、D
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=-kx+8中，y随x的增大而增大，且b=8>0，
∴此函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，关键在于根据一次函数的增减性判断出k的正负．
8、D
【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．
【详解】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．
∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=1，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；
当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=1，即D（0，1），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：，解得：．
则这条直线解析式为y=﹣x+1．
故选D．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键．
9、C
【分析】根据负整数指数幂，逐个计算，即可解答．
【详解】A. ，正确，故本选项不符合题意；
B. ，正确，故本选项不符合题意；
C. ，错误，故本选项符合题意；
D. ，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数．
10、B
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】将数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选B．
【点睛】
本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设x=n+a，其中n为整数，0≤a＜1，则[x]=n，{x}=x-[x]=a，由此可得出2a=n，进而得出a=n，结合a的取值范围即可得出n的取值范围，结合n为整数即可得出n的值，将n的值代入a=n中可求出a的值，再根据x=n+a即可得出结论．
【详解】设，其中为整数，，则，，
原方程化为：，
．
，即，
，
为整数，
、．
当时，，此时，
为非零实数，
舍去；
当时，此时．
故答案为：1.1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及解一元一次不等式，读懂题意熟练掌握新定义是解题的关键．
12、3.4×10-6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000034m=3.4×10-6，
故答案为：3.4×10-6
【点睛】
此题考查科学记数法，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13、a（b﹣1）1．
【解析】ab1﹣4ab+4a
=a（b1﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
=a（b﹣1）1．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为a（b﹣1）1．
14、
【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
15、35°
【分析】根据折叠的性质得到∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED＝140°，由三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠CE A′+2∠AED＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝=145°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
16、1．
【分析】连接OC，证明△OCD≌△OBE，根据全等三角形的性质得到CD=BE即可解决问题；
【详解】连接OC．
∵AC＝BC，AO＝BO，∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，OC⊥AB，∠A＝∠B＝45°，
∴OC＝OB，
∵∠BOD+∠EOD+∠AOE＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠BOD+∠AOE＝90°，
又∵∠COE+∠AOE＝90°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△OCE和△OBD中，
，
∴△OCE≌△OBD（ASA），
∴CE＝BD，
∴CE+CD＝BD+CD＝BC═AC＝1．
故答案为：1．
点睛】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17、
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【详解】∵，
根据题意得到分式方程：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．注意解分式方程需检验．
18、350
【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质即可求出底角.
【详解】∵在等腰三角形中，∠A=110°＞90°，∴∠A为顶角，
∴∠B=
故答案为：35°.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，要注意钝角只能是等腰三角形的顶角.
三、解答题(共66分)
19、（1）20；（2）4，4；（3）估计该校学生这学期读书总数约是3600本．
【分析】（1）将条形图中的数据相加即可；
（2）根据众数和中位数的概念解答即可；
（3）先求出加权平均数，再利用样本估计总体即可．
【详解】解：（1）1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20，
∴这次共调查的学生人数是20人，
故答案为：20；
（2）读书4本的人数最多，故众数是4；
按读书本数从小到大的顺序排列后，第10、11的平均数为：，故中位数是4，
故答案为：4；4；
（3）每人读书本数的平均数＝（1＋2×1＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8）÷20＝4.5，
∴总数是：800×4.5＝3600，
答：估计该校学生这学期读书总数约是3600本．
【点睛】
本题考查条形统计图、中位数、众数、加权平均数以及用样本估计总体，解题的关键是能够从统计图中获取有用信息．
20、
【分析】根据提取公因式法和公式法即可因式分解.
【详解】
=
=
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.
21、（1）①见解析；②AC=CE+CD；（2）CE=AC+CD，证明见解析；（3）CD=CE+AC．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出AC=BC=CD+CE；
（2）同（1）先证明△ABD≌△ACE，从而可得出BD=BC+CD=AC+CD=CE；
（3）同（1）先证明△ABD≌△ACE，从而可得出CE+AC=CD．
【详解】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，
∴AC=CE+CD，
故答案为：AC=CE+CD；
（2）AC+CD=CE．证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=AC+CD；
（3）DC=CE+BC．证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵CD=BD+BC，
∴CD=CE+AC．
故答案为：CD=CE+AC．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22、（1）图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）作DE的垂直平分线分别交AD和BC于点M、N，MN即为折痕，再以E为圆心，CD的长为半径作弧，以N为圆心，NC的长为半径作弧，两弧交于点C′，四边形MEC′N即为四边形MDCN折叠后的图形；
（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，从而得出∠MDO=∠NEO，然后根据垂直平分线的定义可得DO=EO，最后利用ASA即可证出结论．
【详解】解：（1）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧分别交于点P、Q，连接PQ，分别交AD和BC于点M、N，连接ME和DN，此时MN垂直平分DE，MN即为折痕；
再以E为圆心，CD的长为半径作弧，以N为圆心，NC的长为半径作弧，两弧交于点C′，四边形MEC′N即为四边形MDCN折叠后的图形；
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC
∴∠MDO=∠NEO
∵MN垂直平分DE
∴DO=EO
在△MDO和△NEO中
∴△MDO≌△NEO
【点睛】
此题考查的是作折叠图形、矩形的性质和全等三角形的判定，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线、矩形的性质和全等三角形的判定是解决此题的关键．
23、（1）1；（2）
【分析】（1）根据整数指数幂的运算法则先化简各项，同时化简绝对值，再加减可得解；
（2）先化简各二次根式，再进行计算.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，也考查了负指数幂和0次幂，熟练掌握计算法则是解题关键.
24、（1）该种干果的第一次进价是每千克5元.（2）超市销售这种干果共盈利5820元．
【详解】试题分析：（1）、设第一次进价x元，第二次进价为1.2x，根据题意列出分式方程进行求解；（2）、根据利润=销售额－进价.
试题解析：（1）、设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）、[﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
考点：分式方程的应用.
25、（1）；（2）存在，CD=1或8或或．
【分析】（1）本小题是典型的“将军饮马”问题，只要作点C关于直线AB的对称点E，连接BE、DE，DE交AB于点M，如图1，则此时的周长最小，且最小值就是CD+DE的长，由于CD易求，故只要计算DE的长即可，由轴对称的性质和等腰直角三角形的性质可得BE=BC=2，∠DBE=90°，然后根据勾股定理即可求出DE，问题即得解决；
（2）由于点是直线上一点，所以需分三种情况讨论：①当AB=AD时，如图4，根据等腰三角形的性质求解即可；②当BD=BA时，如图5，根据勾股定理和等腰三角形的定义求解；③当DA=DB时，如图6，设CD=x，然后在直角△ACD中根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）作点C关于直线AB的对称点E，连接BE、DE，DE交AB于点M，连接CM，如图1，则此时的周长最小．
∵，，点是边的中点，∴∠CBA=45°，BD=CD=1，
∵点C、E关于直线AB对称，∴BE=BC=2，∠EBA=∠CBA=45°，∴∠DBE=90°，
∴．
∴的周长的最小值=CD+DE=；
（2）由于点是直线上一点，所以需分三种情况讨论：
①当AB=AD时，如图4，此时CD=CB=8；

②当BD=BA时，如图5，在直线BC上存在两点符合题意，即D1、D2，
∵，∴，；
③当DA=DB时，如图6，此时点D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，设CD=x，则BD=AD=8－x，在直角△ACD中，根据勾股定理，得：，解得：x=1，即CD=1．
综上，在直线BC上存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，且CD=1或8或或．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、两线段之和最小、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
26、（1）甲种款型的T恤衫购进1件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）售完这批T恤衫商店共获利4700元．
【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据单价=总价÷数量结合甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出购进甲、乙两种款型T恤衫的单价，再根据利润=销售收入-成本，即可求出结论．
【详解】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，
根据题意： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1．
答：甲种款型的T恤衫购进1件，乙种款型的T恤衫购进40件．
（2）6400÷40=11（元），11-30=130（元），
∴130×（1+50%）×1+11×（1+50%）×40×+11×（1+50%）××40×-7800-6400=4700（元）．
答：售完这批T恤衫商店共获利4700元．
【点睛】
此题考查分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据数量关系，列式计算．