郑州市重点中学2023-2024学年数学八上期末教学质量检测试题【含解析】

这是一份郑州市重点中学2023-2024学年数学八上期末教学质量检测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了分式方程＝的解为，在平面直角坐标系中，点等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列计算中正确的是( )
A．÷＝3B．＋＝C．＝±3D．2－＝2
2．（2015秋•孝感月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a+5）（a﹣5）=a2﹣25
B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2﹣1=a2+2ab+b2﹣1
D．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5
3．一个三角形的三条边长分别为，则的值有可能是下列哪个数（ ）
A．B．C．D．
4．分式方程＝的解为( )
A．x＝2B．x＝－2C．x＝－D．x＝
5．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A．2，3，4B．7，24，25C．8，12，20D．5，13，15
6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A．15，16B．15，15C．15，15.5D．16，15
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（ ）
A．3B．3.3C．4D．4.5
8．一个三角形的两边长为3和9，第三边长为偶数，则第三边长为（ ）
A．6或8B．8或10C．8D．10
9．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）
10．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．化简_______．
12．定义表示不大于的最大整数、，例如，，，，，，则满足的非零实数值为_______．
13．在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝2x+1 的图象经过 P1（-1，y1），P2（2，y2）两点， 则 y1_____y2（填“＞”或“＜”或“＝”）
14．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a＋b），宽为（a＋b）的长方形，则需要A类卡片_____张，B类卡片_____张，C类卡片_____张．
15．计算：的结果是_____.
16．若实数x，y满足y＝+3，则x+y＝_____．
17．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=16，BC=12，△ABC的面积为70，则DE=_________
18．如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CE∥OA，若CD＝6，则CE＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知，如图所示，在中，．
（1）作的平分线交于点；
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．)
（2）若，，求的长．
20．（6分）在平面直角坐标系中，有点，．
（1）若线段轴，求点、的坐标；
（2）当点到轴的距离与点到轴的距离相等时，求点所在的象限．
21．（6分）在△ABC中，CA=CB=3，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？
（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请直接写出α的度数．
22．（8分）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝38º，求∠DCB的度数；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△BCD的面积．
23．（8分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现如图1，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S1．则S1与S1的数量关系是 ．
（1）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
24．（8分）如图，在⊿中，,于, .
⑴.求的长；
⑵.求 的长.
25．（10分）按要求完成下列各题
（1）计算：
（2）因式分解：
（3）解方程：
（4）先化简，再求值：，其中．
26．（10分）如图，点在线段上，，，．平分．求证：（1）；
（2） .
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据合并同类二次根式对B、D进行判断；二次根式的性质对C进行判断；
【详解】解：A. ÷＝，所以A选项正确；
B.与不是同类二次根式不能合并，所以B选项不正确；
C. ＝3，故C选项不正确；
D. 2－＝，所以D选项不正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
2、B
【解析】试题分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
考点：因式分解的意义．
3、B
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，从而得出结果．
【详解】解：根据题意得：7-4＜x＜7+4，
即3＜x＜11，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，关键是理解如何根据已知的两条边求第三边的范围．
4、B
【详解】去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则分式方程的解为.
故选B.
【点睛】
此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．
5、B
【解析】试题解析：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；
B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形；
C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；
D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．
故选B．
6、C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为=15.5岁，
故选：C．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
7、A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，
解得，BD＝5，
∴CD＝8﹣5＝3，
∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，
∵P是BD的中点，
∴S△PBC＝S△BCD＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
8、B
【分析】根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．
【详解】解：设第三边长为x，
有，解得，即；
又因为第三边长为偶数，则第三边长为8或10；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形中的三边关系，掌握：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
9、C
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．
故选C．
【点睛】
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
10、C
【解析】分析：利用三角形的稳定性解答即可.
详解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；
而C选项中，拉闸门是用到了四边形的不稳定性.
故选C.
点睛：本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；首先，明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形；
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
12、
【分析】设x=n+a，其中n为整数，0≤a＜1，则[x]=n，{x}=x-[x]=a，由此可得出2a=n，进而得出a=n，结合a的取值范围即可得出n的取值范围，结合n为整数即可得出n的值，将n的值代入a=n中可求出a的值，再根据x=n+a即可得出结论．
【详解】设，其中为整数，，则，，
原方程化为：，
．
，即，
，
为整数，
、．
当时，，此时，
为非零实数，
舍去；
当时，此时．
故答案为：1.1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，以及解一元一次不等式，读懂题意熟练掌握新定义是解题的关键．
13、＜
【分析】根据函数的增减性即可得出答案.
【详解】∵一次函数 y＝2x+1，k=2＞0
∴y随x的增大而增大，
∵-1＜2
∴y1＜y2
故填：＜.
【点睛】
本题考查一次函数的增减性，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
14、2 1 1
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【详解】解：长为2a＋b，宽为a＋b的矩形面积为(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋1ab＋b2，
∵A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片1张．
故答案为：2；1；1．
【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
15、
【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.
【详解】
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为+2.
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
16、1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后相加即可得解．
【详解】解：根据题意得，5﹣x≥0且x﹣5≥0，
解得x≤5且x≥5，
∴x＝5，
y＝3，
∴x+y＝5+3＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等零时有意义是解题的关键.
17、5
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线定理得到DF=DE，根据图形可知，再利用三角形面积公式即可解答.
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE


∴
故答案为：5
【点睛】
本题考点涉及角平分线定理和三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题关键.
18、1
【分析】根据角平分线的性质得出CF＝CD＝6，根据平行线求出∠CEF，再根据含30°角的直角三角形的性质得出即可．
【详解】解：过C作CF⊥OB于F，
∵∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CD＝6，
∴CF＝CD＝6，
∵CE∥OA，
∴∠CEF＝∠AOB＝15°+15°＝30°，
∵∠CFE＝90°
∴CE＝2CF＝2×6＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，灵活的利用角平分线上的点到角两边的距离相等添加辅助线是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）答案见解析；（2）1
【解析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤，画出图形即可；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，先证明DE=DC=6，BC=BE，再根据AD=10，求出AE，设BC=x，则AB=x+8，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】（1）作图如下：
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DE=DC=6，
∵AD=10，
∴AE=，
∵∠DBC=∠DBE，∠C=∠BED=90°，BD=BD，
∴∆DBC≅∆DBE（AAS），
∴BE=BC，
设BC=x，则AB=x+8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162=(x+8)2，
解得：x=12，
∴AB=12+8=1．
【点睛】
本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理以及勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列方程，是解题的关键．
20、（1）点A（1，3），B（4，3）；（2）第一象限或第三象限．
【分析】（1）由AB∥x轴知纵坐标相等求出a的值，再得出点A，B的坐标即可；
（2）根据点B到y轴的距离等于点A到x轴的距离得出关于a的方程，解之可得；
【详解】解：（1）∵线段AB∥x轴，
∴2a-1＝3，
解得：a＝2，
∴点A（1，3），B（4，3）；
（2）∵点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等时，
∴|a+2|＝3，
解得：a＝1或a＝-5，
∴点B的坐标为（3，1）或（-3，-11），
∴点B所在的位置为第一象限或第三象限．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的性质，重点在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系．
21、（1）直角三角形，理由见解析；（2）当AP=3时，△ADP≌△BPC，理由见解析；（3）当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形
【分析】（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）当AP=3时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA=CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α=∠APD，根据AP=BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．
【详解】（1）当PN∥BC时，∠α=∠NPM=30°，
又∵∠ACB=120°，
∴∠ACP=120°-30°=90°，
∴△ACP是直角三角形；
（2）当AP=3时，△ADP≌△BPC，
理由为：∵∠ACB=120°，CA=CB，
∴∠A=∠B=30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC=∠B+α=30°+α，
∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，
∴∠APD=α，
又∵AP=BC=3，
∴△ADP≌△BPC；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，
①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠PDC==75°，即120°-α=75°，
∴∠α=45°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，
∴α=90°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30°，
∴∠PCD=180°-2×30°=120°，
即120°-α=120°，
∴α=0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22、（1）∠DCB=19° ；（2）S⊿BCD
【分析】（1）由等腰三角形两底角相等求出∠B，再由直角三角形两锐角互余即可求出∠DCB的度数；
（2）先由勾股定理求得AD的长，进而求得BD长，再利用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）∵AB=AC，∠A=38° ，
∴∠B=71°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB=19° ；
（2）∵CD⊥AB ，
∴∠CDA=90°，
∵AC＝AB=5，CD＝3 ，
∴由勾股定理解得：AD=4 ，
∴BD=1 ，
∴S⊿BCD=．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式，属于三角形的基础题，熟练掌握三角形的相关知识是解答的关键．
23、解：（1）①DE∥AC．②．（1）仍然成立，证明见解析；（3）3或2．
【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC是等边三角形．
∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE∥AC．
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．
∵∠C=90°，∠B =30°
∴AB=1AC．
又∵AD=AC
∴BD=AC．
∵
∴．
（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中， ，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S1；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF1⊥BD，
∵∠ABC=20°，F1D∥BE，
∴∠F1F1D=∠ABC=20°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F1DB=90°，
∴∠F1DF1=∠ABC=20°，
∴△DF1F1是等边三角形，
∴DF1=DF1，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×20°=30°，BG=BC=，
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF1=320°-150°-20°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF1，
∵在△CDF1和△CDF1中，
，
∴△CDF1≌△CDF1（SAS），
∴点F1也是所求的点，
∵∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×20°=30°，
又∵BD=3，
∴BE=×3÷cs30°=3，
∴BF1=3，BF1=BF1+F1F1=3+3=2，
故BF的长为3或2．
24、（1）25（2）12
【解析】整体分析：
（1）用勾股定理求斜边AB的长；（2）用三角形的面积等于底乘以高的一半求解.
解：(1).∵在⊿中，，.
∴，
(2).∵⊿，
∴即，
∴20×15＝25CD.
∴.
25、（1）；（2）；（3）1.5；（4）；．
【分析】（1）先算乘方和乘法，最后合并同类项即可；
（2）先提取公因式，然后再运用公式法分解因式即可；
（3）先通过去分母化成整式方程，然后再解整式方程，最后检验即可；
（4）先运用分式的运算法则化简，最后将a=2代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）去分母得：1-(x-2)＝x
解得：x＝1.5
经检验x＝1.5是原分式方程的根，
所以，分式方程的解为x＝1.5；
（4）原式
当时，原式．
【点睛】
本题考查了整式的四则混合运算、因式分解、解分式方程和分式的化简求值，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
26、 (1)见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．
试题解析：
∵，
∴，
在和中
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴．
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
5
3
2
1