中考数学一轮复习专题1.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型（北师大版）（解析版），共42页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七大类型的理解！
【类型1 平面图形上的“捷径”问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【详解】在RtΔABC中，由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=172−82=15（米)，
∴AC+BC−AB=15+8−17=6（米)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．

【答案】4
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】解：依据题意可得：∠C=90°，AC=3m，BC=4m，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5m，
∴少走了3+4−5=2m，
∵2步为1米，
∴2×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批发部B ．小商店主人每次进货都沿着 A—O—B路线到达 B处，然后原路返回．已A,B两处距十字 路口 O的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走 米．
【答案】800
【分析】连接AB，由勾股定理解得AB=1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原来走的路线往返一趟需要走2800米，据此求出差即可解答．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=6002+8002=1000，
根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，
原来走的路线往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，
最近路线比原来路线少走2800-2000=800米，
故答案为：800．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
4．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m．技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．

(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
【答案】(1)6m
(2)114m2
【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出AC=AB2+BC2=92+122=15m，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）如图，连接AC，

∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15m，
∴AB+BC−AC=9+12−15=6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
（2）∵CD=17m，AD=8m．AC=15m，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴S△DAC=12AD⋅AC=12×8×15=60（m2）， S△ACB=12AB⋅AC=12×9×12=54（m2），
∴S四边形ABCD=60+54=114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（A→B→C），为方便学生进入教学楼，学校打开了操场绿色通道（A→C）进行分流，学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼，若AB＝80米，BC＝60米，则走“捷径AC”可以少走多少米？
【答案】走“捷径AC”可以少走40米．
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=80米，BC=60米，
∴AC=AB2+BC2=802+602=100（米)，
AB+BC−AC=60+80−100=40（米)，
答：走“捷径AC”可以少走40米．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意求出AC的长．
【类型2 平面图形上的“饮水”问题】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2=120．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，则A'B为所求，最后利用勾股定理可求得其值．
【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，
∴BE2=AB2−AE2=39．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，
∴A′B=A′E2+BE2=8．
所以AM+NB的最小值为8．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置是解答本题的关键．
2．（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行7km到达点C．则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD=DC2+BC2=152+82=17，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
3．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
【答案】(1)见解析
(2)100000元
【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接BE，与CD的交点的位置就是修建水厂的位置
（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可
【详解】（1）如图，作点A的对称点E，连接BE，交CD于点P，点P的位置就是修建水厂的位置
（2）如图，过点E，作BD的垂线EF，交BD的延长线于点F
AP+PB=FP+PB=FB=EF2+BF2=32+42=5
20000×5=100000元
答：最节省的铺设水管的费用为100000元
【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键
4．（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：
(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（保留作图痕迹）
(2)运用——和最小问题：如图②，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=43，P是对角线BD上的一个动点，求PC＋PE的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)PE+PC的最小值为6．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′．连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求点；
（2）作E关于BD的对称点E′，连接CE′，则PE+PC的最小值即为CE′的长；由已知可求△ EBE′是等边三角形；过点E′作E′G⊥BC，再利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求点；
；
（2）解：作E关于BD的对称点E′，连接CE′，
则BE'=BE，∠EBD=∠E'BD，
则PE+PC的最小值即为CE′的长；
∵AB=CD=4，BC=43，
∴BD=42+(43)2=8，
∴BD=2CD，E为BC的中点，
∴∠DBC=30°，
∴∠EBE′=60°，
∴△ EBE′是等边三角形，且EB=BE′=EE′=23，
过点E′作E′G⊥BC，
∴BG=GE=3，
在Rt△ E′BG中，E′G=(23)2−(3)2=3，
在Rt△ CE′G中，CG=43-3=33，
∴CE′=(33)2+32=6；
∴PE+PC的最小值为6．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理；通过轴对称将PE+PC转化为线段CE'的长是解（2）题的关键．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
(2)所走最短路程是多少？
【答案】(1)见解析；
(2)1000米．
【分析】（1）根据题意作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，所以在点E所在的位置饮水，所走的路程最短
（2）最短路程可构建直角三角形求得
【详解】（1）如图所示：作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，
∴牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，在点E处饮水，所走路程最短，最短路程是AE+BE=A1E+BE=A1B
在CD上任取一点F（不与点E重合），连接AE，AF，A1F，BF，
如果在点F处饮水，则走的路程为AF+BF=A1F+BF
下面证明在点E处饮水，所走路程最短
∵AE=A1E，AF=A1F
∴AE+BE=A1E+BE=A1B，AF+BF=A1F+BF
在△A1BF中，A1F+BF>A1B，
∴在点E所在的位置饮水，所走的路程最短
（2）如图：过点D作BD的延长线DA2，使得DA2=CA1=200米，则△A1BA2是直角三角形，
∵A1A2=CD=600，BA2=BD+DA2=600+200=800
∴AE+BE=A1B=A1A22+BA22=6002+8002=1000
∴所走最短路程是1000米
【点睛】本题考查了最短路径问题，这类问题的解答依据是：两点之间线段最短，可以利用对称性的特点，通过等线代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离
6．（2023春·全国·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C′，连结AC′,BC′,B′C′，
∵点B，B′关于直线l对称，点C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B= _________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′中，∵AB′(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB−PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， M2,2,N4,−1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM−PN的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
【答案】(1)CB′,C′B′,AB′
(2)连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析
(3)5或13；6,0或0,5
【分析】（1）根据点B，B′关于直线l对称，可得CB=CB′，C′B=C′B′，从而得到AC+CB=AC+CB′=AB′．在△AC′B′中，根据三角形的三边关系，即可；
（2）连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；
（3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′，
延长MN′交x轴于点P，则点P即为所求；此时PM−PN的最大值为MN′；当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P′，则点P′即为所求，此时PM−PN的最大值为MN=13，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点C′，连结AC′,BC′,B′C′，
∵点B，B′关于直线l对称，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+CB′=AB′．
在△AC′B′中，∵AB′∴AC+CB故答案为：CB′,C′B′,AB′
（2）解：连结BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
证明：如图，在直线l上任取任一点P′，连结AP′,BP′，
在△ABP′中，根据两边之差小于第三边得：BP′−AP′而当点B，A，P共线时，BP−AP=AB，
所以此时BP−AP最大；
（3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′，
延长MN′交x轴于点P，则点P即为所求；此时PM−PN的最大值为MN′，
∵N4,−1，
∴点N′4,1，
∵M2,2，
∴MN′=12+22=5，
设直线MN′的解析式为y=kx+b，
把点M2,2，N′4,1代入得：
2k+b=24k+b=1，解得：k=−12b=3，
∴直线MN′的解析式为y=−12x+3，
当y=0时，x=6，
此时点P的坐标为6,0；
当点P在y轴上时，连接MN，延长NM交y轴于点P′，则点P′即为所求，此时PM−PN的最大值为MN=13，
设直线MN的解析式为y=ax+m，
把点M2,2,N4,−1代入得：
2a+m=24a+m=−1，解得：a=−32m=5，
∴直线MN的解析式为y=−32x+5，
当x=0时，y=5，
此时点P′的坐标为0,5，
综上所述，PM−PN的最大值为5或13，此时P点坐标为6,0或0,5．
故答案为：5或13；6,0或0,5
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，ΔABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】（1）10；（2）3，图和理由见解析
【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．
由勾股定理得，BA′=BA=BC2+AC2=22+22=22，
∵E是AB的中点，
∴BE=12BA=2，
∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴∠A′BC=∠ABC=45°，
∴∠A′BA=90°，
∴PA+PE的最小值=A′E=A'B2+BE2=222+22=10．
故答案为：10；
（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，
∴△C′AC为等边三角形，
∴∠AC′N=30°，
∴AN=12C′A=1，
∴CM+MN的最小值为C′N=22−12=3．
【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
【类型3 圆柱上的最短路径问题】
1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A．43B．23C．35D．62
【答案】D
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．

∵圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，
∴AB=3，BC=BC′=3，
∴AC2=32+32=18，
∴AC=32，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=62．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
2．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．

A．8B．5C．20D．10
【答案】C
【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，线段AB即为所需彩带最短，
由图可知AC=3×4=12，BC=16，
∴由勾股定理得，
AB=AC2+BC2=122+162=20，

故选C．
【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
3．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，已知圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ）

A．20cmB．15cmC．12cmD．10cm
【答案】D
【分析】根据题意，将立体几何展开，可知最短路径AB，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，圆柱的侧面展开图如图所示，

∴从点A爬到点B处吃食，爬行的最短路程是AB的长，
∵AC=DE=12，BF=8，点B,F分别是DE,AC的中点，
∴在Rt△ABF中，AB=AF2+B=62+82=10，
∴最短路程是10cm，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，立体几何图形的展开图，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的是解题的关键．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（ ）

A．28mB．24mC．20mD．18m
【答案】C
【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．
【详解】解：将半圆面展开可得：

AD=12米，DE=DC−CE=AB−CE=16米，
在Rt△ADE中，
AE=122+162=20（米）．
即滑行的最短距离为20米．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20m.本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部1.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿1.5cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．9cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】C
【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度为最短路径15cm，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】解：如下图，
将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
根据题意，可知A′B=15cm，BD=12−1.5+AE=12cm，
∴A′D=A′B2−BD2=152−122=9．
所以底面圆的周长为9×2=18cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面展开——最短路径问题以及勾股定理等知识，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm．
A．9B．10C．18D．20
【答案】C
【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】解：如图，
将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离，
根据题意：A'B=15cm，BD=12−4+AE=12cm，
∴A'D=A′B2−BD2=152−122=9．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【类型4 圆锥上的最短路径问题】
1．（2023·内蒙古赤峰·统考期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cmB．303 cmC．60 cmD．20π cm
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20π cm，
∴2πr=20π
解得：r=10
∵nπ×30180=20π
解得：n=120
∴侧面展开图的圆心角为120°
如图所示，AC即为所求，过点B作BD⊥AC，
∵∠ABC=120°，BA=BC，则∠BAC=30°
∵AB=30，则BD=15
∴AD=153，AC=2AD=303，

故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ．
【答案】42
【分析】先把圆锥的侧面展开图，再根据两点之间，线段最短确定最短路线，求出展开图扇形圆心角，最后根据勾股定理求解线段长即可．
【详解】解：由题意知，底面圆的直径为2，
故底面周长等于2π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=4πn180，
解得n=90°，
所以展开图中圆心角为90°，
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：42+42=42．
故答案为：42
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，最短路问题，弧长公式和勾股定理等知识点，拥有良好的空间想象能力是解题的关键．
3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．
【答案】63cm
【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是8πcm，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是120°，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．
【详解】解：圆锥的底面周长是：2π×4=8π(cm)，
则8π=nπ×12180
n=120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，
如图所示，
∴∠APB=60°，
∵PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∵C是PB的中点，
∴AC⊥PB，
∴∠ACB=90°，
∵在圆锥侧面展开图中AP=12cm，PC=6cm，
∴在圆锥侧面展开图中：AC=AP2−PC2=122−62=63(cm)，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：63cm，
故答案为：63cm．
【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．
4．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.
（1）扇形的圆心角θ为 ；
（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
【答案】 90°/90度 202
【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；
（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．
【详解】解（1）∵圆锥的底面周长=2π×5=10π，
∴θπ×20180=10π，
解得θ=90°；
故答案为90°．
（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造Rt△AOA′，根据两点之间线段最短得最短路程为：202+202=202．
故答案为202．
【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键．
【类型5 正方体上的最短路径问题】
1．（2023春·北京西城·八年级北京十四中校考期中）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．10cmB．4cmC．17cmD．5cm
【答案】C
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
【详解】解：如图，
它运动的最短路程AB=(2+2)2+(22)2=17（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．
2．（2023春·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A．2(2+6)B．42+4C．42+2D．26+4
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为CD，将图②展开，连接AB交CD于点E，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：△ACD为等边三角形，△CBD为等腰直角三角形，
∵AC=AD,BC=BD,AB=AB，
∴△ACB≌△ADBSSS，
∴∠CBE=∠DBE，
∴AB⊥CD，
∵正方体的棱长为4cm，
∴BC=BD=4cm，AC=AD=CD=42+42=42，
在Rt△CEB中，BE=CE=12CD=22，
在Rt△CEA中，AE=AC2−CE2=26，
∴AB=AE+CE=22+26=22+6；
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如右图，一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 cm．

【答案】45
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【详解】解：∵展开后如下图所示，则有AC=8cm,BC=4cm，
由勾股定理得：AB2=BC2+AC2=42+82=80cm2，
∴AB=45cm．
故答案为45

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将平面展开利用勾股定理求解是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，正方体盒子的棱长为23，O为AE的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．

【答案】39
【分析】根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接CO，则线段CO的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，

∵正方体的棱长为23，O为AE的中点，
∴∠Q=90°，QO=23，CQ=33，
由勾股定理得CO=QC2+OQ2=332+232=39，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为39，
故答案为：39．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，灵活运用所学知识是关键．
5．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）一只蚂蚁沿着边长为3的正方体表面从点A出发，按照如图所示经过3个面爬到点B，则它运动的最短路径长为 ．
【答案】310
【分析】把正方体展开在平面上，应用勾股定理即可求解．
【详解】解：把正方体展开在平面上，如图所示，此时AB最短，
∵AB2=92+32，
∴AB=310，
故答案为：310．
【点睛】本题考查路径最短问题，解题的关键是把正方体展开在平面上，应用勾股定理求解．
6．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】45cm．
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一∶PA=(5+3)2+(3+1)2=45cm，
方法二∶PA=(5+3+1)2+32=310cm．
故需要爬行的最短距离是45cm．
故答案为：45cm．
【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【类型6 长方体上的最短路径问题】
1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）

A．105cmB．25cmC．529cm D．537cm
【答案】B
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：①只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成个长方形，如图1：

长方体的宽为10cm，高为20cm点B离点C的距离是5cm，
∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，
∴在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：
AB=BD2+AD2=152+202=25；
②只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图2：

长方体的宽为10cm，高为20cm点B离点C的距离是5cm，
∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，
∴在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：
AB=BD2+AD2=252+102=529cm；
③只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如图3：

长方体的宽为10cm，高为20cm点B离点C的距离是5cm，
∴AC=CD+AD=20+10=30cm，
在直角三角形ABC中,根据勾股定理得:
AB=AC2+BC2=302+52=537cm，
∵25<529<537．
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）已知长方体的长、宽、高分别为2cm，4cm，8cm，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（ ）
A．2cmB．4cmC．10cmD．14cm
【答案】C
【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出AB长即可得到答案．
【详解】解：如图1所示将长方体展开，则AB=2+42+82=10cm；
如图2所示将长方体展开，则AB=22+4+82=237cm；
如图3所示将长方体展开，则AB=2+82+42=229cm；
∵237>229>10，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为10cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
3．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=3，BC=4，CC1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．74B．310C．89D．12
【答案】A
【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1的距离，再进行比较即可．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，
爬过的路径的长是l1=32+4+52=90，
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，
爬过的路径的长是l2=3+42+52=74．
l1>l2，最短路径的长是l2=74．
故选A．
【点睛】此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意．
4．（2023春·全国·八年级期末）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，连接AB′，则AB′即为所求的最短长度，
AA′=4+2+4+2=12，AB=A′B′=9
在Rt△AA′B′中，AB′=AA′2+A′B′2=122+92=15
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把长方体沿AB边剪开得到矩形AA′B′B是解题的关键．
5．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图所示的长方体，AB=BC=2，BD=1，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】22
【分析】按照不同的展开图计算，比较确定答案即可．
【详解】如图，得到如下展开图：
取GH的中点M，连接FM，
则四边形GDFM是矩形，
此时，AG=GM=1,FM=GD=AB=2
所以AF=AM2+FM2=22+22=22；
取BC的中点N，连接FN，
则四边形BDFN是矩形，
此时，AG=FN=1,AN=2+1=3
所以AF=AN2+FN2=12+32=10；
因为10＞8=22，
所以最短距离为22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了几何体展开图上的最短距离计算，正确把握展开图是解题的关键．
6．（2015秋·江苏苏州·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；

（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．
【类型7 台阶上的最短路径问题】
1．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【答案】B
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去受食，那么它爬行的最短路程是 ．
【答案】100cm
【分析】将台阶展开，得到一直角边长为30cm+30cm+10cm+10cm=80cm，另一直角边为60cm的直角三角形，求其斜边即可．
【详解】将台阶展开，得到一直角边长为30cm+30cm+10cm+10cm=80cm，另一直角边为60cm的直角三角形，
所以最短距离为602+802=100cm，
故答案为：100cm．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键．
3．（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
【答案】5
【分析】先将台阶展开，再根据勾股定理求解即可．
【详解】将三级台阶展开，如图所示．
可知AC=(0.7+0.3)×3=3（米），BC=4（米），
根据两点之间线段最短，可知AB为最短路径，根据勾股定理得AB=AC2+BC2=32+42=5（米）．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了根据两点之间线段最短求最短路径，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
4．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
【答案】130cm
【分析】先画出图形平面展开图，然后根据两点之间线段最短确定最短路径，最后运用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB=502+2(20+40)2=130 (cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【点睛】本题主要考查了平面展开图－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．
5．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】13cm
【分析】先将台阶展开，可得AC=12cm，BC=5cm，∠C=90°，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
根据题意得：AC=3×3+1×3=12cm，BC=5cm，∠C=90°，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13cm，
即蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线13cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
6．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝182+242=30（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．