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通关秘籍09 圆锥曲线大题（易错点+六大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）
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这是一份通关秘籍09 圆锥曲线大题（易错点+六大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用），文件包含通关秘籍09圆锥曲线大题易错点+六大题型原卷版-备战2024年高考数学抢分秘籍新高考专用docx、通关秘籍09圆锥曲线大题易错点+六大题型解析版-备战2024年高考数学抢分秘籍新高考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
秘籍09 圆锥曲线大题
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：解题规范
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】极点、极线
【题型二】 自极三角形与调和点列
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
【题型四】 定比点差法
【题型五】 定点、定值
【题型六】 求轨迹方程型
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。
易错点：解题规范
圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。
例（2023 年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A．圆上恰有一个点到的距离为B．直线恒过点
C．的最小值是D．四边形面积的最小值为
【题型一】极点、极线
二次曲线的极点极线
（1）.二次曲线极点对应的极线为
（半代半不代）
（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程
①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为
则极线为切点弦；
②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，
则极线为切线；
③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，
分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．
【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．
【题型二】 自极三角形与调和点列
一、调和点列的充要条件
如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）
二、调和点列与极点极线的联系
如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．
三、自极三角形
如图, 设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点, 连接对角线EH,FG 交于 N, 连接对边 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若P为圆雉曲线上的点, 则过P点的切线即为极线.
同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.
从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．
【例1】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.
【变式2】设椭圆过点，且左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足
，证明：点总在某定直线上．
【变式3】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如 f=ax²+bxy+cy²称为二次齐次式， f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算量著称，齐次化引入圆锥曲线有时会极大地缩减运算量.
1：“齐次化”方法使用场景
题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和 k₁+k₂或斜率乘积 k₁⋅k₂为定值时，优先考虑使用齐次化的技巧.
2： 用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为 mx+my=1,再联立即可.
3: 方程为 mx+my=1的直线，可以表示不过原点 (原点坐标不适合方程)的所有直线 (讨论m.n与0的关系)
【例1】如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab>0)经过点. A0−1,且 离心率为 22.
(1):求椭圆E的方程;
(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q (均异于点A),
【例2】已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率为 22,且过点A(2,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2) 点M,N在椭圆C上, 且. AM⊥AN,AD⊥MN, D为垂足.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．
(1)求直线和的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线与曲线关于直线对称．
(1)求曲线的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．
【题型四】 定比点差法
直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.
一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到,
化简得
由得
两式相减得.
把代人,得,化简得.
特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题.
【例1】直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果 是线段的两个三等分点，则直线的斜率为 ．
【例2】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上.
若，则点的坐标是 ．
【例3】已知点，椭圆上两点满足，则
当 时，点横坐标的绝对值最大.
【变式1】已知是双曲线的左焦点，点的坐标为 ，直线与双曲线的两条渐进线分别交于点.若，则双曲线 的离心率为 ．
【变式2】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，与轴的交点为.
(1) 若，求直线的方程；
(2)若，求的值.
【变式3】如图，椭圆.过点作直线分别交椭圆于， 四点，且直线的斜率为.试判断直线与直线的位置关系.
【题型五】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．
(1)求的方程．
(2)已知点，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆的长轴为4，直线与圆相切于点，与相交于，两点，且，，.
(1)记的离心率为，证明：；
(2)若轴右侧的点在上，且轴，，是圆的两条切线，切点分别为，（在上方），求的值.
【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；
(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.
【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上．
(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．
(1)计算点和点之间的“距离”；
(2)设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；
(3)证明：对任意点．
【例3】（2024·河南开封·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
极点、极线
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
秘籍09 圆锥曲线大题
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：解题规范
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】极点、极线
【题型二】 自极三角形与调和点列
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
【题型四】 定比点差法
【题型五】 定点、定值
【题型六】 求轨迹方程型
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。
易错点：解题规范
圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。
例（2023 年全国乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A．圆上恰有一个点到的距离为B．直线恒过点
C．的最小值是D．四边形面积的最小值为
【题型一】极点、极线
二次曲线的极点极线
（1）.二次曲线极点对应的极线为
（半代半不代）
（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程
①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为
则极线为切点弦；
②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，
则极线为切线；
③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，
分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
【例1】过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是________．
【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．
【题型二】 自极三角形与调和点列
一、调和点列的充要条件
如图，若四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）
二、调和点列与极点极线的联系
如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．
三、自极三角形
如图, 设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点, 连接对角线EH,FG 交于 N, 连接对边 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若P为圆雉曲线上的点, 则过P点的切线即为极线.
同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.
从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．
【例1】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.
【变式2】设椭圆过点，且左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足
，证明：点总在某定直线上．
【变式3】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上.
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如 f=ax²+bxy+cy²称为二次齐次式， f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算量著称，齐次化引入圆锥曲线有时会极大地缩减运算量.
1：“齐次化”方法使用场景
题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和 k₁+k₂或斜率乘积 k₁⋅k₂为定值时，优先考虑使用齐次化的技巧.
2： 用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为 mx+my=1,再联立即可.
3: 方程为 mx+my=1的直线，可以表示不过原点 (原点坐标不适合方程)的所有直线 (讨论m.n与0的关系)
【例1】如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab>0)经过点. A0−1,且 离心率为 22.
(1):求椭圆E的方程;
(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q (均异于点A),
【例2】已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的离心率为 22,且过点A(2,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2) 点M,N在椭圆C上, 且. AM⊥AN,AD⊥MN, D为垂足.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆上一点，过原点且斜率存在的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线（与不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线和的距离都等于．
(1)求直线和的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时，是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线与曲线关于直线对称．
(1)求曲线的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由．
【题型四】 定比点差法
直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.
一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到,
化简得
由得
两式相减得.
把代人,得,化简得.
特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题.
【例1】直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果 是线段的两个三等分点，则直线的斜率为 ．
【例2】设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上.
若，则点的坐标是 ．
【例3】已知点，椭圆上两点满足，则
当 时，点横坐标的绝对值最大.
【变式1】已知是双曲线的左焦点，点的坐标为 ，直线与双曲线的两条渐进线分别交于点.若，则双曲线 的离心率为 ．
【变式2】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，与轴的交点为.
(1) 若，求直线的方程；
(2)若，求的值.
【变式3】如图，椭圆.过点作直线分别交椭圆于， 四点，且直线的斜率为.试判断直线与直线的位置关系.
【题型五】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，的左焦点与点连线的斜率为．
(1)求的方程．
(2)已知点，过点的直线与交于两点，直线分别交于．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆的长轴为4，直线与圆相切于点，与相交于，两点，且，，.
(1)记的离心率为，证明：；
(2)若轴右侧的点在上，且轴，，是圆的两条切线，切点分别为，（在上方），求的值.
【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；
(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.
【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上．
(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．
(1)计算点和点之间的“距离”；
(2)设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；
(3)证明：对任意点．
【例3】（2024·河南开封·三模）已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．
【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
极点、极线
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