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新高考数学三轮冲刺通关练习11 初等数论（九大题型）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学三轮冲刺通关练习11 初等数论（九大题型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮冲刺通关练习11初等数论九大题型原卷版doc、新高考数学三轮冲刺通关练习11初等数论九大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】整数与整除
【题型二】 同余与孙子定理
【题型三】 素数和合数
【题型四】 算数基本定理
【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【题型七】 平方数
【题型八】 高斯函数
【题型九】不定方程
在新结构试卷中，压轴题出现了初等数论的相关问题，这类问题大多属于阅读理解题，学生不需要对数论知识点进行掌握，但是需要对题干所给的信息进行理解分析，利用高中的方法解决相应问题，一般都出现在压轴题，虽然属于阅读理解题，但基本数论的思维的拓展和应用在短时间内要想完全梳理明白也并非简单的事情，所以平时还是需要多锻炼这类相关的试题。
【题型一】整数与整除
【例1】（2024·河北·一模）若一个两位正整数 SKIPIF 1 < 0 的个位数为4，则称 SKIPIF 1 < 0 为“好数”，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数，则称数对 SKIPIF 1 < 0 为“友好数对”，规定： SKIPIF 1 < 0 ，例如 SKIPIF 1 < 0 ，称数对 SKIPIF 1 < 0 为“友好数对”， SKIPIF 1 < 0 ，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为正整数，
根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，这两个方程组都没有正整数解，故没有满足题意的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，没有满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，没有满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所有“友好数对”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【例2】一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如 SKIPIF 1 < 0 ，16就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2023个“可爱数”是 .
【答案】2697
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知奇数都是“可爱数”；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知能被4整除的数都是“可爱数”；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 奇偶性不同时， SKIPIF 1 < 0 是奇数；
当 SKIPIF 1 < 0 奇偶性相同时， SKIPIF 1 < 0 是4的倍数，故形如 SKIPIF 1 < 0 的数不是“可爱数”，
即每连续四个数中有三个“可爱数”，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 即2697是第2023个“可爱数”.
故答案为：2697.
【变式1】（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设p为素数，对任意的非负整数n，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，如果非负整数n满足 SKIPIF 1 < 0 能被p整除，则称n对p“协调”．
(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数中，有多少个数对p“协调”；
(3)计算前 SKIPIF 1 < 0 个对p“协调”的非负整数之和．
【答案】(1)194，196对3“协调”，195对3不“协调”
(2)有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.
（2）先证引理：对于任意的非负整数t，在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设 SKIPIF 1 < 0 ，由于pt是p的倍数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 这一项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据整除原理可知，在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数能被p整除，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数对p“协调”．
接下来把以上 SKIPIF 1 < 0 个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）：
SKIPIF 1 < 0
根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”．
（3）继续考虑 SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数分成p组，每组p个数：
SKIPIF 1 < 0
由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：
设某一列第一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
集合 SKIPIF 1 < 0 中的p个数中有且只有1个数对p“协调”．
注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p，
所以p个数对p“协调”的数之和为： SKIPIF 1 < 0 ，
进一步，前 SKIPIF 1 < 0 个对p“协调”的非负整数之和为：
SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 SKIPIF 1 < 0 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的质因数个数， SKIPIF 1 < 0 为质数， SKIPIF 1 < 0 ），例如： SKIPIF 1 < 0 ，对应 SKIPIF 1 < 0 ．现对任意 SKIPIF 1 < 0 ，定义莫比乌斯函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若正整数 SKIPIF 1 < 0 互质，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的所有真因数（除了1和 SKIPIF 1 < 0 以外的因数）依次为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为5的指数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且存在质数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的质因数分解中包含 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的质因数分解中一定也包含 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在②中的 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 均为质数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 互质，所以 SKIPIF 1 < 0 互不相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知 SKIPIF 1 < 0
（3）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
SKIPIF 1 < 0 的所有因数，除了1之外都是 SKIPIF 1 < 0 中的若干个数的乘积，从 SKIPIF 1 < 0 个质数中任选 SKIPIF 1 < 0 个数的乘积一共有 SKIPIF 1 < 0 种结果，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型二】 同余与孙子定理
【例1】已知正整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有相同的个位数字，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．前三个答案都不对
【答案】B
【详解】由于对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的个位数字只可能为3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为3．此时其方幂的个位数字按3，9，7，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为7．此时其方幂的个位数字按7，9，3，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少为20．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
故选：B
【例2】“ SKIPIF 1 < 0 ”表示实数 SKIPIF 1 < 0 整除实数 SKIPIF 1 < 0 ，例如： SKIPIF 1 < 0 ，已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 D．存在 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误.
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误.
下面用数学归纳法证明： SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
SKIPIF 1 < 0 为奇数，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 除3余数相同，故 SKIPIF 1 < 0 除3余1，故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
由数学归纳法可得 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
故 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，故 SKIPIF 1 < 0 除3余0，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确.
由C的分析可得 SKIPIF 1 < 0 没有项使得 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 除以3的余数为0，故D错误.
故选：C.
【变式1】已知正整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有相同的个位数字，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．前三个答案都不对
【答案】B
【详解】由于对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的个位数字只可能为3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为3．此时其方幂的个位数字按3，9，7，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为7．此时其方幂的个位数字按7，9，3，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少为20．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
故选：B
【变式2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设 SKIPIF 1 < 0 是素数，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两不同，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的离散对数，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数（当 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除时， SKIPIF 1 < 0 ）．证明： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ．对 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，又注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）【方法一】：当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，因 SKIPIF 1 < 0 相异，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 互质.
记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数两两相异，
且 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数两两相异，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
法2：记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，k是整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
因为1，a， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 两两不同，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，于是 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，即 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中l是整数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）【方法二】：当 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
另一方面， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法2：由题设和（2）的法2的证明知：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）法2的证明知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型三】 素数和合数
【例1】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知点集 SKIPIF 1 < 0 ．设非空点集 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 中任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中存在一点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合），使得线段 SKIPIF 1 < 0 上除了点 SKIPIF 1 < 0 外没有 SKIPIF 1 < 0 中的点，则 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】对于整点 SKIPIF 1 < 0 的连线内部没有其它整点，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为素数，
若 SKIPIF 1 < 0 只有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别同奇偶， SKIPIF 1 < 0 有公因子2（或重合），不合题意，
故 SKIPIF 1 < 0 中元素不止一个，令 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或3时，取 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 或4时，取 SKIPIF 1 < 0 ；
由于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 内部无整点；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ，此时横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ，此时横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，二者互素；
综上， SKIPIF 1 < 0 中的元素个数最小值是2.
故选：B
【例2】设整数a，m，n满足 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的整数组 SKIPIF 1 < 0 的个数为（ ）
A．无穷多个B．4个C．2个D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，
考虑到a，m，n均为整数，因此 SKIPIF 1 < 0
且其中m，n均为正整数， SKIPIF 1 < 0 ，a为整数．
因此符合题意的整数解为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【变式1】（2023高三上·全国·竞赛）求最小的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，可以将其表示成2023个正整数之积，即 SKIPIF 1 < 0 ，且满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】一方面，取 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为素数)，此时若将 SKIPIF 1 < 0 表示成2023个正整数之积，
即 SKIPIF 1 < 0 时，可设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为非负整数， SKIPIF 1 < 0 ，
由抽屉原理，存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ；
另一方面，证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，采用如下方法依次构造出满足要求的 SKIPIF 1 < 0 :
对 SKIPIF 1 < 0 ，假设已构造出 SKIPIF 1 < 0 ，接下来考虑 SKIPIF 1 < 0 的取值(特别地， SKIPIF 1 < 0 时代表尚未构造出任何一项，考虑构造 SKIPIF 1 < 0 的值)，
对 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 的最大素因子 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的任一素因子均小于 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大正约数，依次得到 SKIPIF 1 < 0 ，
证明这样的构造符合要求：
由于此时对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，已有 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ，因此只须证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，则知 SKIPIF 1 < 0 不存在不小于 SKIPIF 1 < 0 的素因子，也不存在不超过 SKIPIF 1 < 0 的正约数，
自然也就不存在不超过 SKIPIF 1 < 0 的素因子，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
这样， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
若不存在 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为在上述操作中选取的不小于 SKIPIF 1 < 0 的素数，
其余项为在上述操作中选取的不超过 SKIPIF 1 < 0 的正约数( SKIPIF 1 < 0 可以为0)，
此时如果 SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大正约数矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，这样有 SKIPIF 1 < 0 ，进而有 SKIPIF 1 < 0 ；
而由取法可直接得到 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023高二·全国·竞赛）正整数 SKIPIF 1 < 0 称为“好数”，如果对任意不同于 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，这里， SKIPIF 1 < 0 表示实数 SKIPIF 1 < 0 的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
【答案】证明见解析
【详解】证明：引理：设 SKIPIF 1 < 0 是正奇数，且2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 是好数.
引理的证明：反证法，
假设 SKIPIF 1 < 0 不是好数，则存在异于 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 写成既约分数后的分母相同.
由 SKIPIF 1 < 0 为奇数知 SKIPIF 1 < 0 是既约分数，故 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为正整数（从而 SKIPIF 1 < 0 是偶数）.
于是 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .（*）
设2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为偶数 SKIPIF 1 < 0 .
由（*）及阶的基本性质得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是偶数.
但 SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，矛盾.引理得证.
回到原问题.
设 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为 SKIPIF 1 < 0 ，是一个偶数.
对正整数 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故由阶的性质推出，2模 SKIPIF 1 < 0 的阶被2模 SKIPIF 1 < 0 的阶整除，从而也是偶数.因 SKIPIF 1 < 0 是奇数，由引理知 SKIPIF 1 < 0 是好数.
对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 两两互素，所以 SKIPIF 1 < 0 是两两互素的合数，且均为好数.
【题型四】 算数基本定理
【例1】（高三·北京·强基计划）设 SKIPIF 1 < 0 是正2016边形，从这2016个顶点中选出若干个使之能作为正多边形的顶点，则不同的选法共有（ ）
A．2520种B．3528种C．4536种D．6552种
【答案】B
【详解】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．
设从2016个顶点中选出 SKIPIF 1 < 0 个构成正多边形，这样的正多边形有 SKIPIF 1 < 0 个，
因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．
考虑到 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求正多边形的个数为
SKIPIF 1 < 0 （个）．
故选：B
【例2】（高三上·北京·强基计划）设 SKIPIF 1 < 0 ，集合T是S的n元子集，且其中任意两个元素互质，对任意符合要求的集合T，均至少包含一个质数，则n的最小值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【详解】首先，我们有 SKIPIF 1 < 0 ．
事实上，取集合 SKIPIF 1 < 0 ，
其元素，除1以外，均为不超过43的素数的平方，则 SKIPIF 1 < 0 中任意两数互质，但其中无质数，这表明 SKIPIF 1 < 0 ．
其次，我们证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，A中任意两数互质，则A中必存在一个质数.利用反证法，假设A中无质数，记 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况讨论：
情形一 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 均为合数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的质因数均不相同，
设 SKIPIF 1 < 0 的最小质因数为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
情形二 若 SKIPIF 1 < 0 ，则不妨设 SKIPIF 1 < 0 均为合数，同情形一所设，同理有
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
综上所述，反设不成立，从而A中必有质数，即 SKIPIF 1 < 0 时结论成立，
因此所求n的最小值为16．
故选：B.
【变式1】（高三·上海·竞赛）若a、b、c、d为整数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则有序数组（a，b，c，d）= .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
由算术基本定理知 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 SKIPIF 1 < 0
【变式2】四位数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为反序的正整数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别有16个、12个正因数（包括1和本身）， SKIPIF 1 < 0 的质因数也是 SKIPIF 1 < 0 的质因数，但 SKIPIF 1 < 0 的质因数比 SKIPIF 1 < 0 的质因数少1个，求 SKIPIF 1 < 0 的所有可能值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 为奇数，知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一奇一偶.
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶数.矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 为奇数.
记 SKIPIF 1 < 0 分解质因数后， SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，2的个数为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由因数个数定理得 SKIPIF 1 < 0 .
于是 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 或8， SKIPIF 1 < 0 或7.
故 SKIPIF 1 < 0 至多有三个质因数.
于是， SKIPIF 1 < 0 至多含有两个质因数，3是 SKIPIF 1 < 0 的一个质因数.
若 SKIPIF 1 < 0 只有一个质因数，则这个质因数为3.从而， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 是四位数相矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 含有两个质因数.
设 SKIPIF 1 < 0 的另一个质因数为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 .
此时， SKIPIF 1 < 0 的值大于 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 不互为反序数，于是， SKIPIF 1 < 0 .此时， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .于是， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 . ①
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以， SKIPIF 1 < 0 为奇数.故 SKIPIF 1 < 0 .
由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
于是， SKIPIF 1 < 0 或8.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或9.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或1998.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合题意.
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【例1】（2024·河北沧州·一模）设 SKIPIF 1 < 0 为非负整数， SKIPIF 1 < 0 为正整数，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 除得的余数相同，则称 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对模 SKIPIF 1 < 0 同余，记为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 为质数， SKIPIF 1 < 0 为不能被 SKIPIF 1 < 0 整除的正整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ；
③对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ；
④对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
则所有的真命题为（ ）
A．①④B．②C．①②③D．①②④
【答案】C
【详解】对于①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余数为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余数为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于②：若正整数 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整数 SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于③：若正整数 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整数 SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于④：由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
故选：C
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知素数 SKIPIF 1 < 0 证明： SKIPIF 1 < 0 为整数，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由Fermat小定理知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
下面只需要证明 SKIPIF 1 < 0 即可．
引理：设 SKIPIF 1 < 0 是正整数，则 SKIPIF 1 < 0
回到原题， 注意到 SKIPIF 1 < 0 且均为素数，所以 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 为整数．
【变式1】（23-24高三下·河北·开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有 SKIPIF 1 < 0 ；
②求方程 SKIPIF 1 < 0 的正整数解的个数．
【答案】(1)证明见详解；
(2)① 证明见详解；② 无数个.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余数为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余数为2，
又65被7除所得的余数为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 能被13整除时， SKIPIF 1 < 0 可以被13整除即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 不能被13整除时，由费马小定理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 都为素数， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
②因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由整除的性质及费马小定理知，对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由整除的性质及费马小定理知，对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为5和7互为质数，所以对于任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的正整数解的个数为无数个.
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是正整数数列；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，因此数列 SKIPIF 1 < 0 为常数数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是正整数数列.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，假设有 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由费马小定理得 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【例1】（2024高三上·全国·专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，试求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间；
(2)如图所示，若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，利用这条性质证明：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意两点的连线斜率不小于 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 满足题意，同时， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 两端点连线的斜率，
而由题可知， SKIPIF 1 < 0 上必然存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得其切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一定定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
证明如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由猜想可知，对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意两点 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 之间一定存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】对于正整数n，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的最大公因子为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称n是奇异的．证明：若n是奇异的，则 SKIPIF 1 < 0 也是奇异的．
【答案】证明见解析.
【详解】记 SKIPIF 1 < 0 ，我们任取 SKIPIF 1 < 0 的一个质因子p．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，这不可能，故 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
这是因为若 SKIPIF 1 < 0 有两个质因子（允许相同）p、q，则 SKIPIF 1 < 0 ，出现矛盾！
故 SKIPIF 1 < 0 ，且p为 SKIPIF 1 < 0 的最大质因子．
（若否，则设q为 SKIPIF 1 < 0 的最大质因子，则 SKIPIF 1 < 0 出现矛盾！）
故p为奇质数（因 SKIPIF 1 < 0 为奇数），我们记 SKIPIF 1 < 0 知m与n同奇偶．
下面我们证明： SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （威尔逊定理）．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ．
那么 SKIPIF 1 < 0 ，
即后者得证，这就说明 SKIPIF 1 < 0 也是奇异的．
【题型七】 平方数
【例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，且 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 共有 （ ）个
A．1B．12
C．13D．以上都不对
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，
可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的一组解，且方程有无穷多组解，
对于其中任意一组解 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为被3整除的正奇数，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得佩尔方程的通解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由特征方程得其所对应的递推公式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以仅有 SKIPIF 1 < 0 时，满足条件，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，且 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 只有1个.
故选：A.
【例2】（2024高三上·全国·竞赛）对于各数位均不为0的三位数 SKIPIF 1 < 0 ，若两位数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，则称 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，则具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为平方是两位数的有： SKIPIF 1 < 0 ，
所以具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数有：164，364，649，816，
即具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数的个数为4，
故选：C
【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B，C在Γ上且直线 SKIPIF 1 < 0 经过A.设 SKIPIF 1 < 0 分别为Γ在B，C处的切线，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可).
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率存在，不妨设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，化简并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , 此时 SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 不在 D 的轨迹上.
从而 D 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
或写成 SKIPIF 1 < 0
若 D 的横纵坐标均为正整数，可设 SKIPIF 1 < 0 从而 x 是 3的倍数, 可设 SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 显然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一组解, 同时注意到若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一组解: 则 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的一组解.
从而可以得出一系列 SKIPIF 1 < 0 的解: SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故可取 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , 符合要求.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； (627,1813)（答案不唯一）.
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）求所有的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为完全平方数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数，可设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（注意到 SKIPIF 1 < 0 不能太大，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不为完全平方数）
即要求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
用数学归纳法证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
逐一验证即可，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方数，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时模4并不能否定它是完全平方数，所以我们再多加考虑几个模，考虑3，5，7，9其中3没有意义，如果都考虑到后任然排除不了，我们只能把它算出来了．（这里没有考虑6，8，10这是因为 SKIPIF 1 < 0 本身就是能被4整除的，所以模6和模3效果是一样的），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 排除不掉，但是 SKIPIF 1 < 0 不可能，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
因此唯一符合题意的 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型八】 高斯函数
【例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）积性函数 SKIPIF 1 < 0 指对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（ ）
A．高斯函数 SKIPIF 1 < 0 表示不大于实数 SKIPIF 1 < 0 的最大整数
B．最大公约数函数 SKIPIF 1 < 0 表示正整数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的最大公约数（ SKIPIF 1 < 0 是常数）
C．幂次函数 SKIPIF 1 < 0 表示正整数 SKIPIF 1 < 0 质因数分解后含 SKIPIF 1 < 0 的幂次数（ SKIPIF 1 < 0 是常数）
D．欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 表示小于正整数 SKIPIF 1 < 0 的正整数中满足与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的数目
【答案】ABD
【详解】选项A：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则高斯函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确；
选项B：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则最大公约数函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确；
选项C：互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项D：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确.
故选：ABD
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中整数项的个数为 ．
【答案】15
【详解】 SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 为整数，必有 SKIPIF 1 < 0 均为整数，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 均为非负整数，∴ SKIPIF 1 < 0 为整数，共有14个．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是整数．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是整数．
因此，整数项的个数为 SKIPIF 1 < 0 个．
【变式1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，我们常用 SKIPIF 1 < 0 来表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数.如： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解方程： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，不符合 SKIPIF 1 < 0 ，均舍；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
因为对 SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中p，q为互质的正整数，则使得 SKIPIF 1 < 0 可整除p的最大正整数n是（ ）
A．1768B．1746C．1714D．1702
【答案】C
【分析】考虑用60个节点的有向完全图表示比赛结果，则可得 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 中含有因子2的个数为
SKIPIF 1 < 0 （个），
因此所求的最大正整数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【题型九】不定方程
【例1】（2023高三·北京·竞赛）正整数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能值有（ ）
A．0个B．3个C．4个D．无穷多个
【答案】B
【详解】由对称性，不妨 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为正整数，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正整数， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正整数， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因为 SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因为 SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的可能值有3个，
故选：B.
【例2】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为正整数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值之差为（ ）
A．9B．15C．22D．前三个答案都不对
【答案】A
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 是正整数，
因此 SKIPIF 1 < 0 是正整数．
接下来探索所有可能的解，不妨先假设 SKIPIF 1 < 0 ．
显然 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．于是 SKIPIF 1 < 0 ．
情形一 SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 不可能为正整数．
情形二 SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，符合题意的解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由排序不等式可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值分别为38与29，故所求差为9．
故选：A
【变式1】（多选）（2023高三·北京·竞赛）已知 SKIPIF 1 < 0 是完全平方数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的取值有无数个B． SKIPIF 1 < 0 的最小值小于15
C． SKIPIF 1 < 0 为奇数D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
又 SKIPIF 1 < 0 可整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于任意整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
而对任意的整数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故D成立.
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
下证： SKIPIF 1 < 0 均为正整数.
证明：由二项式定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为4的倍数，
故 SKIPIF 1 < 0 为4的倍数，故 SKIPIF 1 < 0 为正整数.
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为正整数即 SKIPIF 1 < 0 为正整数.
下面回到问题本身，
此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的任意性可得 SKIPIF 1 < 0 有无穷多个，
故选：ABD
【变式2】（2023高三·北京·竞赛） SKIPIF 1 < 0 有几个正实数解？
【答案】原方程有2个正实数解
【详解】原式可以变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
容易知道 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 有2个正实数解： SKIPIF 1 < 0 ，1.概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
初等数论
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】整数与整除
【题型二】 同余与孙子定理
【题型三】 素数和合数
【题型四】 算数基本定理
【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【题型七】 平方数
【题型八】 高斯函数
【题型九】不定方程
在新结构试卷中，压轴题出现了初等数论的相关问题，这类问题大多属于阅读理解题，学生不需要对数论知识点进行掌握，但是需要对题干所给的信息进行理解分析，利用高中的方法解决相应问题，一般都出现在压轴题，虽然属于阅读理解题，但基本数论的思维的拓展和应用在短时间内要想完全梳理明白也并非简单的事情，所以平时还是需要多锻炼这类相关的试题。
【题型一】整数与整除
【例1】（2024·河北·一模）若一个两位正整数 SKIPIF 1 < 0 的个位数为4，则称 SKIPIF 1 < 0 为“好数”，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正整数，则称数对 SKIPIF 1 < 0 为“友好数对”，规定： SKIPIF 1 < 0 ，例如 SKIPIF 1 < 0 ，称数对 SKIPIF 1 < 0 为“友好数对”， SKIPIF 1 < 0 ，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为正整数，
根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，这两个方程组都没有正整数解，故没有满足题意的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，没有满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，没有满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
满足条件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所有“友好数对”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【例2】一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如 SKIPIF 1 < 0 ，16就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2023个“可爱数”是 .
【答案】2697
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知奇数都是“可爱数”；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知能被4整除的数都是“可爱数”；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 奇偶性不同时， SKIPIF 1 < 0 是奇数；
当 SKIPIF 1 < 0 奇偶性相同时， SKIPIF 1 < 0 是4的倍数，故形如 SKIPIF 1 < 0 的数不是“可爱数”，
即每连续四个数中有三个“可爱数”，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 即2697是第2023个“可爱数”.
故答案为：2697.
【变式1】（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设p为素数，对任意的非负整数n，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，如果非负整数n满足 SKIPIF 1 < 0 能被p整除，则称n对p“协调”．
(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数中，有多少个数对p“协调”；
(3)计算前 SKIPIF 1 < 0 个对p“协调”的非负整数之和．
【答案】(1)194，196对3“协调”，195对3不“协调”
(2)有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”.
（2）先证引理：对于任意的非负整数t，在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设 SKIPIF 1 < 0 ，由于pt是p的倍数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 这一项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据整除原理可知，在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数能被p整除，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中有且仅有一个数对p“协调”．
接下来把以上 SKIPIF 1 < 0 个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）：
SKIPIF 1 < 0
根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”．
（3）继续考虑 SKIPIF 1 < 0 这 SKIPIF 1 < 0 个数分成p组，每组p个数：
SKIPIF 1 < 0
由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：
设某一列第一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
集合 SKIPIF 1 < 0 中的p个数中有且只有1个数对p“协调”．
注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p，
所以p个数对p“协调”的数之和为： SKIPIF 1 < 0 ，
进一步，前 SKIPIF 1 < 0 个对p“协调”的非负整数之和为：
SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 SKIPIF 1 < 0 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的质因数个数， SKIPIF 1 < 0 为质数， SKIPIF 1 < 0 ），例如： SKIPIF 1 < 0 ，对应 SKIPIF 1 < 0 ．现对任意 SKIPIF 1 < 0 ，定义莫比乌斯函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若正整数 SKIPIF 1 < 0 互质，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的所有真因数（除了1和 SKIPIF 1 < 0 以外的因数）依次为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为5的指数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且存在质数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的质因数分解中包含 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的质因数分解中一定也包含 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在②中的 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 均为质数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 互质，所以 SKIPIF 1 < 0 互不相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知 SKIPIF 1 < 0
（3）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
SKIPIF 1 < 0 的所有因数，除了1之外都是 SKIPIF 1 < 0 中的若干个数的乘积，从 SKIPIF 1 < 0 个质数中任选 SKIPIF 1 < 0 个数的乘积一共有 SKIPIF 1 < 0 种结果，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型二】 同余与孙子定理
【例1】已知正整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有相同的个位数字，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．前三个答案都不对
【答案】B
【详解】由于对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的个位数字只可能为3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为3．此时其方幂的个位数字按3，9，7，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为7．此时其方幂的个位数字按7，9，3，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少为20．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
故选：B
【例2】“ SKIPIF 1 < 0 ”表示实数 SKIPIF 1 < 0 整除实数 SKIPIF 1 < 0 ，例如： SKIPIF 1 < 0 ，已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 D．存在 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误.
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误.
下面用数学归纳法证明： SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
SKIPIF 1 < 0 为奇数，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 除3余数相同，故 SKIPIF 1 < 0 除3余1，故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
由数学归纳法可得 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
故 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，故 SKIPIF 1 < 0 除3余0，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确.
由C的分析可得 SKIPIF 1 < 0 没有项使得 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 除以3的余数为0，故D错误.
故选：C.
【变式1】已知正整数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有相同的个位数字，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．前三个答案都不对
【答案】B
【详解】由于对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的个位数字只可能为3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为3．此时其方幂的个位数字按3，9，7，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的个位数字为7．此时其方幂的个位数字按7，9，3，1循环，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少为20．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为6．
故选：B
【变式2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设 SKIPIF 1 < 0 是素数，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两不同，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的离散对数，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)对 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数（当 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除时， SKIPIF 1 < 0 ）．证明： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ．对 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，又注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）【方法一】：当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，因 SKIPIF 1 < 0 相异，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 互质.
记 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数两两相异，
且 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余数两两相异，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
法2：记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，k是整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
因为1，a， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 两两不同，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，于是 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，即 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中l是整数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）【方法二】：当 SKIPIF 1 < 0 时，由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
另一方面， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法2：由题设和（2）的法2的证明知：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）法2的证明知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型三】 素数和合数
【例1】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知点集 SKIPIF 1 < 0 ．设非空点集 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 中任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中存在一点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合），使得线段 SKIPIF 1 < 0 上除了点 SKIPIF 1 < 0 外没有 SKIPIF 1 < 0 中的点，则 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】对于整点 SKIPIF 1 < 0 的连线内部没有其它整点，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为素数，
若 SKIPIF 1 < 0 只有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别同奇偶， SKIPIF 1 < 0 有公因子2（或重合），不合题意，
故 SKIPIF 1 < 0 中元素不止一个，令 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或3时，取 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 或4时，取 SKIPIF 1 < 0 ；
由于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 内部无整点；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ，此时横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标之差为奇数，二者互素；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ，此时横坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标之差为 SKIPIF 1 < 0 ，二者互素；
综上， SKIPIF 1 < 0 中的元素个数最小值是2.
故选：B
【例2】设整数a，m，n满足 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的整数组 SKIPIF 1 < 0 的个数为（ ）
A．无穷多个B．4个C．2个D．前三个答案都不对
【答案】C
【分析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，
考虑到a，m，n均为整数，因此 SKIPIF 1 < 0
且其中m，n均为正整数， SKIPIF 1 < 0 ，a为整数．
因此符合题意的整数解为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【变式1】（2023高三上·全国·竞赛）求最小的实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，可以将其表示成2023个正整数之积，即 SKIPIF 1 < 0 ，且满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】一方面，取 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为素数)，此时若将 SKIPIF 1 < 0 表示成2023个正整数之积，
即 SKIPIF 1 < 0 时，可设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为非负整数， SKIPIF 1 < 0 ，
由抽屉原理，存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ；
另一方面，证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，采用如下方法依次构造出满足要求的 SKIPIF 1 < 0 :
对 SKIPIF 1 < 0 ，假设已构造出 SKIPIF 1 < 0 ，接下来考虑 SKIPIF 1 < 0 的取值(特别地， SKIPIF 1 < 0 时代表尚未构造出任何一项，考虑构造 SKIPIF 1 < 0 的值)，
对 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 的最大素因子 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的任一素因子均小于 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大正约数，依次得到 SKIPIF 1 < 0 ，
证明这样的构造符合要求：
由于此时对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，已有 SKIPIF 1 < 0 是素数或者 SKIPIF 1 < 0 ，因此只须证 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，则知 SKIPIF 1 < 0 不存在不小于 SKIPIF 1 < 0 的素因子，也不存在不超过 SKIPIF 1 < 0 的正约数，
自然也就不存在不超过 SKIPIF 1 < 0 的素因子，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
这样， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
若不存在 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为在上述操作中选取的不小于 SKIPIF 1 < 0 的素数，
其余项为在上述操作中选取的不超过 SKIPIF 1 < 0 的正约数( SKIPIF 1 < 0 可以为0)，
此时如果 SKIPIF 1 < 0 ，则与 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大正约数矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，这样有 SKIPIF 1 < 0 ，进而有 SKIPIF 1 < 0 ；
而由取法可直接得到 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023高二·全国·竞赛）正整数 SKIPIF 1 < 0 称为“好数”，如果对任意不同于 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，这里， SKIPIF 1 < 0 表示实数 SKIPIF 1 < 0 的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
【答案】证明见解析
【详解】证明：引理：设 SKIPIF 1 < 0 是正奇数，且2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 是好数.
引理的证明：反证法，
假设 SKIPIF 1 < 0 不是好数，则存在异于 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 写成既约分数后的分母相同.
由 SKIPIF 1 < 0 为奇数知 SKIPIF 1 < 0 是既约分数，故 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为正整数（从而 SKIPIF 1 < 0 是偶数）.
于是 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .（*）
设2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为偶数 SKIPIF 1 < 0 .
由（*）及阶的基本性质得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是偶数.
但 SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，矛盾.引理得证.
回到原问题.
设 SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此2模 SKIPIF 1 < 0 的阶为 SKIPIF 1 < 0 ，是一个偶数.
对正整数 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故由阶的性质推出，2模 SKIPIF 1 < 0 的阶被2模 SKIPIF 1 < 0 的阶整除，从而也是偶数.因 SKIPIF 1 < 0 是奇数，由引理知 SKIPIF 1 < 0 是好数.
对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 两两互素，所以 SKIPIF 1 < 0 是两两互素的合数，且均为好数.
【题型四】 算数基本定理
【例1】（高三·北京·强基计划）设 SKIPIF 1 < 0 是正2016边形，从这2016个顶点中选出若干个使之能作为正多边形的顶点，则不同的选法共有（ ）
A．2520种B．3528种C．4536种D．6552种
【答案】B
【详解】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．
设从2016个顶点中选出 SKIPIF 1 < 0 个构成正多边形，这样的正多边形有 SKIPIF 1 < 0 个，
因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．
考虑到 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求正多边形的个数为
SKIPIF 1 < 0 （个）．
故选：B
【例2】（高三上·北京·强基计划）设 SKIPIF 1 < 0 ，集合T是S的n元子集，且其中任意两个元素互质，对任意符合要求的集合T，均至少包含一个质数，则n的最小值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【详解】首先，我们有 SKIPIF 1 < 0 ．
事实上，取集合 SKIPIF 1 < 0 ，
其元素，除1以外，均为不超过43的素数的平方，则 SKIPIF 1 < 0 中任意两数互质，但其中无质数，这表明 SKIPIF 1 < 0 ．
其次，我们证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，A中任意两数互质，则A中必存在一个质数.利用反证法，假设A中无质数，记 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况讨论：
情形一 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 均为合数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的质因数均不相同，
设 SKIPIF 1 < 0 的最小质因数为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
情形二 若 SKIPIF 1 < 0 ，则不妨设 SKIPIF 1 < 0 均为合数，同情形一所设，同理有
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
综上所述，反设不成立，从而A中必有质数，即 SKIPIF 1 < 0 时结论成立，
因此所求n的最小值为16．
故选：B.
【变式1】（高三·上海·竞赛）若a、b、c、d为整数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则有序数组（a，b，c，d）= .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
由算术基本定理知 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 SKIPIF 1 < 0
【变式2】四位数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为反序的正整数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别有16个、12个正因数（包括1和本身）， SKIPIF 1 < 0 的质因数也是 SKIPIF 1 < 0 的质因数，但 SKIPIF 1 < 0 的质因数比 SKIPIF 1 < 0 的质因数少1个，求 SKIPIF 1 < 0 的所有可能值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 为奇数，知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一奇一偶.
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶数.矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 为偶数， SKIPIF 1 < 0 为奇数.
记 SKIPIF 1 < 0 分解质因数后， SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，2的个数为 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由因数个数定理得 SKIPIF 1 < 0 .
于是 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 或8， SKIPIF 1 < 0 或7.
故 SKIPIF 1 < 0 至多有三个质因数.
于是， SKIPIF 1 < 0 至多含有两个质因数，3是 SKIPIF 1 < 0 的一个质因数.
若 SKIPIF 1 < 0 只有一个质因数，则这个质因数为3.从而， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 是四位数相矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 含有两个质因数.
设 SKIPIF 1 < 0 的另一个质因数为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 .
此时， SKIPIF 1 < 0 的值大于 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 不互为反序数，于是， SKIPIF 1 < 0 .此时， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .于是， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 . ①
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以， SKIPIF 1 < 0 为奇数.故 SKIPIF 1 < 0 .
由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶数，所以， SKIPIF 1 < 0 为偶数.
于是， SKIPIF 1 < 0 或8.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或9.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或1998.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合题意.
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【题型五】 费马小定理及欧拉定理
【例1】（2024·河北沧州·一模）设 SKIPIF 1 < 0 为非负整数， SKIPIF 1 < 0 为正整数，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 除得的余数相同，则称 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对模 SKIPIF 1 < 0 同余，记为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 为质数， SKIPIF 1 < 0 为不能被 SKIPIF 1 < 0 整除的正整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ；
③对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ；
④对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
则所有的真命题为（ ）
A．①④B．②C．①②③D．①②④
【答案】C
【详解】对于①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余数为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余数为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于②：若正整数 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整数 SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于③：若正整数 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，则 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整数 SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于④：由费马小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，错误.
故选：C
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知素数 SKIPIF 1 < 0 证明： SKIPIF 1 < 0 为整数，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由Fermat小定理知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
下面只需要证明 SKIPIF 1 < 0 即可．
引理：设 SKIPIF 1 < 0 是正整数，则 SKIPIF 1 < 0
回到原题， 注意到 SKIPIF 1 < 0 且均为素数，所以 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 为整数．
【变式1】（23-24高三下·河北·开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 SKIPIF 1 < 0 ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有 SKIPIF 1 < 0 ；
②求方程 SKIPIF 1 < 0 的正整数解的个数．
【答案】(1)证明见详解；
(2)① 证明见详解；② 无数个.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余数为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余数为2，
又65被7除所得的余数为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 能被13整除时， SKIPIF 1 < 0 可以被13整除即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 不能被13整除时，由费马小定理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 都为素数， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
②因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由整除的性质及费马小定理知，对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由整除的性质及费马小定理知，对于任意正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为5和7互为质数，所以对于任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的正整数解的个数为无数个.
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是正整数数列；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，因此数列 SKIPIF 1 < 0 为常数数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是正整数数列.
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，假设有 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由费马小定理得 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
【题型六】 拉格朗日定理及威尔逊定理
【例1】（2024高三上·全国·专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，试求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间；
(2)如图所示，若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，利用这条性质证明：函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意两点的连线斜率不小于 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 满足题意，同时， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 两端点连线的斜率，
而由题可知， SKIPIF 1 < 0 上必然存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得其切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一定定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
证明如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由猜想可知，对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上任意两点 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 之间一定存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】对于正整数n，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的最大公因子为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称n是奇异的．证明：若n是奇异的，则 SKIPIF 1 < 0 也是奇异的．
【答案】证明见解析.
【详解】记 SKIPIF 1 < 0 ，我们任取 SKIPIF 1 < 0 的一个质因子p．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，这不可能，故 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
这是因为若 SKIPIF 1 < 0 有两个质因子（允许相同）p、q，则 SKIPIF 1 < 0 ，出现矛盾！
故 SKIPIF 1 < 0 ，且p为 SKIPIF 1 < 0 的最大质因子．
（若否，则设q为 SKIPIF 1 < 0 的最大质因子，则 SKIPIF 1 < 0 出现矛盾！）
故p为奇质数（因 SKIPIF 1 < 0 为奇数），我们记 SKIPIF 1 < 0 知m与n同奇偶．
下面我们证明： SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （威尔逊定理）．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ．
那么 SKIPIF 1 < 0 ，
即后者得证，这就说明 SKIPIF 1 < 0 也是奇异的．
【题型七】 平方数
【例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，且 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 共有 （ ）个
A．1B．12
C．13D．以上都不对
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，
可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的一组解，且方程有无穷多组解，
对于其中任意一组解 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为被3整除的正奇数，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得佩尔方程的通解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由特征方程得其所对应的递推公式为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以仅有 SKIPIF 1 < 0 时，满足条件，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，且 SKIPIF 1 < 0 的正整数 SKIPIF 1 < 0 只有1个.
故选：A.
【例2】（2024高三上·全国·竞赛）对于各数位均不为0的三位数 SKIPIF 1 < 0 ，若两位数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为完全平方数，则称 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，则具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为平方是两位数的有： SKIPIF 1 < 0 ，
所以具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数有：164，364，649，816，
即具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的三位数的个数为4，
故选：C
【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B，C在Γ上且直线 SKIPIF 1 < 0 经过A.设 SKIPIF 1 < 0 分别为Γ在B，C处的切线，点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可).
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率存在，不妨设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立双曲线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，化简并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程为: SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , 此时 SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 不在 D 的轨迹上.
从而 D 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
或写成 SKIPIF 1 < 0
若 D 的横纵坐标均为正整数，可设 SKIPIF 1 < 0 从而 x 是 3的倍数, 可设 SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 显然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一组解, 同时注意到若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一组解: 则 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的一组解.
从而可以得出一系列 SKIPIF 1 < 0 的解: SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故可取 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 , 符合要求.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； (627,1813)（答案不唯一）.
【变式2】（2023高三·全国·专题练习）求所有的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为完全平方数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数，可设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（注意到 SKIPIF 1 < 0 不能太大，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不为完全平方数）
即要求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
用数学归纳法证明当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
逐一验证即可，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方数，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时模4并不能否定它是完全平方数，所以我们再多加考虑几个模，考虑3，5，7，9其中3没有意义，如果都考虑到后任然排除不了，我们只能把它算出来了．（这里没有考虑6，8，10这是因为 SKIPIF 1 < 0 本身就是能被4整除的，所以模6和模3效果是一样的），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 排除不掉，但是 SKIPIF 1 < 0 不可能，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
因此唯一符合题意的 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型八】 高斯函数
【例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）积性函数 SKIPIF 1 < 0 指对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（ ）
A．高斯函数 SKIPIF 1 < 0 表示不大于实数 SKIPIF 1 < 0 的最大整数
B．最大公约数函数 SKIPIF 1 < 0 表示正整数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的最大公约数（ SKIPIF 1 < 0 是常数）
C．幂次函数 SKIPIF 1 < 0 表示正整数 SKIPIF 1 < 0 质因数分解后含 SKIPIF 1 < 0 的幂次数（ SKIPIF 1 < 0 是常数）
D．欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 表示小于正整数 SKIPIF 1 < 0 的正整数中满足与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的数目
【答案】ABD
【详解】选项A：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则高斯函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确；
选项B：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则最大公约数函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确；
选项C：互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项D：对于所有互质的整数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 是积性函数.判断正确.
故选：ABD
【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中整数项的个数为 ．
【答案】15
【详解】 SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 为整数，必有 SKIPIF 1 < 0 均为整数，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 均为非负整数，∴ SKIPIF 1 < 0 为整数，共有14个．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是整数．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是整数．
因此，整数项的个数为 SKIPIF 1 < 0 个．
【变式1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，我们常用 SKIPIF 1 < 0 来表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数.如： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解方程： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，不符合 SKIPIF 1 < 0 ，均舍；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
因为对 SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中p，q为互质的正整数，则使得 SKIPIF 1 < 0 可整除p的最大正整数n是（ ）
A．1768B．1746C．1714D．1702
【答案】C
【分析】考虑用60个节点的有向完全图表示比赛结果，则可得 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 中含有因子2的个数为
SKIPIF 1 < 0 （个），
因此所求的最大正整数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
【题型九】不定方程
【例1】（2023高三·北京·竞赛）正整数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能值有（ ）
A．0个B．3个C．4个D．无穷多个
【答案】B
【详解】由对称性，不妨 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为正整数，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正整数， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正整数， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因为 SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因为 SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，对应的 SKIPIF 1 < 0 的形式分别为： SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的可能值有3个，
故选：B.
【例2】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为正整数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值之差为（ ）
A．9B．15C．22D．前三个答案都不对
【答案】A
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 是正整数，
因此 SKIPIF 1 < 0 是正整数．
接下来探索所有可能的解，不妨先假设 SKIPIF 1 < 0 ．
显然 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．于是 SKIPIF 1 < 0 ．
情形一 SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 ，否则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 不可能为正整数．
情形二 SKIPIF 1 < 0 ．此时 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，符合题意的解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由排序不等式可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值分别为38与29，故所求差为9．
故选：A
【变式1】（多选）（2023高三·北京·竞赛）已知 SKIPIF 1 < 0 是完全平方数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的取值有无数个B． SKIPIF 1 < 0 的最小值小于15
C． SKIPIF 1 < 0 为奇数D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
又 SKIPIF 1 < 0 可整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于任意整数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
而对任意的整数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为3的倍数，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故D成立.
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
下证： SKIPIF 1 < 0 均为正整数.
证明：由二项式定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为4的倍数，
故 SKIPIF 1 < 0 为4的倍数，故 SKIPIF 1 < 0 为正整数.
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为正整数即 SKIPIF 1 < 0 为正整数.
下面回到问题本身，
此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的任意性可得 SKIPIF 1 < 0 有无穷多个，
故选：ABD
【变式2】（2023高三·北京·竞赛） SKIPIF 1 < 0 有几个正实数解？
【答案】原方程有2个正实数解
【详解】原式可以变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
容易知道 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 有2个正实数解： SKIPIF 1 < 0 ，1.概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
初等数论
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