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新高考数学三轮冲刺通关练习02 平面向量（易错题+三大题型）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学三轮冲刺通关练习02 平面向量（易错题+三大题型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮冲刺通关练习02平面向量易错题+三大题型原卷版doc、新高考数学三轮冲刺通关练习02平面向量易错题+三大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】奔驰定理
【题型二】 极化恒等式
【题型三】 等和线
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
1.同方向单位向量： SKIPIF 1 < 0 的同方向单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，指的是方向和 SKIPIF 1 < 0 相同，模长为1的向量。
2.向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影：设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影.
3.投影也是一个数量，不是向量.当 SKIPIF 1 < 0 为锐角时投影为正值；当 SKIPIF 1 < 0 为钝角时投影为负值；当 SKIPIF 1 < 0 为直角时投影为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时投影为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时投影为 SKIPIF 1 < 0 .
4. 向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量：设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量.
5.向量的数量积的几何意义：数量积 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 的长度与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积.
易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。
2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。
例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影向量的模为1
D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，向量 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量相等D． SKIPIF 1 < 0
变式3：（2024·青海·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 ．
【题型一】奔驰定理
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
重要结论： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
结论1：对于 SKIPIF 1 < 0 内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 .
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 SKIPIF 1 < 0 平面内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的外部，并且在 SKIPIF 1 < 0 的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有 SKIPIF 1 < 0 .
结论3：对于 SKIPIF 1 < 0 内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于 SKIPIF 1 < 0 所在平面内不在三角形边上的任一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .
奔驰定理与三角形四心的关系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成
三角形中线向量式：
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
二、三角形的“垂心”
垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
奔驰定理推论：，
.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：是的外心，
1、
2、
3、若，则是的外心.
【例1】（2021·四川凉山·三模）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内任意一点，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .总有优美等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则正确的命题有 .
【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .以下命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心
B．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹一定经过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的重心、外心、垂心、内心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是 SKIPIF 1 < 0 内的一点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积分别记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是 SKIPIF 1 < 0 的垂心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有 SKIPIF 1 < 0 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别记作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有关系式 SKIPIF 1 < 0 ．因图形和奔驰车的 SKIPIF 1 < 0 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则O为 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【题型二】 极化恒等式
基础知识： SKIPIF 1 < 0
简化：在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】已知△ SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是________.
【例3】已知球 SKIPIF 1 < 0 的半径为1， SKIPIF 1 < 0 是球面上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 是球面上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，若动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆上（正方形 SKIPIF 1 < 0 内部，含边界），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴的交点都在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点；则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．12C．16D．18
【题型三】 等和线
向量基本定理：
SKIPIF 1 < 0
等和线原理：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【例1】如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且满足： SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线上，若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．3 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内共线的三个不同的点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线外任意-点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若线段 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与边 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【变式4】已知扇环如图所示， SKIPIF 1 < 0 是扇环边界上一动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
投影向量的概念
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】奔驰定理
【题型二】 极化恒等式
【题型三】 等和线
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
1.同方向单位向量： SKIPIF 1 < 0 的同方向单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，指的是方向和 SKIPIF 1 < 0 相同，模长为1的向量。
2.向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影：设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影.
3.投影也是一个数量，不是向量.当 SKIPIF 1 < 0 为锐角时投影为正值；当 SKIPIF 1 < 0 为钝角时投影为负值；当 SKIPIF 1 < 0 为直角时投影为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时投影为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时投影为 SKIPIF 1 < 0 .
4. 向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量：设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量.
5.向量的数量积的几何意义：数量积 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 的长度与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积.
易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。
2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。
例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影向量的模为1
D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，向量 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量相等D． SKIPIF 1 < 0
变式3：（2024·青海·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 ．
【题型一】奔驰定理
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
重要结论： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
结论1：对于 SKIPIF 1 < 0 内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 .
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 SKIPIF 1 < 0 平面内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的外部，并且在 SKIPIF 1 < 0 的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有 SKIPIF 1 < 0 .
结论3：对于 SKIPIF 1 < 0 内的任意一点 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于 SKIPIF 1 < 0 所在平面内不在三角形边上的任一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 .
奔驰定理与三角形四心的关系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成
三角形中线向量式：
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
二、三角形的“垂心”
垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
奔驰定理推论：，
.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：是的内心，
（1）（或）
其中，，分别是的三边、、的长，
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：是的外心，
1、
2、
3、若，则是的外心.
【例1】（2021·四川凉山·三模）如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 内任意一点，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .总有优美等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则正确的命题有 .
【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .以下命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心
B．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹一定经过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的重心、外心、垂心、内心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是 SKIPIF 1 < 0 内的一点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积分别记为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是 SKIPIF 1 < 0 的垂心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有 SKIPIF 1 < 0 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别记作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有关系式 SKIPIF 1 < 0 ．因图形和奔驰车的 SKIPIF 1 < 0 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，则O为 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【题型二】 极化恒等式
基础知识： SKIPIF 1 < 0
简化：在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】已知△ SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是________.
【例3】已知球 SKIPIF 1 < 0 的半径为1， SKIPIF 1 < 0 是球面上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 是球面上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，若动点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的半圆上（正方形 SKIPIF 1 < 0 内部，含边界），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴的交点都在圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点；则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．12C．16D．18
【题型三】 等和线
向量基本定理：
SKIPIF 1 < 0
等和线原理：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【例1】如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且满足： SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线上，若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．3 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内共线的三个不同的点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线外任意-点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若线段 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与边 SKIPIF 1 < 0 分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【变式4】已知扇环如图所示， SKIPIF 1 < 0 是扇环边界上一动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
投影向量的概念
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