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新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第2题 平面向量（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第2题 平面向量（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮冲刺押题卷练习第2题平面向量原卷版doc、新高考数学三轮冲刺押题卷练习第2题平面向量解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 SKIPIF 1 < 0 ，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】A、B写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，错误；
C：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故一般来说 SKIPIF 1 < 0 故错误；
故选：AC
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第15题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 终点坐标 SKIPIF 1 < 0 始点坐标 SKIPIF 1 < 0
向量的加减法
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
向量的数乘运算
SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0
向量的模
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0
相反向量
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；已知
单位向量
SKIPIF 1 < 0
向量的数量积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
向量的夹角
SKIPIF 1 < 0
向量的投影
SKIPIF 1 < 0
向量的平行关系
SKIPIF 1 < 0
向量的垂直关系
SKIPIF 1 < 0
向量模的运算
SKIPIF 1 < 0
1．（2024·江苏扬州·二模）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．（2024·湖北·一模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．5
【答案】B
【分析】
利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．（2024·湖北·二模）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．（2024·山东济南·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．（2024·山东潍坊·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】
利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
6．（2024·河北·模拟预测）平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由题意和平面数量积的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 计算即可求解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
10．（2024·福建龙岩·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和向量数量积的坐标运算即可得 SKIPIF 1 < 0 ，则得到其夹角.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两向量垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
11．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上.若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
又O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
12．（2024·湖南·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 是平面上两个不共线的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 三点共线B． SKIPIF 1 < 0 三点共线
C． SKIPIF 1 < 0 三点共线D． SKIPIF 1 < 0 三点共线
【答案】C
【分析】由平面向量共线定理求解即可.
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故C正确.
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故D错误；
故选：C.
14．（2024·江苏·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出 SKIPIF 1 < 0 ，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据中线性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
由中线性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
16．（2024·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
【详解】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
17．（2024·浙江·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先计算平面向量 SKIPIF 1 < 0 的数量积，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，列式解得即可.
【详解】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
18．（2024·广东湛江·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
19．（2024·广东佛山·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B 说法错误；
选项C：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C说法错误；
选项D：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D说法正确；
故选：D
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．22C．24D．25
【答案】B
【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B考点
4年考题
考情分析
平面向量
2023年新高考Ⅰ卷第3题
2023年新高考Ⅱ卷第13题
2022年新高考Ⅰ卷第3题
2022年新高考Ⅱ卷第4题
2021年新高考Ⅰ卷第10题
2021年新高考Ⅱ卷第15题
2020年新高考Ⅰ卷第7题
2020年新高考Ⅱ卷第3题
高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2024年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 SKIPIF 1 < 0 ，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】A、B写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，错误；
C：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故一般来说 SKIPIF 1 < 0 故错误；
故选：AC
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第15题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 终点坐标 SKIPIF 1 < 0 始点坐标 SKIPIF 1 < 0
向量的加减法
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
向量的数乘运算
SKIPIF 1 < 0 ，则： SKIPIF 1 < 0
向量的模
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0
相反向量
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；已知
单位向量
SKIPIF 1 < 0
向量的数量积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
向量的夹角
SKIPIF 1 < 0
向量的投影
SKIPIF 1 < 0
向量的平行关系
SKIPIF 1 < 0
向量的垂直关系
SKIPIF 1 < 0
向量模的运算
SKIPIF 1 < 0
1．（2024·江苏扬州·二模）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
2．（2024·湖北·一模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．5
【答案】B
【分析】
利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
3．（2024·湖北·二模）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4．（2024·山东济南·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．（2024·山东潍坊·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】
利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
6．（2024·河北·模拟预测）平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由题意和平面数量积的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 计算即可求解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
10．（2024·福建龙岩·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和向量数量积的坐标运算即可得 SKIPIF 1 < 0 ，则得到其夹角.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两向量垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
11．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上.若向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
又O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
12．（2024·湖南·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 是平面上两个不共线的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 三点共线B． SKIPIF 1 < 0 三点共线
C． SKIPIF 1 < 0 三点共线D． SKIPIF 1 < 0 三点共线
【答案】C
【分析】由平面向量共线定理求解即可.
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故C正确.
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，所以 SKIPIF 1 < 0 三点不共线，故D错误；
故选：C.
14．（2024·江苏·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出 SKIPIF 1 < 0 ，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据中线性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
由中线性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
16．（2024·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
【详解】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
17．（2024·浙江·一模）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先计算平面向量 SKIPIF 1 < 0 的数量积，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，列式解得即可.
【详解】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
18．（2024·广东湛江·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
19．（2024·广东佛山·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B 说法错误；
选项C：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C说法错误；
选项D：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D说法正确；
故选：D
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．22C．24D．25
【答案】B
【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B考点
4年考题
考情分析
平面向量
2023年新高考Ⅰ卷第3题
2023年新高考Ⅱ卷第13题
2022年新高考Ⅰ卷第3题
2022年新高考Ⅱ卷第4题
2021年新高考Ⅰ卷第10题
2021年新高考Ⅱ卷第15题
2020年新高考Ⅰ卷第7题
2020年新高考Ⅱ卷第3题
高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2024年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．
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