新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第21题 数列压轴解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T21）已知 SKIPIF 1 < 0 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，在Q中存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称Q为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列．
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 是否为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列？是否为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列？说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 连续可表数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
2.（2022·北京卷T21）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的项数均为m SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，并规定 SKIPIF 1 < 0 ．对于 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示数集M中最大的数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明：存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ．
3.（2021·北京卷T21）设p为实数.若无穷数列 SKIPIF 1 < 0 满足如下三个性质，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 数列：
① SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如果数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 SKIPIF 1 < 0 是否可能为 SKIPIF 1 < 0 数列？说明理由；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 数列，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .是否存在 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时,关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息,确定新定义的名称或符号、概念、法则等,并进行信息再加工,寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点,探求解决方法,在此基础上进行知识转换,有效输出,合理归纳,结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！

1．已知无穷数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合 SKIPIF 1 < 0 ．若对于集合A中的元素k，数列 SKIPIF 1 < 0 中存在不相同的项 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知： SKIPIF 1 < 0 为有穷正整数数列，其最大项的值为 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，均有 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示数集M中最小的数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明：对所有 SKIPIF 1 < 0 .
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，写出集合 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出一组符合条件的 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，说明理由；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，把集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若a1=6，写出集合M的所有元素；
(2)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合M的元素个数的最大值.
5．已知：正整数列 SKIPIF 1 < 0 各项均不相同， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，写出一个满足题意的正整数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(3)证明若 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在不同的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，j，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为大于1的整数，其中 SKIPIF 1 < 0 .
6．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 数列.记 SKIPIF 1 < 0 .
(1)写出一个满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)对任意给定的整数 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在首项为1的 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？如果存在，写出一个满足条件的 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 ；如果不存在，说明理由.
7．已知无穷数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示x，y中最大的数， SKIPIF 1 < 0 表示x，y中最小的数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，写出 SKIPIF 1 < 0 的所有可能值；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 中的项存在最大值，证明：0为数列 SKIPIF 1 < 0 中的项；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 SKIPIF 1 < 0 ？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
8．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q（ SKIPIF 1 < 0 ），其所有项构成集合A，等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d（ SKIPIF 1 < 0 ），其所有项构成集合B．令 SKIPIF 1 < 0 ，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若集合 SKIPIF 1 < 0 ，写出一组符合题意的数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为无穷数列， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项成公比为p的等比数列．当 SKIPIF 1 < 0 时，求p的值；
(3)若数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件是“d是正有理数”．
9．已知有穷数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．给定正整数m，若存在正整数s， SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列A是 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列．
(1)判断数列 SKIPIF 1 < 0 是否为 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列？是否为 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列，而数列 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 与数列 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 连续等项数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
10．若有穷自然数数列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 满足如下两个性质，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 数列：
① SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，这 SKIPIF 1 < 0 个数中最大的数；
② SKIPIF 1 < 0 ，其中， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，这 SKIPIF 1 < 0 个数中最小的数.
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 ：2，4，6，7，10是否为 SKIPIF 1 < 0 数列，说明理由；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .（ SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数）
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
新定义数列
2023·北京卷T21
预测2024年新高考命题方向将继续新定义数列为背景开命题．
所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.
新定义数列
2022·北京卷T21
新定义数列
2021·北京卷T21