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第三章 培优点3 洛必达法则-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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这是一份第三章 培优点3 洛必达法则-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第三章培优点3洛必达法则pptx、第三章培优点3洛必达法则教师版docx、第三章培优点3洛必达法则-2025新高考一轮复习讲义学生版docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共32页， 欢迎下载使用。
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
题型一 用洛必达法则处理 型函数
若x＝0，则a∈R；若x>0，
令h(x)＝2xcs x－2sin x－sin xcs x＋x，h′(x)＝2cs x－2xsin x－2cs x－cs 2x＋1＝－2xsin x－cs 2x＋1＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，
另一方面，当x∈[π，＋∞)时，
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，
令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，则n′(x)＝2x－4xln x－2x＝－4xln x<0，得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，可得m(x)
例2 已知函数f(x)＝ax－a－xln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
依题意，ax－a－xln x≥0恒成立，即a(x－1)≥xln x恒成立，
令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.
∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；
记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
题型一 用洛必达法则处理 型函数
若x＝0，则a∈R；若x>0，
令h(x)＝2xcs x－2sin x－sin xcs x＋x，h′(x)＝2cs x－2xsin x－2cs x－cs 2x＋1＝－2xsin x－cs 2x＋1＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，
另一方面，当x∈[π，＋∞)时，
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，
令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，则n′(x)＝2x－4xln x－2x＝－4xln x<0，得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，可得m(x)
例2 已知函数f(x)＝ax－a－xln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
依题意，ax－a－xln x≥0恒成立，即a(x－1)≥xln x恒成立，
令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.
∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；
记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)
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